開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)最值問(wèn)題的探討

黃明秋

(長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410124)

我們知道，閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定存在最大值與最小值，并且函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值只能在區(qū)間(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)處、不可導(dǎo)點(diǎn)處，以及在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。因此，求閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最值，只需求出以上3種點(diǎn)處(存在的話(huà))的函數(shù)值，然后比較這些函數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值與最小值。

同時(shí)，我們也知道開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)不一定存在最大值與最小值。那么如何比較全面地解決開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)的最值問(wèn)題呢？

1 下面分以下三種情形進(jìn)行討論：

1.1 對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)，如果

那么，可以當(dāng)成求閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最值。

同時(shí)，上述方法對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞),(-∞,+∞)連續(xù)的最值問(wèn)題可以按照下面的方式解決。

最后，應(yīng)當(dāng)注意確定有沒(méi)有最大值與最小值時(shí)，只有當(dāng)所取最值點(diǎn)是在區(qū)間(a,b)或(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,+∞)內(nèi)的駐點(diǎn)處、不可導(dǎo)點(diǎn)處，以及在區(qū)間的端點(diǎn)(半開(kāi)半閉)處時(shí)才存在。也就是說(shuō)如果某最值點(diǎn)取在所設(shè)的極限值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(虛擬點(diǎn))處時(shí)，該最值是不存在的。

例1求函數(shù)y=f(x)=sinx-xcosx在區(qū)間(0,4π)內(nèi)的最值。

解y′=cosx-cosx+xsinx=xsinx

求出駐點(diǎn)x=π,2π,3π

又f(x)=π,f(2π)=-2π,f(3π)=3π

所以該函數(shù)只有最小值-2π，沒(méi)有最大值。

例2求函數(shù)y=x2e-x在[0，+∞]內(nèi)最值。

解y′=2xe-x-x2e-x，求出駐點(diǎn)x=0,x=2

注意本函數(shù)只有一個(gè)最小值點(diǎn)x=0。

例3求函數(shù)f(x)=xe-x2的最值。

解該函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)

1.2 對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x),如果兩個(gè)極限中至少有一個(gè)為不存在，且該不存在為+∞或-∞

(1)當(dāng)某極限為+∞時(shí)，則說(shuō)明該函數(shù)一定不存在最大值；

(2)當(dāng)某極限為-∞時(shí)，則說(shuō)明該函數(shù)一定不存在最小值；

(3)當(dāng)兩個(gè)不存在的極限分別為+∞和-∞時(shí)，則說(shuō)明該函數(shù)既不存在最大值，也不存在最小值。

注意：(1)極限存在時(shí)的處理同第一種情形。

(2)上述方法對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)連續(xù)的最值問(wèn)題可以按照第一種情形方式處理。

例4求函數(shù)y=x3-3x2-9x+2在(-2,+∞)內(nèi)最值。

解y′=3x2-6x-9，求出駐點(diǎn)x=-1,x=3

所以，該函數(shù)在x=3處取得最小值-25，但該函數(shù)不存在最大值。

1.3 對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)，如果兩個(gè)極限中至少有一個(gè)為不存在，且該不存在既不為+∞，也不為-∞。但存在無(wú)限趨近于它的兩個(gè)子列和使得兩個(gè)子列的極限一個(gè)為+∞，另一個(gè)為-∞。那么該函數(shù)一定既不存在最大值，也不存在最小值

注意：(1)此時(shí)，無(wú)需再考察端點(diǎn)與駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)的情況。

(2)上述方法對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)連續(xù)的最值問(wèn)題可以按照第一種情形方式處理。

例5求函數(shù)f(x)=cosx+xsinx在[0，+∞)上的最值。

解取無(wú)限趨近于+∞兩個(gè)子列

所以，該函數(shù)不存在最值。

解取無(wú)限趨近于0+兩個(gè)子列

所以，該函數(shù)不存在最值。

2 總結(jié)

綜合上面的討論，連續(xù)函數(shù)的最值問(wèn)題得到了比較全面的解決。