給定距離數(shù)的有限點(diǎn)集直徑圖的研究

魏祥林，叢 悅，高飛星

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

給定一平面點(diǎn)集X，如果X中的任意兩點(diǎn)確定的互異距離數(shù)為k，則稱X為k距離集。用d(x，y)表示平面上互異兩點(diǎn)x，y之間的距離，記X中的最大距離為直徑D。令XD={x，y∈X:d(x，y)=D}。用m=m(X)=|XD|表示XD中的元素個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)［1］引入了直徑圖DG(XD)的概念，直徑圖DG(XD)是由X中所有直徑構(gòu)成的圖。d(v)表示直徑圖DG(XD)中與v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)，稱之為v的度。Pn表示由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的一條路，Cn表示由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)圈。當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，加法運(yùn)算在模n的條件下進(jìn)行。定義Rn為正n邊形頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，R+n為正n邊形頂點(diǎn)和中心所組成的集合，Rn－i表示正n邊形中n－i個(gè)頂點(diǎn)組成的集合。ERDOS和FISHBURN在文獻(xiàn)［2］中討論了確定k距離的最大點(diǎn)集，記最大點(diǎn)集所含點(diǎn)數(shù)為g(k)，并給出g(1)=3，g(2)=5，g(3)=7，g(4)=9，g(5)=12，對最大5距離集給出了詳細(xì)的討論，提出兩大猜想:g(6)=13且這樣的十三點(diǎn)集只有3個(gè);確定了g(k)(k≥7)的最大點(diǎn)集只能在三角形格點(diǎn)上。文獻(xiàn)［3］論證了3距離集的構(gòu)造。SHINOHARA在文獻(xiàn)［1］中論證了12點(diǎn)5距離集的構(gòu)造唯一性。文獻(xiàn)［4］—文獻(xiàn)［8］中給出的11點(diǎn)5距離集的構(gòu)造，7點(diǎn)4距離集的構(gòu)造，證明了最大6距離集為13點(diǎn)集的猜想，即g(6)=13。文獻(xiàn)［8］對直徑圖為圈C2k－3的k距離集進(jìn)行了分析，相關(guān)的研究見文獻(xiàn)［9］—文獻(xiàn)［14］。本文通過對直徑圖中d(v)的分析，給出了m=12時(shí)一類特殊的7距離集直徑圖，這是研究最大7距離集的基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［2］設(shè)D為平面n點(diǎn)集X的直徑，其中n≥3，m=|XD|，

1)如果m≥3，那么XD的點(diǎn)是凸m邊形的頂點(diǎn);

2)如果XD中減少的點(diǎn)數(shù)超過，那么直徑D不存在。

引理2［1］在X中，設(shè)直徑圖G=DG(XD)。則有:

1)當(dāng)k≥2時(shí)，G中不包含C2k，即G中只能包含奇圈。

2)G中最多只能包含一個(gè)圈。

引理3［5］如果d(v)=k≥2，v∈XD，那么v所對應(yīng)的k條直徑的端點(diǎn)是相繼的。

引理4［5-6］平面點(diǎn)集X，m=|XD|，設(shè)XD={1，2，3，…，m}，m個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針順序連續(xù)排列，S是XD中的一個(gè)子集，S={k，k+1，k+2，…，k+l－1}。如果線段［k，k+l－1］是S中的最長線段，d(k，k+i)＜d(k，k+l－1)，i=1，2，3，…，l－2，那么d(k，k+1)＜d(k，k+2)＜d(k，k+3)＜…＜d(k，k+l－1)≤D。

引理5［15］設(shè)X是含有s個(gè)距離的凸n邊形頂點(diǎn)集，其中D=d1＞d2＞…＞ds。如果凸n邊形有一條邊的長度為D，那么必有s≥n－2。

