精心預(yù)設(shè)，精巧引導(dǎo)，精彩演繹
——對(duì)一節(jié)“全等三角形”階段性復(fù)習(xí)研討課的思考

☉浙江省杭州市啟正中學(xué) 鄭娟

精心預(yù)設(shè)，精巧引導(dǎo)，精彩演繹
——對(duì)一節(jié)“全等三角形”階段性復(fù)習(xí)研討課的思考

☉浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校詹 金芳

☉浙江省杭州市啟正中學(xué) 鄭娟

這是一節(jié)來自2014年“浙派”名師班關(guān)于階段性復(fù)習(xí)的研討課，上課老師為我們展示了一節(jié)別樣的“全等三角形”復(fù)習(xí)課.現(xiàn)將課堂實(shí)錄與筆者的思考整理成文，供同行們交流研討.

一、課堂實(shí)錄

圖1

1.視頻引課

課堂一開始，老師讓同學(xué)們觀看視頻，視頻中一位老師作如下講述.

同學(xué)們，我們今天研究一個(gè)有趣的話題，我隨手畫一個(gè)三角形，能證明所畫的三角形是等腰三角形.同學(xué)們相信嗎？下面請(qǐng)看我的證明.如圖1（視頻中老師徒手畫圖），任意畫三角形ABC，則有AB=AC.對(duì)于這個(gè)問題，我是這樣思考的，只要作∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線，兩線交于點(diǎn)O，BC邊上的中垂線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)O分別作AB和AC的垂線段，垂足分別為E和F,連接OB、OC.同學(xué)們，接下來請(qǐng)你們?cè)囋嚳矗耗茏C明AB=AC嗎？

視頻放到這兒，上課教師按下暫停鍵，并對(duì)同學(xué)們說：“同學(xué)們，相應(yīng)的題目和圖形請(qǐng)看學(xué)習(xí)單，你能接下去完成這個(gè)題目的證明嗎？”學(xué)生一聽這些話可來勁了，個(gè)個(gè)嘴里都在嘀咕著“怎么可能呢？”說著說著，教室里的聲音漸漸地變小了，大家都投入到對(duì)問題的證明中去了，幾分鐘后，聲音又漸漸大了起來，部分同學(xué)皺著眉頭低聲地交流：“好像真的能證明耶！奇了怪了！”看到許多同學(xué)完成證明卻又有疑惑時(shí)，教師叫停了大家，并讓同學(xué)們繼續(xù)看視頻.

根據(jù)剛才添加的輔助線，我們可以很快證明出△AOE≌△AOF，同學(xué)們，你能說明理由嗎？

上課教師再次按下暫停鍵，并讓同學(xué)們說明兩個(gè)三角形全等的理由.

生1：由OA平分∠BAC，得∠EAO=∠FAO.

由OE⊥AB，OF⊥AC，得∠OEA=∠OFA=90°.

由OA=OA，∠EAO=∠FAO，∠OEA=∠OFA，得△AOE≌△AOF（AAS）.

教師追問：“還有別的方法嗎？”

生2提出可以用“ASA”定理加以證明；生3根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OF，從而利用HL定理證明.教師對(duì)證明稍作梳理后再次按下視頻播放鍵.

同學(xué)們，前面已證明了AE=AF，而要證明AB=AC，只要再證明BE=CF,那么如何證明這兩條線段相等呢？通常證明兩條線段相等會(huì)從兩個(gè)三角形全等出發(fā)，也就是證明△BOE≌△COF，這成為解決問題的關(guān)鍵，同學(xué)們，你能解決該問題嗎？

上課教師繼續(xù)讓學(xué)生分析證明的思路.

生4：由OD是線段BC的垂直平分線，得OB=OC.

由OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，OB=OC，得△BOE≌△COF（HL）.

教師總結(jié)：生4用“HL”定理給予了證明，你還有其他的證明方法嗎？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)只要抓住直角三角形這一特征，可以將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化（由OE=OF,OB=OC,∠OEB=∠OFC=90°，可以獲得BE=CF這一結(jié)論），進(jìn)而分析可以用“SAS”的判定方法進(jìn)行證明.此時(shí)，教師繼續(xù)追問：能否直接證明△BOA與△COA全等？同學(xué)們通過分析發(fā)現(xiàn)滿足的條件是“SSA”，從而否定了這個(gè)思路.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師與學(xué)生一起復(fù)習(xí)和梳理了全等三角形所有的判定方法和注意點(diǎn).

