閱讀思考提高
——讀《中學數學》關聯(lián)文章后的思考

閱讀思考提高
——讀《中學數學》關聯(lián)文章后的思考

☉江蘇省南京市第29中學教育集團致遠校區(qū)朱玉祥

讀《中學數學》時，常常讀到有關聯(lián)性的文章，特別容易引起筆者的興趣.有些關聯(lián)文章是學習前文后的實踐體會，有的關聯(lián)文章是閱讀前文后的進一步思考，也有的關聯(lián)文章是對前文的爭辯或商榷.無論哪一種關聯(lián)，筆者總喜歡把相關聯(lián)的兩篇或多篇文章放在一起閱讀.通過閱讀，融進自己的思考，總能從中獲得可喜的提高.網上常有老師說，《中學數學》具有可讀性.筆者覺得，常態(tài)性的關聯(lián)文章的發(fā)表肯定可以算在可讀性范圍之內.《中學數學》這么做，其實就是在給作者機會的同時也在給讀者機會；就是在鼓勵讀者閱讀《中學數學》的同時也能積極地參與《中學數學》的寫作；就是在為廣大一線教師提供一個平臺，讓教師能夠在《中學數學》上開展刊上教研和交流，擔起為一線教學服務的責任.

筆者嘗試把閱讀《中學數學》部分關聯(lián)文章的一些思考，以“研討”的形式和大家交流，以期老師們能更多地關注關聯(lián)文章，研討關聯(lián)文章.當然，筆者這樣做更期待能獲得同行的指導和幫助.

一、寫關聯(lián)文章要仔細閱讀原文

2015年第1期《中學數學》（下）上有一篇文章，題目是《關于試題人文價值的另類思考——從2014年北京中考卷第25題說起》（以下稱文1）.在閱讀文1時，發(fā)現(xiàn)文中引用2014年北京中考卷第25題時有個錯誤，即題（3）中的二次函數應該是y=x2，文中卻寫成y=-x2.由于文1與2014年第8期《中學數學》（下）的一篇文章有關聯(lián)，筆者就又閱讀了關聯(lián)文章《數形互助來破題，探索發(fā)現(xiàn)是導向——2014年北京卷壓軸題解析與思考》（以下稱文2）.筆者看到，文2引用2014年北京中考卷第25題與文1有同樣的錯誤.筆者早先閱讀過文2，對此錯做過批注.現(xiàn)在把兩篇文章放在一起來讀，就有了新的想法.文1是文2的關聯(lián)文章，卻繼承了文2的錯誤，顯然可以說明，文1的作者其實并沒有很好地閱讀文2，就從文2中“拿來”了“話題”，也“拿來”了錯誤.筆者還看到，文2被人大復印報刊資料《初中數學教與學》2014年第10期全文轉載，這個錯誤同樣也被“全文轉載”了.一錯二錯連三錯，未免有點遺憾.

圖1

如果說，文1中出現(xiàn)題目引用錯誤并不妨礙作者對試題人文價值的另類思考的話（當然，從“人文價值觀”考慮，還是不出引用錯誤為好），文2中有3處出現(xiàn)這個引用錯誤，就讓讀者費解了.比如作者分析函數y=-x2的圖像特點時說，“它的頂點是最低點”，顯然這個說法與函數y= -x2的圖像對不上號.筆者最初閱讀時，以為作者把圖像畫錯了，就重畫了圖像研究（見圖1），結果看到，若把函數y=-x2（-1≤x≤m，m≥0）的圖像向下平移m個單位，那么，所得的結論是：無論m值是多少，其邊界值t都無法滿足≤t≤1.此時，筆者才考慮到可能是作者把題目“抄”錯了.上網查原題，果然是作者把函數y=x2錯寫成y=-x2了.

寫關聯(lián)文章，筆者認為，作者一定要對原文認真仔細地研讀，在尊重原文的基礎上，也要注意糾正原文中的一些“小”錯，不該把原文中的錯誤“全盤”搬入到自己的文章中，擴大錯誤的傳播面，影響更多的讀者對相關問題的閱讀與理解.

