HPM視角下向量組線性相關(guān)性概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

項(xiàng)晶菁

（西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055）

HPM視角下向量組線性相關(guān)性概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

項(xiàng)晶菁

（西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055）

摘要：將線性代數(shù)的知識(shí)與體系置于HPM的視域之下，可以揭示其知識(shí)生成的歷史情境與認(rèn)識(shí)論的難點(diǎn).這對于向量組的線性相關(guān)性的教學(xué)設(shè)計(jì)是大有裨益的.只有充分利用相關(guān)數(shù)學(xué)史和認(rèn)識(shí)論的分析，才能突破學(xué)生的認(rèn)知和文化心理的阻礙，使線性代數(shù)教學(xué)獲得邏輯性與歷史性的有機(jī)融合.

關(guān)鍵詞：HPM；線性代數(shù)；線性相關(guān)；包含相關(guān)；教學(xué)設(shè)計(jì)

線性代數(shù)在全世界范圍內(nèi)不但被認(rèn)為是高等數(shù)學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)課，而且在物理、化學(xué)和通信等其他學(xué)科中應(yīng)用性極為廣泛.它的歷史文化內(nèi)涵是極其豐富的，而通常的教材都只是注重知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，并不去理會(huì)知識(shí)的形成過程和文化背景，荷蘭大數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）稱之為“把火熱的發(fā)明變成了冷冰冰的美麗”[1]，英國著名心理學(xué)家科斯特（A. Koestler）將之抨擊為“將人類的探索過程歸結(jié)到一堆干巴巴的定理”[2].線性代數(shù)高度的抽象性和嚴(yán)密的符號體系都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，所以即使它的內(nèi)容比起另一門重要的基礎(chǔ)課——高等數(shù)學(xué)要少得多，但還是有很多本科生覺得：這門課難于理解.尤其學(xué)生接觸到線性代數(shù)的難點(diǎn)，如矩陣的秩和向量組的線性相關(guān)性這一部分時(shí)，感覺概念、定理太多，理論性太強(qiáng)，理解起來有些吃力.如何通過給出符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而達(dá)到幫助學(xué)生抓住重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣、提高教學(xué)質(zhì)量呢？HPM為這一問題提供了新的視角.

20世紀(jì)70年代，HPM成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，當(dāng)今已成為國際數(shù)學(xué)教育的新思潮之一[3].國內(nèi)學(xué)術(shù)界直到本世紀(jì)初才開始普遍關(guān)注HPM領(lǐng)域.隨著HPM研究的深入開展，學(xué)術(shù)界日益注重?cái)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的可操作性、具體方法的探討.但基于HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐探索還很少，即便對于了解HPM思想的大學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)仍然不是一件容易的事.有啟發(fā)的思想并不能幫助教師解決如何構(gòu)造教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)踐問題[4~7].數(shù)學(xué)史知識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的具體結(jié)合，一直是HPM學(xué)者們的研究目標(biāo).1995年在美國國家科學(xué)基金資助下成立的、由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主管的數(shù)學(xué)史及其在教學(xué)中的運(yùn)用研究所（IHMT）的重要工作之一是“歷史模塊項(xiàng)目”（Historical Module Project），由HPM學(xué)者V. Katz和K. D. Michalowicz領(lǐng)導(dǎo)，來自大學(xué)、中學(xué)的約三十名數(shù)學(xué)教師參加，分下列模塊進(jìn)行融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)：阿基米德、組合數(shù)學(xué)、指數(shù)與對數(shù)、函數(shù)、幾何證明、長度、面積和體積、線性方程、負(fù)數(shù)、多項(xiàng)式、統(tǒng)計(jì)、三角等[8].在我國，HPM視角下的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)尚不多見.實(shí)際上，教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史助益數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要從HPM的角度綜合數(shù)學(xué)史、邏輯及認(rèn)識(shí)論等諸多教學(xué)要素的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厝谌攵皇呛唵蔚丶尤?

1　HPM視角的理論分析

則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)[9].

