重視課本資源，促進數(shù)學發(fā)現(xiàn)
——一道“幻方填數(shù)題”的教學及反思

☉江蘇省南通市虹橋二中湯 雙

重視課本資源，促進數(shù)學發(fā)現(xiàn)
——一道“幻方填數(shù)題”的教學及反思

☉江蘇省南通市虹橋二中湯 雙

近讀《中學數(shù)學》，不少教師針對離開教材搞教學的現(xiàn)象多有批判，以筆者所見，當前由于所謂的“導學案”的流行，有些同行確實把教材置于一旁，只是組織學生練習導學案、教輔資料，對教材的研究不夠，特別是對教材上一些特色欄目缺少關注和研究.本文結合新人教版七年級上冊第21頁“實驗與探究”中的一道幻方填數(shù)題，談談在教學過程中引導學生展開發(fā)現(xiàn)式學習，實現(xiàn)神機妙算的一些做法，提供研討.

一、教學案例

教材原題：有人建議向火星發(fā)射如圖1所示的圖案，它叫做幻方，其中9個格中的點數(shù)分別是1，2，3，4，5，6，7，8，9.同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的3個數(shù)相加都是15.如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數(shù)學語言”了解到地球上也有智能生物（人）.

圖1

圖2

你能將-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4這9個數(shù)分別填入如圖2所示的幻方的空格中，使每一行、每一列、每一條斜對角線上的3個數(shù)之和相等嗎？

教學時，筆者將要求降低，要求學生將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數(shù)分別填入圖2的9個空格中，使得每一行、每一列、每一條斜對角線上的3個數(shù)的和相等.

經(jīng)過猜想、推理、修正、論證，學生發(fā)現(xiàn)在具體填數(shù)時，首先應確定關鍵位置，也就是最中間的空格.

師：為什么？

生1：因為它參與的運算最多，而且關鍵位置上的數(shù)字應該是5.

師：為什么是5呢？

生2：剛開始是猜的，后來根據(jù)想法繼續(xù)論證，我發(fā)現(xiàn)這9個格子以中間一格為中心形成一個十字架，畫出十字架的對角線形成一個米字格，且米字格上的數(shù)和為60，而這9個數(shù)的和為45，所以關鍵位置多算的3次和為60-45＝15，因而求出最中間一格的數(shù)字為5.

生3：其次，根據(jù)題目中要滿足每行、每列、每條斜對角線三數(shù)之和為15這個條件，中間一格數(shù)字是5，所以每行、每列、每一斜對角線剩余兩數(shù)之和只可以為10.在這9個數(shù)中，我發(fā)現(xiàn)1與9，2與8，3與7，4與6關于5成對稱分布，且它們的和也為10，我就可以將它們填入剩余的8個格子中，從而得出其中的1種填法（如圖3）.

教師：剛才這位同學的解法，正確嗎？還有不同的填法嗎？

圖3

學生討論產(chǎn)生了另外7種填法（如圖4～圖10），其中，圖9就是圖1.

圖4

圖5

圖6

圖10

圖8

圖9

圖7

案例解讀：著名的數(shù)學大師波利亞曾在談論教學法時說過：“我們可以在學生對問題思考前讓學生猜想該題的結果或部分結果.為了驗證猜想，學生會專注在課堂教學中，主動關注題目，關心課堂進展，他就不會打盹或搞小動作.”這就是說，作為一名數(shù)學教師，置身于數(shù)學發(fā)現(xiàn)學習的過程中，對于一個“新的”數(shù)學問題，我們應該帶領學生一起猜想、證明，也許此時這個數(shù)學理論的形成過程、解決過程并非與數(shù)學家們的推出過程一致，甚至可能存在一些偏差，然而，這樣的數(shù)學教學才更能激活學生的思維，才是數(shù)學學習的本質所在.

