落實(shí)“四基四能”：例題教學(xué)可以先行先試*

落實(shí)“四基四能”：例題教學(xué)可以先行先試*

☉江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局教研室 石樹偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)中將傳統(tǒng)“雙基”擴(kuò)充為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將傳統(tǒng)“兩能”擴(kuò)充為“四能”，即分析和解決問題的能力、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.［1］目前，數(shù)學(xué)界對(duì)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等概念的內(nèi)涵和外延還有爭(zhēng)議，但作為一線教師不必等待觀望，可以摸石頭過河邊實(shí)踐邊研究，其中例題教學(xué)可以先行先試.

一、例題的選擇編排

吃什么永遠(yuǎn)比怎么吃更重要，教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要.［2］例題是知識(shí)應(yīng)用、技能示范的范例，是思想方法滲透、能力素養(yǎng)培養(yǎng)的載體，如果沒有好的例題，再怎么講也是事倍功半.例題編選是例題教學(xué)中落實(shí)“四基四能”的基礎(chǔ)性工作，其要求隨著時(shí)代的發(fā)展也在不斷地與時(shí)俱進(jìn).

1.傳統(tǒng)要求夯基礎(chǔ)

重視例題編選的適切性、層次性、典型性是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng).“適合的才是最好的”，適切性既要切合不同能力基礎(chǔ)的班級(jí)學(xué)情，也要切合新授或復(fù)習(xí)等不同學(xué)習(xí)階段；要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，例題編選就必須由易到難具有層次性；笛卡兒說過：“我所解決的每一個(gè)問題將成為一個(gè)范例，以用于解決其他問題”，在寶貴的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)，教師示范講解的例題應(yīng)是典型的：既要鞏固應(yīng)用當(dāng)前所學(xué)知識(shí)、滲透重要數(shù)學(xué)思想方法，也應(yīng)是某種規(guī)律的代表，能由“個(gè)”及“類”.

例題編選的傳統(tǒng)要求永遠(yuǎn)不會(huì)過時(shí)，因?yàn)樗鼈兪锹鋵?shí)傳統(tǒng)雙基的必然要求，而傳統(tǒng)雙基又是其他目標(biāo)包括基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落實(shí)的載體.如圖1，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，傳統(tǒng)雙基與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是相互依存、相互促進(jìn)的，二者通過不斷融合、反思提煉而形成的一種具有奠基作用和普遍指導(dǎo)意義的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)便是數(shù)學(xué)基本思想.

圖1“四基”之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)

蘇科版九年級(jí)下冊(cè)“銳角的正弦和余弦”一節(jié)三道例題的編排.

例1如圖2，根據(jù)圖中條件，分別求出直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

例2在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB的值.

例3在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosB的值.

圖2

評(píng)析：例1鞏固概念，例2拓展提升，例3綜合應(yīng)用，在一堂課的不同學(xué)習(xí)階段使用，符合適切性要求；例1的三個(gè)圖之間從標(biāo)準(zhǔn)圖形到非標(biāo)準(zhǔn)圖形，從常規(guī)條件到非常規(guī)條件，幫助學(xué)生變式鞏固基本概念，例1～例3求三角函數(shù)值，從提供直角三角形到自己構(gòu)造直角三角形，從直接提供邊長(zhǎng)到提供邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，思維層次不斷遞進(jìn)，符合層次性要求；例2、例3既鞏固應(yīng)用基本概念，又代表了兩類模型：例2是無直角三角形需構(gòu)造直角三角形解決三角函數(shù)問題，例3是已知兩邊關(guān)系求其他三角函數(shù)值，符合典型性要求.

2.新增要求為創(chuàng)新

時(shí)代的快速發(fā)展對(duì)創(chuàng)新的需求越來越強(qiáng)烈，為了呼應(yīng)這種需要，例題編選要注重開放性和問題性.

（1）開放性.

