實變函數(shù)中集合外測度三種定義的等價性

胡永模，周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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實變函數(shù)中集合外測度三種定義的等價性

胡永模，周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文列出了實變函數(shù)中集合外測度的三個常見的定義，并對其之間的等價性給出了證明。通過這三種定義證明了外測度的一些基本性質(zhì)，從而更好地揭示外測度這一概念的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：外測度；開區(qū)間；開集；可測集

實變函數(shù)論中核心的內(nèi)容之一是建立在測度理論上的勒貝格積分理論，而測度理論的核心是建立一般集合外測度。因而集合外測度概念是實變函數(shù)中的一個基本概念。目前實變函數(shù)論的各種教材中定義的集合外測度概念都是用開區(qū)間的長度(面積，體積)來定義的，即

Ii為有限區(qū)間，i=1,2,…}

(1)

在本文中我們分別通過開集以及可測集的測度來給出一般集合勒貝格外測度的另外兩種定義形式并對其等價性給出證明。

1外測度另外兩種定義

定義1設(shè)E?Rn，則稱

m*E=inf{m(O)|O為開集，且O?E}

(2)

為E的外測度。

定義2設(shè)E?Rn，則稱

m*E=inf{m(A)|A為可測集，且A?E}

(3)

為E的外測度。

2三種定義間的等價性的證明

inf{m(O)|O為開集且O?E}≤

即

即

證明(2)式與(3)式的等價性事實上，由于開集一定為可測集，所以，

{O|O為開集且O?E}?{A|A為可測集且A?E}

所以，{m(O)|O為開集且O?E}?{m(A)|A為可測集且A?E}，所以，inf{m(O)|O為開集且O?E}≥inf{m(A)|A為可測集且A?E}

即

在綠色西江建設(shè)方面，深化“政、企、軍”船舶防污染應(yīng)急合作共建工作。完善西江水上突發(fā)事件隊伍共建機制，深化西江水上突發(fā)事件應(yīng)急資源共享機制，提升西江溢油應(yīng)急響應(yīng)速度。

所以

3應(yīng)用實例

用以上等價定義來證明下列三條基本性質(zhì)：

1)m*E≥0，當(dāng)E為空集時，m*E=0；

2)單調(diào)性，設(shè)A?B，則m*A≤m*B；

3.1用(1)式來證明這三條性質(zhì)

3.2用(2)式證明這三條性質(zhì)

①基本性質(zhì)1 顯然成立；

②基本性質(zhì)2的證明：設(shè)A?B，O為一覆蓋B的開集，則O一定覆蓋A，因而m*A≤m(O)，所以

m*A≤inf{m(O)|O為開集且O?B}≤m*B

3.3用(3)式來證明這三條性質(zhì)

①基本性質(zhì)1 顯然成立；

②基本性質(zhì)2的證明：設(shè)A?B，E為可測集，且E覆蓋B，則E一定覆蓋A，因而m*A≤mE，即

m*A≤inf(mE)=m*B

所以m*A≤m*B

4幾點評注

可測函數(shù)的上述三種定義，盡管等價但各有優(yōu)點和缺陷。

(1)傳統(tǒng)外測度定義是從區(qū)間的長度(面積，體積)的角度描述的。該定義比較自然，且簡捷明快，容易跟數(shù)學(xué)分析中區(qū)間的長度(平面與空間區(qū)域的面積與體積)作比較，使學(xué)生懂得外測度實際上是長度(面積，體積)的推廣，故易于理解和接受。但這一定義不易刻畫后續(xù)章節(jié)中可測集的結(jié)構(gòu)，可能易將點集的可測性與函數(shù)的可測性相混淆。

(2)另外兩種定義是從不同的逼近角度，利用集合的開集與可測集的逼近定理來刻畫集合的外測度。 該定義容易刻畫后續(xù)章節(jié)中可測集的結(jié)構(gòu),這使得我們把握住了可測集的結(jié)構(gòu)和實質(zhì)。但這兩個定義比較抽象，不容易跟數(shù)學(xué)分析中區(qū)間的長度(平面與空間區(qū)域的面積與體積)作比較，故學(xué)生理解起來困難。

參考文獻:

[1] 程其襄, 張奠宙, 魏國強, 等. 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].第2版.北京: 高等教育出版社, 2003.

[2] 江澤堅, 吳志泉.實變函數(shù)論[M].北京: 高等教育出版社, 1994.

[3] 吳炯圻, 周戈. 實變與泛函——基本原理與思想方法[M]. 廈門：廈門大學(xué)出版社, 2004.

[4] 夏道行, 吳卓人, 嚴(yán)紹宗, 等. 實變函數(shù)與泛函分析(上冊)[M]. 北京：人民教育出版社, 1987.

[5] W.Rudin. Real and complex analysis[M]. New York: McGraw-Hill, 1966.

Equivalence of Three Definitions about Exterior Measure in Real Variable Function

HU Yong-mo, ZHOU Qi-sheng

(Department of mathematics and computational science, Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, we set out three ordinary definitions of exterior measure and prove their mutual equivalence. In addition,we prove some exterior measure's basic properties by using the three definitions.So the concept essence of exterior measure can be better showed.

Key words:exterior measure,open interval,open set,measurable set

文章編號：1007-4260(2015)03-0107-03

中圖分類號：O174.1

文獻標(biāo)識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.028

作者簡介：胡永模，男，安徽無為人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向為算子理論與算子代數(shù)。

基金項目：安慶師范學(xué)院校級青年科研項目(KJ201106)，安徽省質(zhì)量工程項目(2012gxko75)省級精品資源共享課程《實變函數(shù)》。

收稿日期：2014-07-16

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.028.html