運(yùn)用集合論的語言，可將線性相關(guān)與無關(guān)定義為兩個(gè)邏輯上相對立的概念.在大多數(shù)工科院校使用的同濟(jì)版教材中，都將這部分內(nèi)容放在“向量組的線性相關(guān)性”這一章的第二節(jié).也就是，在第一節(jié)介紹“向量組及其線性組合”概念后，第二講開篇就給出了“線性相關(guān)與線性無關(guān)”的正式定義.雖然學(xué)生通過教師的講解、大量的練習(xí)可以解決諸如“這個(gè)向量組是否線性相關(guān)或無關(guān)？”等問題，但是學(xué)生普遍覺得這組概念抽象并難以理解.從很多相關(guān)的研究工作中可以發(fā)現(xiàn)：世界上很多國家的學(xué)生都存在類似的困難[10].可以從HPM的視角來分析其原因.

1.1數(shù)學(xué)史的分析

著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家M·克萊因（M. Kline），十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值.他認(rèn)為：每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史有許多理由，但最重要的一條理由或許是數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南[11].在M·克萊因眼里數(shù)學(xué)史的重要程度可謂無以復(fù)加.他堅(jiān)信歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到過的困難，在課堂上學(xué)生同樣會(huì)遇到，因而歷史對于課堂教學(xué)具有重要的借鑒作用.M·克萊因指出：數(shù)學(xué)絕對不是課程中或教科書里所指的那種膚淺觀察和尋常詮釋，換句話說，它并不僅僅是從明顯敘述的公理推演出無庸置疑的結(jié)論[12].

歷史上“線性相關(guān)與線性獨(dú)立”的概念最早出現(xiàn)在研究求解線性方程組的內(nèi)容之中.1750年，在歐拉的名為Surune contradiction apparentedans la doctrine des lignescourbes的文章中，為了解決克萊姆悖論，第一次討論了方程組中方程間的相關(guān)性.但當(dāng)時(shí)歐拉（L. Euler）提出的實(shí)際上是“包含相關(guān)（inclusive dependence）”而非現(xiàn)代的“線性相關(guān)”[13].在18世紀(jì)初，大家普遍認(rèn)為“一個(gè)方程可以解出一個(gè)未知數(shù)”是一個(gè)正確的命題.然而歐拉在討論克萊姆悖論時(shí)指出，這一命題應(yīng)該有嚴(yán)格的限制條件.為了說明這一點(diǎn)歐拉分別針對兩個(gè)、3個(gè)、4個(gè)方程構(gòu)成的方程組舉出了反例，通過求解過程向人們展示了方程組中的自由未知數(shù)及方程組沒有唯一解的情形.多里耶（J. L. Dorier）在他的文章中將歐拉的定義稱作“包含相關(guān)”[13]（inclusive dependence），也就是方程組中是否有多余的方程，如果有多余方程，這時(shí)稱方程組是線性相關(guān)的；否則，就稱該方程組線性無關(guān).歐拉和其他數(shù)學(xué)家主要考慮的是關(guān)于“如何求解方程組”的問題，而不是將那些方程或向量組本身作為研究對象.歐拉用諸如comprised或contained等詞解釋“包含相關(guān)”的概念.這并不意味著歐拉沒有意識(shí)到從邏輯上看，“包含相關(guān)”與方程組中的方程之間存在著線性相關(guān)性是等價(jià)的.但是，在解線性方程組過程中，“包含相關(guān)”的概念更加一致和有效.然而，進(jìn)一步發(fā)展是很困難的.事實(shí)上，“包含相關(guān)”的概念僅僅局限于求解方程組的內(nèi)容中而不能應(yīng)用于其他學(xué)科，例如n元組中.在這篇文章中，他還第一次提出了關(guān)于“秩”的概念的論點(diǎn).但是，大約又經(jīng)歷了一個(gè)多世紀(jì)才使得“秩”的概念逐漸成熟起來.