二、指正關聯(lián)文章的不足時要有嚴謹的態(tài)度

圖2

早些時候就讀過2014年第8期《中學數學》（下）刊登的王四寶老師的文章，《一道聯(lián)考試題的分析過程與講評設計》（以下稱文3），當時很是佩服王老師把一道壓軸填空難題剖析得頭頭是道.文3中提到的壓軸填空題（見2013年浙江紹興卷第16題或原文，這里不再轉述）筆者也嘗試做過.首先覺得圖難畫（見圖2）.其一是點P和點Q的位置有多種情況；其二是草草畫出來的以點E、F、G、H為頂點的四邊形并不能保證過原矩形ABCD的頂點；三是很難控制點P、Q之間的距離來確保由點E、F、G、H構成的四邊形是菱形.圖畫不好，解題就容易受阻.但筆者轉至幾何畫板上畫圖的時候，奇跡就出現(xiàn)了：筆者看到，在幾何畫板上，無論怎么移動點P和點Q的位置，由點E、F、G、H構成的四邊形總是經過原矩形ABCD的四個頂點，并且，讓四邊形EFGH成為菱形也非常容易，甚至很快就發(fā)現(xiàn)解題線索，完全和王老師在文3中所描述的經歷一樣.想必該題的命題人，也一定是在幾何畫板下完成命題的.幾何畫板真是命題人的利器，是老師做題的救星，但肯定是考生的“敵人”.因為幾何畫板讓命題人擁有了命制難題的“智慧”，讓做題老師能迅速地產生解題的“頓悟”，卻叫考生在題目面前無盡地領教什么叫“困難重重”.2014年第12期的《中學數學》上，陳化成老師就指出，須警惕試題命制中的“超人”現(xiàn)象.［4］筆者設想，如果哪次命題，規(guī)定一律不準用幾何畫板，不準用計算器，看一看命題老師能命出什么樣的題來.當然，筆者的設想不可能實現(xiàn).

最近在翻看2015年第1期的《中學數學》，讀了張寧老師的文章《軸對稱搭臺，相似三角形唱戲——淺談一道聯(lián)考試題的分析過程及對講評設計的兩點思考》（以下稱文5），頓覺欣喜，不禁為張老師的解題視角叫好.由于文5與文3關聯(lián)，筆者立馬把文3翻出來與文5對照著讀.一“繁”一“簡”便躍然眼前.“繁”者如張老師在文5中所說，“添加輔助線和所運用的知識之多，著實令人望而生畏”；“簡”者也如張老師在文5中所說，“不用添加輔助線，不用證明三點共線，只需利用軸對稱性質、相似三角形、勾股定理即可破解此題”.文5在“結束語”中還語重心長地提醒大家思考“不論是命題者還是解題者，為什么想不到相似三角形”的解題視角？“這是教學的缺失，還是思維定勢”的影響？

為什么呢？筆者一邊認真仔細地研讀文5，一邊反思“缺失”.筆者看到，張老師的“精彩”是基于填空題不需要嚴謹證明過程的前提下獲得的“簡單”，而且，其“簡單”的思路也一定是在幾何畫板下“產生”的.理由有二：一是張老師的解法沒有點P和點Q如何定位的困惑，一下子就能把兩點神奇而準確地定位在題目所需要的位置上了（沒有幾何畫板，要做到這點是有難度的）；二是張老師默認了“由點E、F、G、H構成的四邊形”一定經過矩形ABCD的4個頂點，也默認了“點E、D、H共線，點F、B、G共線，點E、A、F共線，點G、C、H共線”（不在幾何畫板上畫圖，是難有“默認”的底氣的；此題若不是填空題，“默認”也一定不被允許）.筆者認為，作為教學講評，該題不能只當填空題來講評，所以就沒有“默認”一說.其實，軸對稱性質恰是用來證明張老師的兩點“默認”的，在這一點上，筆者認同王四寶老師在文3中的做法，從嚴謹考慮，需要證明的不能隨便省略.當然，在嚴謹證明之后，張老師利用“相似三角形”來求解PQ的長度，值得老師們學習.這也許就是包括筆者在內需要反思的解題視角上的“缺失”吧.

看到別人文章的不足，提筆寫關聯(lián)文章，是營造刊上教研氣氛、開展刊上交流的好的做法，是對原作者和廣大讀者負責的一種態(tài)度.但在創(chuàng)作關聯(lián)文章之前，筆者認為，寫作者需要認真揣摩別人的“不足”有沒有合理之處，要多問一句，別人為什么要在文章中展示“不足”？自己對“不足”的理解有沒有偏差？同時，作者更要以嚴謹的態(tài)度對待自己的“精彩”，要讓自己的“精彩”不留遺憾.

三、商榷性關聯(lián)文章能給讀者留下思辨的空間

錢德春老師是位名師，他在不同數學雜志上發(fā)表的文章都非常耐讀.筆者聞其大名，也是從讀他的文章開始.2014年第3期《中學數學》上發(fā)表的錢老師的教學點評文章，《基于認知與生成的數學思維教學——以“三角形內角和定理”一節(jié)課為例》（下稱文6），筆者讀后就能感受到錢老師對數學教學理解的深度.文6的核心觀點是：以學生的認知基礎為教學的出發(fā)點；以學生的思維障礙為教學的突破點；以學生的“死結”與“意外”為教學的生長點，用以指導教學，其意義重大；行文一氣呵成，讓讀者開眼.