通過上面的證明我們可以獲得AB=AC這一結(jié)論，我們同樣也可以證明BA=BC和CA=CB，這樣不就可以說明△ABC是等邊三角形了嗎？這顯然是不成立的，問題到底出在哪兒呢？

生5：老師，我覺得證明沒有問題，關(guān)鍵在畫圖上.

此話一出馬上得到同學(xué)們的附和，有的說老師是徒手畫的三角形，不準(zhǔn)；也有的說角平分線畫得不準(zhǔn)；還有的認(rèn)為角平分線和中垂線的交點(diǎn)位置好像有問題.

老師順勢(shì)歸納，既然圖形有問題，那么你能畫一個(gè)準(zhǔn)確的圖加以驗(yàn)證嗎？

2.作圖驗(yàn)證

老師結(jié)合同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)作進(jìn)一步的分析，盡管原圖是徒手畫的，三角形的邊被畫歪了，但是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置是固定的，你能用尺規(guī)在學(xué)習(xí)單的空白處畫出一個(gè)三角形，使所畫的三角形與原圖中連接三個(gè)頂點(diǎn)所得的三角形全等嗎？

同學(xué)們紛紛動(dòng)手畫圖.老師要求尺規(guī)作圖有困難的同學(xué)可以與同桌合作完成，并請(qǐng)一同學(xué)在黑板上進(jìn)行了演示（圖形大小按視頻中的進(jìn)行截取，為表述方便，所作三角形仍然用△ABC表示）.師生一起回顧了尺規(guī)作三角形的基本步驟，而后引導(dǎo)學(xué)生分別作∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線，進(jìn)一步復(fù)習(xí)作角平分線和線段的中垂線的相關(guān)知識(shí).同學(xué)們通過作圖發(fā)現(xiàn)：∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線的交點(diǎn)O在△ABC的外部，而并不像視頻中所反映的點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部.此時(shí)才恍然大悟，原來問題出在作圖上.對(duì)此，教師進(jìn)一步歸納：生活中有很多直觀看到的未必就一定是真實(shí)的，我們應(yīng)該用數(shù)學(xué)的原理進(jìn)行規(guī)范作圖和證明，才能發(fā)現(xiàn)問題的根源.

3.提煉升華

教師在完成對(duì)問題的分析、講評(píng)和歸納的基礎(chǔ)上再追一問：“同學(xué)們，我們是否可以總結(jié)出任意三角形其中一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊的中垂線的交點(diǎn)一定在三角形的外面呢？”

這一問題再次將同學(xué)們的思維推向新的高度.同學(xué)們立刻動(dòng)起手來，分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形進(jìn)行尺規(guī)作圖，通過實(shí)踐操作獲得結(jié)論：對(duì)于任意的三角形，其中一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊的中垂線的交點(diǎn)一定在三角形的外面.

老師繼續(xù)追問：“通過作圖我們發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論是正確的，但是怎么證明呢？我們不是學(xué)過，要說明一個(gè)命題是真命題必須給予證明嗎？”

這一下把學(xué)生難倒了，所有學(xué)生都有一種“知其然而不知其所以然”的感覺，一時(shí)間全班陷入了證明說理的困境中.

看到學(xué)生一籌莫展，教師進(jìn)一步引導(dǎo)，我們學(xué)過說明一個(gè)命題是真命題必須給予嚴(yán)格的證明，而當(dāng)我們感到直接證明十分困難時(shí)，是否該換個(gè)思考方式呢？

經(jīng)此點(diǎn)撥，部分優(yōu)秀學(xué)生立刻找到了解題的思路——反證法.

生6：我們可以用反證法證明.假設(shè)交點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，那么根據(jù)我們前面的證明，就能說明它是一個(gè)等邊三角形（學(xué)生邊講邊上黑板畫圖，如圖2），其交點(diǎn)重合于點(diǎn)O（學(xué)生誤把點(diǎn)O當(dāng)成滿足條件的交點(diǎn)）.因此，只有正三角形其交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，否則，交點(diǎn)必定在三角形的外部.