直到1875年，德國數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（Frobenius）在其關(guān)于普法夫問題的研究中才跨出決定性的一步.在關(guān)于線性系統(tǒng)的一節(jié)中，他給出了齊次線性方程組個(gè)解線性相關(guān)的定義.然而，現(xiàn)代教科書中的公理化定義方法大約到1930年才盛行，并且花了很長時(shí)間才被數(shù)學(xué)家們所接受.可以想象這樣的概念直接作為“向量組線性相關(guān)性”這一講的開頭，讓學(xué)生理解也是很困難的.知名學(xué)者吳大任的《博洽內(nèi)容獨(dú)特風(fēng)格——<高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)>導(dǎo)讀》中指出：“克萊因反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一個(gè)教育原則是按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律（包括年齡及成熟程度）進(jìn)行教學(xué)……他講數(shù)學(xué)歷史，是因?yàn)樗J(rèn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，在某個(gè)意義上是與人類對數(shù)學(xué)認(rèn)知的歷史過程相對應(yīng)的.”[14]

綜上，在教學(xué)中，高度形式化或公理化的概念不該被過早的介紹和利用.一個(gè)概念的引入必須以了解歷史和參考學(xué)生已有知識(shí)為基礎(chǔ).在HPM視角下做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，雖然我們教學(xué)內(nèi)容有時(shí)會(huì)涉及一些歷史事實(shí)，但并不需要直接給學(xué)生應(yīng)用歷史的教科書.歷史的分析不但可以為教師設(shè)計(jì)如何引入概念提供一些靈感，而且還可以幫助教師理解和分析學(xué)生的錯(cuò)誤.

1.2認(rèn)識(shí)論的分析

R. Ousman曾對即將進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生們進(jìn)行過一次測試.他想在講授向量空間理論之前，通過這次測試了解學(xué)生在線性方程組環(huán)境中，對線性相關(guān)概念的認(rèn)識(shí).他給出了一些線性方程組的例子并且問學(xué)生這些線性方程組是否獨(dú)立.結(jié)果表明，學(xué)生通過解方程組的方法來判別而很少提及方程之間的線性關(guān)系.換句話說，他們很少用研究向量組中向量之間關(guān)系的方法來判定，而大多數(shù)時(shí)間是用解方程組時(shí)方程消失或方程組中剩余未知數(shù)的個(gè)數(shù)來判斷.他們的“線性相關(guān)或獨(dú)立”的概念是與歐拉的“包含相關(guān)”相類似的概念[13].這并不奇怪，這些學(xué)生像歐拉和他的那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家一樣，只是關(guān)心解方程組.因此，“包含相關(guān)”對于他們是更加熟悉的.同樣，在學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)前，通過訪談了解到：中國學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)時(shí)通常已經(jīng)會(huì)非常熟練地用高斯消元法解線性方程組.他們也只有多余方程的概念；當(dāng)他們學(xué)習(xí)正式的“向量組線性相關(guān)”概念時(shí)，應(yīng)該了解這一概念與自己先前概念之間的關(guān)系.否則，他們可能并不清楚這實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)概念.進(jìn)一步，為了幫助學(xué)生更好的理解正式的概念，建立與先前知識(shí)一種良好的直覺基礎(chǔ)是非常重要的.然而，學(xué)生還必須理解新概念的作用，并產(chǎn)生改進(jìn)該概念的想法.M·克萊因從數(shù)學(xué)歷史中獲得了諸多啟示，如：任何一門學(xué)科最初都是通過直觀的方法建立起來的，每一位數(shù)學(xué)家都是直觀地思考問題，然后才用演繹的形式，用文字、數(shù)學(xué)符號和普通的邏輯來表述他的論點(diǎn).因此，數(shù)學(xué)理解乃是通過直觀的方法來獲得的，而邏輯的陳述充其量不過是學(xué)習(xí)的輔助工具.M·克萊因因而提出如下課程原理：必須將每一種數(shù)學(xué)思想或方法的直觀意義從直觀上清楚地講給學(xué)生[15].著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也曾倡導(dǎo)：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是經(jīng)過改良、同時(shí)有更好引導(dǎo)的歷史過程.”也就是他所倡導(dǎo)的“再創(chuàng)造”（reinvention）.應(yīng)該強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)：“再創(chuàng)造”的核心在于“再”；這也就是指，教師在教學(xué)中不應(yīng)該簡單地去重復(fù)當(dāng)年的真實(shí)歷史，而應(yīng)致力于歷史的重建或重構(gòu)（reconstruction）[16].