筆者讀文6的時候正教初三，由于沒有“迫切”需要，就沒有過多關注細節(jié).現(xiàn)在接手初一，很快就面臨文6提到的“三角形內角和定理”的教學.恰好近期又讀到劉老師發(fā)表在2015年第1期《中學數學》上的《認知在何方？生成在何方？——與錢德春老師商榷》的文章（下稱文7），就又重讀文6.筆者感到，兩篇文章都十分精彩，讀之受益匪淺.這樣好的關聯(lián)文章多多益善.

其實，就“三角形內角和定理”的教學，筆者三年一輪回，應該教了不下十余次.回想自己的教學，即使從拼圖開始，似乎也從沒有出現(xiàn)過文6中提到的5種方法.現(xiàn)在反思，那是因為筆者根本沒有放開來讓學生在課堂上“任意”去拼，也沒有“耐心”在課堂上去觀察學生的各種拼圖.筆者自問，“三角形內角和定理”的教學需要這樣做嗎？義務教育數學課程標準實驗版教材剛開始使用的時候，很多老師的公開課都有一個顯著的特點，就是活動.有生活體驗活動，有動手操作活動，有分組討論活動，有各種游戲活動，課堂熱鬧度頗高.記得在講“一百萬有多大”的時候，有老師從學校食堂硬是扛了一袋大米到課堂讓學生數；在講概率的時候，又是摸球，又是轉盤，還有擲骰子，全都搬進了課堂，組織學生輪流去玩；在講軸對稱的時候，數學課儼然成了剪紙手工課……后來意識到，這種數學化不足的活動根本就不是數學活動.［8］數學活動的第一要素必須是數學的，必須有明確的數學目標.那么，在“三角形內角和定理”的教學中的撕紙拼角活動，拼圖作品交流，是數學活動嗎？拼圖的目標是什么？如果有明確的數學目標，會出現(xiàn)文6中給出的5種“拼圖”嗎？

從這個角度想開去，筆者比較贊成劉老師在文7中的觀點：第一，拼圖不是該課的重點，它只不過是添加平行線的一個“誘導器”，但并非唯一，也并非直接.因此沒有必要“給足時間”讓學生充分展示各種拼圖，也沒有必要對所有拼圖都給出解釋.第二，學生認知的基礎實際上已經從拼圖升級到更數學化地對平行線及平角的認識，升級到對演繹推理的認識.教師的教學設計應當考慮到這樣的提高.第三，引導學生對“三角形內角和定理”的證明可以拋開撕紙拼圖的活動.

當然，筆者的思考是從閱讀文6和文7而來，不一定正確.能產生想法，說明商榷性關聯(lián)文章具有爭辯性和參與性，容易吸引讀者.筆者認為，參與關聯(lián)文章的思考，其實就是一種學習，也能促進自身提高.

對于課的點評，筆者還有其他想法.筆者覺得，點評是一種“靜態(tài)”的考慮，而上課卻是“動態(tài)”的行為；點評會無意識地越過教學時間的限制而談，而上課卻要有意識地控制在45分鐘時間內進行；點評容易把學生理想化，而上課卻要面對差別萬千的學生，所以，點評容易滴水不漏，而上課不可能面面俱到；點評可以給足學生時間，而上課卻得掌控教學時間；點評能把自己所想當做學生所能，上課卻會看到學生所能完全不是自己所想.如果某個老師拿著某個完美的點評去上課，很大可能都會失望而歸，因為“課”是很難達到“評”的高度，也難達到“評”的效果.即使是點評者本人去上課，相信多數時候，他也難按自己的點評完成所有任務.那么，老師究竟該如何對待“課例點評”呢？筆者覺得，不妨取其一兩點嘗試去做就足夠了.點評千條好，適用只幾條.

1.周艷娟.關于試題人文價值的另類思考——從2014年北京中考卷第25題說起［J］.中學數學（下），2015（1）.

2.耿華東.數形互助來破題，探索發(fā)現(xiàn)是導向——2014年北京卷壓軸題解析與思考［J］.中學數學（下），2014（8）.

3.王四寶.一道聯(lián)考試題的分析過程與講評設計［J］.中學數學（下），2014（8）.

4.陳化成.警惕中考試題命制的一個“超人”現(xiàn)象［J］.中學數學（下），2014（12）.

5.張寧.軸對稱搭臺，相似三角形唱戲——淺談一道聯(lián)考試題的分析過程與講評設計的兩點思考［J］.中學數學（下），2015（1）.

6.錢德春.基于認知與生成的數學思維教學——以“三角形內角和定理”一節(jié)課為例［J］.中學數學（下），2014（3）.

7.劉華為.認知在何方？生成在何方？——與錢德春老師商榷［J］.中學數學（下），2015（1）.

8.屠桂芳，孫四周.什么樣的活動是“數學活動”［J］.數學教育學報，2012（10）.H