例題編選的開放性體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①問題本身的開放性，即常說的開放題，一般有條件開放題（條件缺少需補(bǔ)充，多余需選擇）、策略開放題（即一題多解）、結(jié)論開放題、綜合開放題.②問題來源的開放性，可以來源于生活、其他學(xué)科、教學(xué)中的生成或封閉性例習(xí)題的改造.開放題的解決策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維能力.

例4請(qǐng)你為函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=5+1.2x設(shè)計(jì)一個(gè)生活背景，并提出一個(gè)相關(guān)問題.

例5已知△ABC中，∠C=90°，BC=6，可以求出AB或AC嗎？若不能，還應(yīng)添加什么條件？如何求？

評(píng)析：例4是一道一次函數(shù)應(yīng)用的綜合開放性例題，由來源于生活的常見數(shù)學(xué)模型尋求豐富多樣的現(xiàn)實(shí)背景，還要提出問題，有利于學(xué)生充分感受函數(shù)的應(yīng)用性；例5是勾股定理教學(xué)的一道由教材封閉性例題改造而來的條件開放性例題，可以再添加一邊長(zhǎng)（AB或AC），也可以添加兩邊之間的關(guān)系（如AB和AC之間的和、差、倍分關(guān)系）.通過發(fā)散思考，一道例題相當(dāng)于多道題，學(xué)生對(duì)解決這樣的問題感興趣.

（2）問題性.

好的例題應(yīng)該是好的問題情境.例題編選應(yīng)加強(qiáng)問題性，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

①以問題激發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考.問題是數(shù)學(xué)的心臟，可以將一些常規(guī)的課本例題改造為問題，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的機(jī)會(huì).這里的問題不是常規(guī)的習(xí)題，而是對(duì)學(xué)生具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成的方法、程序或算法的待解問題情境，問題具有挑戰(zhàn)性、探究性、啟發(fā)性等特征.常規(guī)的習(xí)題主要是為夯實(shí)雙基設(shè)計(jì)的，而問題解決的目標(biāo)則指向?qū)W習(xí)如何思考，讓學(xué)生在操作思考的過程中積累操作和思維的經(jīng)驗(yàn).

②以情境引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.“發(fā)明千千萬，起點(diǎn)在一問.”陶行知的這句話充分說明學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題對(duì)于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要性.例題應(yīng)創(chuàng)設(shè)好的情境，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和能力，積累數(shù)學(xué)“原始”發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn).

例6將教材常規(guī)例題改造為數(shù)學(xué)問題.

（教材原例）已知：如圖3，點(diǎn)A′、B′、C′、D′分別在正方形的邊AB、BC、CD、DA上，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.

圖3

圖4

（改造問題）如圖4，若把正方形ABCD的四個(gè)角剪掉，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形？請(qǐng)?jiān)趫D上畫出一個(gè)可行的方案，并說明理由.

例7用兩種方法因式分解：a6-b6.

解法一：a6-b6=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+ a2b2+b4）.

解法二：a6-b6=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2-ab+ b2）（a2+ab+b2）.

例8如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.請(qǐng)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O.（不寫作法，保留作圖痕跡）

圖5

圖6

評(píng)析：例6改造后的問題需要學(xué)生先動(dòng)手操作嘗試再理性分析思考，從而讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程.例7～例8得出結(jié)果不是主要目的，主要目的是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生發(fā)問題的情境，在得出結(jié)果后教師應(yīng)“留白”，靜心期待學(xué)生直覺感知數(shù)量關(guān)系（如例7）或位置關(guān)系（如例8），耐心等待學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題：例7中兩種方法的結(jié)果為什么不一樣？（a4+a2b2+b4）等于（a2-ab+b2）（a2+ab+b2）嗎？例8中⊙O與直線BC是不是相切（如圖6）？進(jìn)而繼續(xù)探究解決問題.

二、例題的教學(xué)實(shí)施

一道好菜應(yīng)既有營(yíng)養(yǎng)又易入口，其中好的食材是前提，如何烹飪是關(guān)鍵.例題的教學(xué)實(shí)施應(yīng)避免單純的教師講解、學(xué)生聽記，避免就題論題、題海教學(xué).為充分挖掘例題的教學(xué)價(jià)值，使“四基四能”目標(biāo)落到實(shí)處，例題的教學(xué)實(shí)施過程中應(yīng)突出以下幾個(gè)關(guān)鍵詞.