在“線性相關(guān)（獨(dú)立）”的概念教學(xué)中，學(xué)生必須意識(shí)到正式概念的統(tǒng)一和形成的自然性.因此教師必須創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境去引導(dǎo)學(xué)生借鑒他們先前的知識(shí)去反思、認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì).教師必須在考慮到特殊教學(xué)環(huán)境的約束下，重新建立一個(gè)在認(rèn)識(shí)論指導(dǎo)下的引入概念的方法.

例如，在“線性相關(guān)（獨(dú)立）”概念教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：讓學(xué)生回憶在三維向量空間中兩個(gè)向量共線和三個(gè)向量共面，由他們得出向量間的解析式，再推廣到n維向量空間中，就可以得到“向量組線性相關(guān)性”的定義.中國學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)時(shí)通常已經(jīng)會(huì)用高斯消元法解線性方程組.因此可以在教線性代數(shù)初期，讓他們回憶這種方法，并將之作為一種工具及研究線性方程組性質(zhì)的一種手段.事實(shí)上，高斯消去法是一個(gè)更加技術(shù)性的工具而且是一個(gè)顯示“包含相關(guān)”與“線性相關(guān)”之間聯(lián)系的更好的方法，因?yàn)榈葍r(jià)方程（在方程組線性相關(guān)的情況下）是通過對原方程組的一系列連續(xù)的線性變換而獲得.進(jìn)一步，可以由問題“齊次線性方程組解集的大小和方程組中相關(guān)方程的數(shù)字之間有什么關(guān)系？”作為第一次從直覺上接近“秩”概念的引入方法.

總之，在線性相關(guān)（獨(dú)立）這一概念上，人們不可避免會(huì)遇到認(rèn)識(shí)論上的障礙.在做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)引起特別關(guān)注.

“向量組的線性相關(guān)性”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，要本著統(tǒng)一學(xué)生已有直覺概念和正式概念為目的.在線性代數(shù)發(fā)展史中理解這一事實(shí)，對于建立“秩”和“二元性”概念是非常重要的.因此，即便是在低層次的理論中，形式概念的提出應(yīng)該基于學(xué)生已有的直覺.教學(xué)設(shè)計(jì)的方法是盡量避免其直接出現(xiàn)，或至少使其在最后一個(gè)階段逐漸出現(xiàn).正式概念應(yīng)該能夠被學(xué)生劃歸到他們已有的知識(shí)體系中再提出，從而有利于學(xué)生理解和掌握.

2　教學(xué)設(shè)計(jì)

汪曉勤教授曾經(jīng)將數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式歸結(jié)為以下4種：附加式；復(fù)制式；順應(yīng)式及重構(gòu)式[17].研究者在教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)用重構(gòu)式（借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史）來創(chuàng)設(shè)情境引出“向量組的線性相關(guān)性”概念，并在概念的深入反思階段運(yùn)用復(fù)制式（直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題）為概念在線性方程組內(nèi)容中找到實(shí)際背景.

以下是具體的教學(xué)設(shè)計(jì)：

2.1復(fù)習(xí)引入

在教學(xué)的初始環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生先回憶上一節(jié)課學(xué)習(xí)的“向量組及其線性組合”的概念，以及一個(gè)向量能由一組向量線性表示及兩組向量可以相互線性表示的概念，即讓學(xué)生明確上一講實(shí)際上研究了一個(gè)向量與一組向量、兩個(gè)向量組之間的關(guān)系.并指出接下來將進(jìn)一步研究一個(gè)向量組內(nèi)在的關(guān)系.

2.2創(chuàng)設(shè)情境

在介紹向量組線性相關(guān)性概念之前，引導(dǎo)學(xué)生回憶在三維向量空間中關(guān)于兩個(gè)向量共線和3個(gè)向量共面的問題：

圖1　兩個(gè)向量共線

如圖2：若3個(gè)向量a1,a2,a3共面，必有一個(gè)向量可用其他向量來表示，不妨設(shè)a3=l1a1+l2a2，移項(xiàng)得l1a1+l2a2+(-1)a3=0，就是找到一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3∈R ，使得k1a1+k2a2+k3a3=0.