圖2

該同學(xué)的回答得到了同學(xué)們的認(rèn)可，并獲得全班同學(xué)熱烈的掌聲.正當(dāng)同學(xué)們得意時(shí)，老師潑了一盤冷水：“這個(gè)同學(xué)的觀點(diǎn)正確嗎？”

此話一出，同學(xué)們面面相覷，表現(xiàn)出很驚訝的眼神.

不久，生7發(fā)表觀點(diǎn)：我們知道等邊三角形一個(gè)角的平分線和該角的對(duì)邊的中垂線是重合的；同時(shí)，我們?cè)倏幢竟?jié)課開始的問題，假如AB=AC，那么根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)我們可以得到∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線也是重合的.由此可知，等腰三角形其頂角平分線（所在的直線）和底邊上的中垂線是重合的；若不是等腰三角形，其交點(diǎn)一定在三角形的外部.

生7的發(fā)言再次贏得全班熱烈的掌聲.教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了課堂小結(jié)：本節(jié)課我們通過一個(gè)網(wǎng)絡(luò)視頻，對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行推理論證，在這個(gè)過程中復(fù)習(xí)了尺規(guī)作圖和三角形全等證明的相關(guān)知識(shí)，通過進(jìn)一步的探究，發(fā)現(xiàn)并證明了三角形的一個(gè)拓展結(jié)論.同時(shí)，本節(jié)課也告訴我們?cè)S多時(shí)候直觀感覺是有欺騙性的，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)手段和方法對(duì)問題進(jìn)行嚴(yán)密的論證.同學(xué)們可以將我們本節(jié)課研究問題、獲得結(jié)論的方法用于平時(shí)生活和學(xué)習(xí)之中，你定能有新的發(fā)現(xiàn)和收獲.

二、筆者的反思

1.教師精心的課前預(yù)設(shè)和精巧的教學(xué)引導(dǎo)激發(fā)了學(xué)生精彩的課堂演繹

本節(jié)課將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)微視頻作為引課素材，將視頻中教師演繹證明的內(nèi)容進(jìn)行刪減，把證明過程留給學(xué)生完成，達(dá)到了引出問題、制造懸念、激發(fā)興趣的目的，引課環(huán)節(jié)可謂另辟蹊徑，方法獨(dú)到.

視頻中，教師徒手畫圖的設(shè)計(jì)意味深長(zhǎng)，倘若在實(shí)際教學(xué)中，教師定然不能徒手草率畫圖給學(xué)生以負(fù)面的影響，這樣的設(shè)計(jì)也為后續(xù)學(xué)生對(duì)問題的研究提供了很好的平臺(tái)，徒手畫圖，圖不準(zhǔn)導(dǎo)致學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)問題之所在，促使學(xué)生在問題研究時(shí)需要對(duì)圖形提出更高的要求，為尺規(guī)作圖的引出作好了鋪墊.

教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的課堂生成因勢(shì)利導(dǎo)，將學(xué)生的思維不斷引向深刻.學(xué)生從對(duì)假命題的證明中產(chǎn)生了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，在作圖中發(fā)現(xiàn)了問題所在，在拓展思考中探究出一般規(guī)律，從而達(dá)到將問題進(jìn)行提煉升華的目的，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)可謂立意新穎、構(gòu)思巧妙.

教師的課堂語言極其精煉，只在必要時(shí)作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和總結(jié)，教師的組織者、引導(dǎo)者和合作者的地位得到很好的體現(xiàn).學(xué)生課堂參與性好，主體地位得到充分的展現(xiàn).教師給出視頻，引出本節(jié)課的研究對(duì)象，便放手讓學(xué)生探究證明；完成證明后引導(dǎo)學(xué)生探尋產(chǎn)生認(rèn)知沖突的根源；找到原因后教師只作面上的引導(dǎo)，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律；在探究規(guī)律的過程中，教師仍然放手讓學(xué)生去嘗試，只在學(xué)生有困難處加以點(diǎn)撥.在教師巧妙的引導(dǎo)下，出現(xiàn)了一節(jié)學(xué)生參與度高，多次迸發(fā)思維火花的高效課堂.可以說，在教師精心的預(yù)設(shè)和精巧的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維得以精彩的演繹.