1.嘗試

操作、思維的過程是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的源泉.嘗試的目的就是讓學(xué)生經(jīng)歷操作、思維的過程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生力所能及時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生自己去做，必須堅(jiān)信：學(xué)生能在嘗試中學(xué)習(xí)，并在嘗試中有所悟、有所得.在兩個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)放手讓學(xué)生去嘗試：①例題教學(xué)開始，提供足夠的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立操作探究，嘗試尋求問題的解決思路；②解題思路形成后，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試書寫解題過程，因?yàn)閷W(xué)生的解題思路從想出來到說出來再到寫出來，其實(shí)是一個(gè)思維不斷清晰、條理化的過程，也是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)與交流的訓(xùn)練過程.

2.交流

愛德加·戴爾的學(xué)習(xí)金字塔表明，兩周后的學(xué)習(xí)保持率聽講僅5%，而討論達(dá)50%，實(shí)踐達(dá)70%，教授他人高達(dá)90%.因此在學(xué)生嘗試后可以組織學(xué)生小組交流討論，相互啟發(fā)、相互碰撞，也可以“以兵教兵，兵兵相長(zhǎng)”.因?yàn)橛星懊妾?dú)立思考的基礎(chǔ)，學(xué)生的交流討論就不是無源之水、無本之木，而是可行的、有效的.主要交流兩個(gè)方面的內(nèi)容：①交流解題思路；②交流解題思路的形成過程.交流的過程既是以學(xué)生為主體、提高例題教學(xué)效率的有效形式，也是學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過交流由模糊向明晰轉(zhuǎn)化的過程.

3.示誤

錯(cuò)誤也是寶貴資源.例題教學(xué)要展示暴露典型錯(cuò)誤，反思錯(cuò)在哪里、為什么錯(cuò)，充分利用錯(cuò)誤資源，變個(gè)別同學(xué)的典型錯(cuò)誤為全班同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn).示誤有兩種方式：①展示學(xué)生在嘗試過程中暴露出來的典型錯(cuò)誤；②教師在示范講解過程中有意“出錯(cuò)”，把學(xué)生中可能存在的錯(cuò)誤或模糊認(rèn)識(shí)“擠”出來，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤，從而規(guī)避錯(cuò)誤.示誤是夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)基本技能的需要，知曉并能規(guī)避“暗礁險(xiǎn)灘”也是學(xué)生必備的寶貴經(jīng)驗(yàn).

4.示范

G.波利亞曾經(jīng)說過：“解題是一種實(shí)踐性的技能，就好像游泳一樣.在學(xué)習(xí)解題時(shí)，你必須觀察和模仿別人在解題時(shí)的做法，最后你通過解題學(xué)會(huì)解題.”“當(dāng)教師在班上解一個(gè)題目時(shí)，他應(yīng)當(dāng)對(duì)他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在幫助學(xué)生時(shí)同樣使用的一些問題.”［3］例題教學(xué)中教師的示范是技能訓(xùn)練、能力培養(yǎng)不可缺少的環(huán)節(jié)，示范主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①示范老師拿到題目是怎么想的，碰壁是如何轉(zhuǎn)向的，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何數(shù)學(xué)地思考；②示范如何書寫規(guī)范完整的解題過程，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何數(shù)學(xué)地表達(dá).