二、教學反思

1.重視解題回顧，促進學生深刻理解

升入初中，數(shù)學的解題思維與小學解題思維發(fā)生了較大變化，如果說小學數(shù)學教學側重于形象思維訓練，那么初中數(shù)學教學則側重于抽象思維訓練.對于剛剛升入初中的學生來說，很多題目他們都不知道怎么“下手”解決，此時，需要我們把思維想給學生聽，并確保學生聽懂.例如上面的三階幻方填數(shù)題，通過討論，雖然得出8種滿足題目要求的不同填法，但不代表所有同學都掌握了本題的解答要領，更不代表今后每位同學遇到類似的題型可以獨立解決，此時挑出幾位已經(jīng)掌握思考方法的同學闡述他們的思考過程、歸納解決此類問題的方法是十分必要的.下面是兩個學生的解后反思.

生4：請大家仔細觀察一下，不難發(fā)現(xiàn)，如果以圖3為標準，那么圖4可以通過圖3繞中心順時針旋轉90°得到，由此可得，在前四幅圖中，相鄰兩幅圖中的后一幅都可以由前一幅繞中心順時針旋轉90°得到.

生5：大家可以對照觀察一下，我們發(fā)現(xiàn)上組解法中的任意一個互換左、右列便可在下組中找到相應的結果，如圖3左右列互換便可得到圖7，同理，其余三組也有此規(guī)律.后來，我們又發(fā)現(xiàn)圖3與圖9，圖4與圖7，圖5與圖10，圖6與圖8，是通過互換上、下行得到的.

案例解讀：經(jīng)過修改后，問題起點低，具有普適性，讓不同層次的同學都有思考的時間和空間，每一位同學都可以主動地與原有的知識經(jīng)驗相聯(lián)系，結合自己的思維特點，積極參與到課堂教學活動中，使得問題與學生已有的認知結構建立實質性聯(lián)系，變“被動防守”為“主動進攻”，給學生思考問題提供了一種全新的思維模式，為實現(xiàn)神機妙算搭建了一個新平臺.

2.用好課例素材，促進學生發(fā)現(xiàn)

我們知道，數(shù)學既是發(fā)現(xiàn)，又是發(fā)明.事實上，由于選擇了教材上這道幻方填數(shù)題，師生圍繞這道題開展解題學習占去一個課時，但是在這個過程中，筆者要求學生把1至9這9個數(shù)從不同的途徑填入相關空格中，在探索解法的過程中完成了一次思維革命.如果此時將原題后半部分要求加進去，將這9個數(shù)變?yōu)?4～4，又有幾種填法呢？有了剛才的經(jīng)歷，此刻，相信絕大部分學生在這種思維模式的指導下，經(jīng)過思考、交流、猜想、傾聽、驗證等環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)-4～4這9個數(shù)對應的可以由1至9這9個數(shù)依次減5得到，所以只需將圖3～圖10中的9個數(shù)分別減5，就可以求出8種滿足條件的填法.當然，探究出規(guī)律后，還可以繼續(xù)啟發(fā)學生探究，如果將這9個數(shù)同時加同一個數(shù)后，能使每一行、每一列、每一條斜對角線上的三數(shù)之和相等嗎？如果將這9個數(shù)分別擴大相同倍數(shù)，能使每一行、每一列、每一條斜對角線上的三數(shù)之和相等嗎？如果將這9個數(shù)同時乘方，能使每一行、每一列、每一條斜對角線上的三數(shù)之和相等嗎？

有的學生很難接受理性、抽象、客觀的思維，他們習慣憑借感覺和經(jīng)驗對問題做出判斷，拒絕成長.如果每天能接受一點點理性、抽象、客觀的思維，在解題的過程中能體會到一點點方法的、思維的、抽象的、客觀的、歸納的力量，筆者有理由相信這種教學方法將激發(fā)出學生無窮的潛力.

1.嚴莉.對一份“習題單”式導學案的商榷［J］.中學數(shù)學（下），2014（11）.

2.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

4.章建躍.理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提［J］.數(shù)學通報，2015（1）.

5.潘龍生.教學，少些一帶而過［J］.數(shù)學通報，2015（1）.H