2.關(guān)注“四基”的落實(shí)，突出理性精神的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展

本節(jié)課十分關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的“四基”的落實(shí)，注重對(duì)全等三角形知識(shí)（全等三角形的判定和尺規(guī)作圖）的應(yīng)用與整理，重視學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)，關(guān)注尺規(guī)作圖這一基本技能的落實(shí)，滲透了研究問題的基本思想方法.本節(jié)課十分關(guān)注研究問題方法的指導(dǎo)，說明一個(gè)命題是真命題，需要嚴(yán)格的推理論證；當(dāng)證明結(jié)果與實(shí)際不符時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生追根溯源.在探尋問題的根源時(shí)，需要用科學(xué)的原理和方法，這樣的教學(xué)滲透了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的基本思想和方法，促進(jìn)了學(xué)生能力的全面發(fā)展.研究問題時(shí)，從具體的研究對(duì)象入手（不同類型的三角形），歸納出一般的結(jié)論（角平分線和該角的對(duì)邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形外面），在對(duì)問題進(jìn)行論證時(shí)又從一般走向特殊（從一般三角形到等腰、等邊三角形），滲透了研究問題的方法和角度.本節(jié)課十分關(guān)注對(duì)學(xué)生理性精神的培養(yǎng)，讓學(xué)生明白了“直觀與演繹”的關(guān)系，進(jìn)一步感受直觀是用于發(fā)現(xiàn)猜想，演繹才能證明結(jié)論；沒有演繹，直觀往往會(huì)成為錯(cuò)覺，只有將直觀與演繹進(jìn)行完美的結(jié)合，才能揭示事物的本質(zhì)特征.

3.一個(gè)視頻引出一個(gè)問題，理出一章的知識(shí)，這是一種有效的復(fù)習(xí)教學(xué)模式

教師從一個(gè)網(wǎng)絡(luò)視頻出發(fā)，引出一個(gè)研究課題：證明任意一個(gè)三角形都是等腰三角形，讓學(xué)生從一開始就產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，從而緊緊抓住這一沖突，不斷設(shè)置思維障礙，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究；在問題探究過程中，為完成AB=AC的證明，教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形全等的判定；為驗(yàn)證教師所畫的圖形有問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖的相關(guān)知識(shí).可以說通過對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論的研究發(fā)現(xiàn)，將全等三角形的知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和整理.這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)避免了枯燥乏味的知識(shí)梳理和簡(jiǎn)單機(jī)械的解題訓(xùn)練，通過對(duì)一個(gè)有趣問題的探究充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并在問題研究過程中達(dá)到復(fù)習(xí)和梳理知識(shí)點(diǎn)的目的，實(shí)在是一種值得提倡的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式.

4.值得探討的方面

這是一節(jié)高水平的階段性復(fù)習(xí)研討課，值得學(xué)習(xí)的地方很多，當(dāng)然也有值得商榷和研討的地方.就本節(jié)課而言，本人提出以下方面與同行商討.

操作活動(dòng)方式是否過于單一.整節(jié)課教師為達(dá)到完成梳理尺規(guī)作圖的教學(xué)目標(biāo)，將學(xué)生用于發(fā)現(xiàn)問題的操作方式限制于尺規(guī)作圖，而忽略其他操作方式的應(yīng)用，如可以允許學(xué)生利用刻度尺和量角器進(jìn)行度量，從而畫出相應(yīng)的角平分線和中垂線，也可以將三角形紙片進(jìn)行折疊從而產(chǎn)生角平分線和中垂線.對(duì)操作方法的限制其實(shí)是對(duì)學(xué)生思維的限制，對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)極為不利.

教學(xué)方式是否過于單一.以教師提問與引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立探究和師生互動(dòng)交流的方式貫穿整節(jié)課，學(xué)生間的合作與交流、生生間的互助等學(xué)習(xí)方式較少，這樣的教學(xué)對(duì)班級(jí)部分后進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)不利.Z