5.變式

G.波利亞有過一個(gè)形象的比喻：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都成串生長(zhǎng).找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”［3］例題可以適當(dāng)變式，讓問題由易到難有層次地推進(jìn)，為學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，不斷提升思維層次.例題變式的基本方法有普遍化、特殊化、類比、分解和重組等.變式既能夯實(shí)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，又具有一定的創(chuàng)新成分，有效避免機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)“在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上有所發(fā)展”.［4］

例9（垂徑定理運(yùn)用的例題變式）（1）如圖7，以點(diǎn)O為圓心的同心圓中，大圓的直徑AB交小圓于C、D兩點(diǎn). AC與BD相等嗎？為什么？（解題小結(jié)：等量減等量差相等）

（2）如圖8，以點(diǎn)O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).猜想AC與BD有什么關(guān)系？并說明理由.（解題小結(jié)：常用輔助線：遇弦→作垂徑→構(gòu)造等量）

（3）如圖9，隱藏大圓，連接OA、OB，OA=OB，AC與BD還相等嗎？為什么？（解題小結(jié)：還有哪些途徑能得到等量）

圖7

圖8

圖9

評(píng)析：教學(xué)實(shí)施中，例9的3個(gè)小題逐題演變，層層遞進(jìn)，準(zhǔn)備“等量”的難度不斷提升；層層鋪墊，變化之中有不變，證明線段相等的策略，即“等量減等量差相等”不變，有利于經(jīng)驗(yàn)策略的遷移應(yīng)用，體現(xiàn)“重復(fù)依靠變式，在變化中求得重復(fù)，在重復(fù)中獲取變化”.［4］

6.反思

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.”即學(xué)習(xí)要舉一反三、觸類旁通.例題教學(xué)中反思環(huán)節(jié)不可缺少.主要反思兩方面內(nèi)容：①反思解決問題的思維過程，解決問題的思路是怎么產(chǎn)生的，關(guān)鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的，培養(yǎng)學(xué)生的“元認(rèn)知”體驗(yàn)和調(diào)控能力，積累思維的經(jīng)驗(yàn)；②將例題由“個(gè)”的階段“類化”上升至“類”的階段，反思提煉蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)解題規(guī)律和策略.反思有利于學(xué)生感悟基本思想，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是提升例題教學(xué)效益的重要環(huán)節(jié).

如上述例9，在變式訓(xùn)練后應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本例的解決過程進(jìn)行反思小結(jié)，反思證明線段相等的重要策略：等量減等量差相等；反思解決本例的關(guān)鍵：如何構(gòu)造等量；反思解決本例的常見問題：思維定勢(shì)，證明線段相等只知道通過三角形全等，缺少優(yōu)化意識(shí)；反思本例所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：模型思想、轉(zhuǎn)化思想；反思本例所蘊(yùn)含的解題規(guī)律：遇弦作垂徑得等量，學(xué)生通過一道問題的變式和反思學(xué)會(huì)解決一類問題（證明線段相等問題）.

7.留白

中國畫的留白藝術(shù)讓“方寸之地顯天地之寬”，例題教學(xué)也應(yīng)適時(shí)留白.布置學(xué)生獨(dú)立嘗試探究、獨(dú)立書寫解題過程都不是留白，沒有布置任何任務(wù)、真正讓學(xué)生獨(dú)立自主支配時(shí)間才是留白.教師應(yīng)善于等、敢于等：①示范講解過程中、過程后應(yīng)適時(shí)停頓，讓學(xué)生有理解、回味、整理、感悟的時(shí)間，“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“悟”很重要，一定要讓學(xué)生有悟的時(shí)間；②示范講解后，非教師引導(dǎo)下，給學(xué)生自我反思質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)并提出問題的時(shí)間和機(jī)會(huì)，如例7、例8問題解決后應(yīng)留白，靜待學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題.留白是為學(xué)生留“發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造”的機(jī)會(huì).

三、結(jié)束語

不同內(nèi)容、不同學(xué)情的例題教學(xué)在例題編選和實(shí)施上會(huì)不盡相同，不要求也不可能做到面面俱到.古人云“取法乎上，僅得其中”，例題教學(xué)應(yīng)以上述要求為努力方向，落實(shí)“四基四能”，提升例題教學(xué)效益.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.張奠宙，趙小平.教什么永遠(yuǎn)比怎么教重要［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（10）.

3.G.波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.

4.張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.H

*本文系單位科研基金“廣陵基礎(chǔ)教育行動(dòng)創(chuàng)新與理論探索”項(xiàng)目資助、自主課題“本色數(shù)學(xué)教育主張的理論與實(shí)踐研究”成果之一.