圖2　3個(gè)向量共面

然后引導(dǎo)學(xué)生將上述推廣到n維向量空間，就引出了向量組線性相關(guān)的一個(gè)更為正式的定義：

給定向量組A：a1,a2,L,am，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,L,km∈R ，使得k1a1+k2a2+L+kmam=0，則稱向量組A是線性相關(guān)的.

由于從邏輯上看，線性相關(guān)與無關(guān)是相對立的兩個(gè)概念，因此正式的得到線性無關(guān)的定義僅僅是一個(gè)純粹的邏輯問題.即加上“否則稱它線性無關(guān)”就可以了.

這里研究者通過學(xué)生已有的關(guān)于三維空間中兩個(gè)向量共線及3個(gè)向量共面的幾何直觀結(jié)論，得到了一個(gè)非常直觀的定義：“一個(gè)向量關(guān)于其他向量是線性相關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)它是其他向量的線性組合.”（稱之為直覺定義）在沒有任何困難的情況下，提供了獨(dú)立向量組的定義為：一個(gè)向量組其中沒有任何一個(gè)向量是其他向量的一個(gè)線性組合.并且，通過移項(xiàng)，就可以得到正式定義的解析式.

2.3深入反思

從認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)過程一樣，遵循著“實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐”這個(gè)辯證唯物論的認(rèn)識(shí)路線.因此在講解正式的定義后，可以回到引例，從三維向量空間中兩個(gè)向量線性相關(guān)就可以得到這兩個(gè)向量共線，3個(gè)向量線性相關(guān)就可以推出這3個(gè)向量共面.將之作為線性相關(guān)的幾何意義.最后應(yīng)用類比的方法得到：在n維向量空間中，雖然已沒有相應(yīng)的幾何直觀形象，仍然可以推出：向量組A：a1,a2,…,am是線性相關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)A中至少有一個(gè)向量是其他向量的線性組合.也就是將直覺定義作為正式定義的推論.

最后，講解文[10]中數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，即講述歐拉在求解以下兩個(gè)方程組時(shí)提出的方程組有多余方程、有自由未知數(shù)從而沒有唯一解.

兩個(gè)方程時(shí)歐拉所舉出的例子：

4個(gè)方程時(shí)歐拉所舉出的例子：

這個(gè)概念對于學(xué)生在他們直觀的背景下是非常好理解的.即：n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組是否有多余方程的問題（回到了歐拉包含相關(guān)的定義）.將向量組的線性相關(guān)性在線性方程組的內(nèi)容中找到了實(shí)際背景.

3　教學(xué)反饋與結(jié)論

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性歸根結(jié)底要經(jīng)過課堂實(shí)踐的檢驗(yàn).教學(xué)實(shí)踐后，研究者進(jìn)行了相關(guān)的問卷調(diào)查，結(jié)果表明：87.4%的學(xué)生對數(shù)學(xué)史知識(shí)感興趣；95%的學(xué)生愿意了解數(shù)學(xué)史知識(shí)；89%的學(xué)生認(rèn)同數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué).93%的學(xué)生覺得這節(jié)課的內(nèi)容易于理解、掌握.課后，研究者對提前預(yù)習(xí)的學(xué)生進(jìn)行了訪談：學(xué)生覺得經(jīng)過這樣處理后這一節(jié)比較好理解.實(shí)踐證明，這個(gè)方法對于學(xué)生掌握線性相關(guān)與獨(dú)立的概念是有效的，進(jìn)一步，學(xué)生甚至發(fā)現(xiàn)正式定義比直覺定義更加實(shí)用.因此正式定義是用于證明向量組線性相關(guān)性的實(shí)用方法.設(shè)想當(dāng)需要檢驗(yàn)3個(gè)向量u,v ,w獨(dú)立時(shí).如果證明了u不是v和w的線性組合，仍然有可能u,v ,w向量線性相關(guān).事實(shí)上，如果從證明一個(gè)向量不是其他向量的線性組合開始，當(dāng)超過3個(gè)向量時(shí)將變的更加危險(xiǎn)和麻煩.理論上說，如果應(yīng)用直覺定義證明，人們需要驗(yàn)證向量組中每一個(gè)向量都不是其他向量的線性組合.雖然有捷徑（可以驗(yàn)證v,w是不共線的），但這需要學(xué)生對線性相關(guān)概念有很好的理解.如果運(yùn)用正式的定義來證明，由于向量組中每個(gè)向量的地位是均等的，因此是一個(gè)實(shí)用且能夠有效防止錯(cuò)誤的方式.當(dāng)學(xué)生知道一些向量是線性相關(guān)的，也就知道其中至少有一個(gè)向量是其他向量的線性組合.

HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該是一種藝術(shù)的再創(chuàng)造.教學(xué)內(nèi)容是產(chǎn)品設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)史的知識(shí)是資源、寶藏，教師是教學(xué)設(shè)計(jì)者、藝術(shù)家.只有把對數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯分析、歷史分析和認(rèn)知分析結(jié)合起來，通過學(xué)習(xí)單元的設(shè)計(jì)和實(shí)施，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的有機(jī)融入，才能達(dá)到突破教學(xué)難點(diǎn)，盡除師生藩籬.

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1]J Fauvel, J van Maanen. History in Mathematics Education [M]. Dordreeht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[2]M Kline, Carl B. Boyer in Memoriam [J]. Historic Mathematics, 1976, (3): 387-394.

[3]汪曉勤，歐陽躍.HPM的歷史淵源教[J].數(shù)學(xué)育學(xué)報(bào)，2003，12（3）：24-27.

[4]朱鳳琴，徐伯華.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模式的國際研究與啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（6）：22-25.

[5]呂世虎，曹春燕，葉蓓蓓.數(shù)學(xué)教育學(xué)學(xué)科建設(shè)三十年：回顧與反思[J].當(dāng)代教育與文化，2014，（5）：55-59.

[6]王光明，佘文娟，宋金錦.基于NVivo10質(zhì)性分析的高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)模型[J].心理與行為研究，2014，（1）：74-79.

[7]曹一鳴.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式探究[J].課程·教材·教法，2003，（1）：46-48.

[8]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（1）：16-18.

[9]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[10]Victor J Katz. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective [M]. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2000.

[11]Albers D J, Alexanderson G L. Mathematical People: Profiles and Interview [M]. Boston: Birkhauser, 1985.

[12]Kline M, Carl B. Boyer in Memoriam [J]. Historic Mathematics, 1976, (3): 387-394.

[13]Victor J Katz. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective [M]. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2000.

[14]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].舒湘芹，陳義章，楊欽棵譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[15]Kline M A. Logic Versus Pedagogy [J]. American Mathematical Monthly, 1970, 77(3): 264-282.

[16]鄭瑋，鄭毓信.HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“再創(chuàng)造”[J].數(shù)學(xué)育學(xué)報(bào)，2013，22（6）：4-7.

[17]汪曉勤.HPM與初中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展——一個(gè)上海的案例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：18-22.

[責(zé)任編校：陳雋]

Teaching Designs of Linear Dependence under the HPM Point of View

XIANG Jing-jing
(School of Science, Xi’an University of Architecture and Technology, Shanxi Xi’an 710055, China)

Abstract:Thispaper proposes a novel approach to teaching linear algebra under the HPM point of view. Such approach can reveal the difficulties of epistemology and their solutions in the context of historical events. It will benefit the teaching design of the linear dependence of vectors. We hope that, with the detailed instructions of the relevant mathematical history and the epistemological analysis, such teaching methodology can help break students’ cognitive and cultural psychological barriers and integrate the logic and history of the teaching of linear algebra.

Key words:HPM; linear algebra; linear dependence; inclusive dependence; teaching designs

作者簡介：項(xiàng)晶菁（1973—），女，浙江海寧人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——工科院校進(jìn)一步推進(jìn)數(shù)學(xué)文化通識(shí)教育的實(shí)踐與研究（SGH140577）

收稿日期：2015-03-07

中圖分類號：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0057-04