引理6［2］同一個(gè)圖中任意2條直徑相交或者有一端點(diǎn)相同。

2 k距離集直徑圖

定理1 設(shè)X是k距離集，且m=|XD|=2k－1，那么對于任意v∈XD，d(v)≤2。

證明 設(shè)X的k個(gè)距離為D=d1＞d2＞…＞dk，根據(jù)引理1可得XD是一個(gè)凸的2k－1邊形的頂點(diǎn)集。設(shè)XD={1，2，3，…，2k－1}，2k－1個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次排列。對于任意i∈XD，若d(i，j)=D，j={i+1，i+2，…，i+k－3}，根據(jù)引理5，此時(shí)X的互異距離數(shù)大于k，于是d(i)≤4，i∈XD。由于XD上所有2k－1個(gè)點(diǎn)沒有本質(zhì)上的區(qū)別，討論情形一樣，不失一般性，下面討論d(1)≤4的情況。

情形1:推證d(1)≠4。

若d(1)=4，由引理3 可知d(1，k－1)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D。再根據(jù)引理 6，可知d(2，k+1)≠D。通過引理4得到D=d(1，k+1)＞d(2，k+1)＞d(3，k+1)＞…＞d(k，k+1)，共k個(gè)不同距離。并且d(k，k+1)=d(k－1，k)=d(k－2，k－1)=…=d(1，2)=dk，d(k－1，k+1)=d(k－2，k)=d(k－3，k－1)=…=d(1，3)=dk－1。由此推得 1，2，3，…，k+1 在同一個(gè)圓上。顯然與d(1，k－1)=d(1，k)=d(1，k+1)矛盾。

情形2:推證d(1)≠3。

若d(1)=3，令d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D。如果d(3，k+2)≠D，則d(3，k+3)=D，根據(jù)定理4 可得D=d(3，k+3)＞d(4，k+3)＞d(5，k+3)＞…＞d(k+2，k+3)=dk，因此3，4，5，…，k+2，k+3 在同一個(gè)圓上，推出d(1，k+3)=D，矛盾。所以d(3，k+2)=D。根據(jù)引理3，可以得到d(2，k+2)=D，再由引理4得出d(k+1，k+2)≤dk－1，d(1，2)≤dk－1。若d(k+1，k+2)=dk－1，則d(k，k+2)=dk－2。因?yàn)閐(2，k+1)＜d1，所以d(k，k+1)=dk，d(k－1，k+1)=dk－1，d(k－2，k+1)=dk－2=d(k，k+2)，d(k－2，k)=dk－1，于是∠(k－2)k(k+1)=∠(k+2)k+1(k)，∠(k－2)k(k+1)=∠(k+2)k+1(k)。得到Δ(k－2)k(k+1)?Δ(k+2)k(k+1)。從而k－2，k，k+1，k+2共圓，得到d(1，k－2)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D，和已知矛盾，故d(k+1，k+2)=dk。假設(shè)d(1，2)=dk－1，由引理4可得d(1，3)=dk－2=d(2，5)，d(1，2)=d(3，5)=dk－1，Δ123?Δ532。于是1，2，3，5 共圓，從而d(1，k+2)=d(2，k+2)=d(3，k+2)=d(5，k+2)=D，矛盾。故d(1，2)=dk。d(k，k+2)=d(k－1，k+1)=dk－1，d(k+1，k+2)=d(k－1，k)=dk，則k－1，k，k+1，k+2 共圓，與已知矛盾。類似地，d(1，3)=d(2，4)=dk－1，d(1，2)=d(3，4)=dk，1，2，3，4 共圓，矛盾。

3 m=12的7距離集

定理2 設(shè)X是7距離集，并且m=|XD|=12，DG(XD)=P10∪P2。則XD=R15－3。

證明 設(shè)X的7個(gè)距離為D=d1＞d2＞d3＞d4＞d5＞d6＞d7，且DG(XD)=P10∪P2。如圖1所示，令XD={1，2，3，…，12}，因?yàn)閄是7距離集，由引理 4得到d7≤d(i，i+1)≤d6，i∈XD。通過引理3，不妨令D=d(1，7)=d(2，8)=d(3，8)=d(3，9)=d(4，9)=d(4，10)=d(5，10)=d(5，11)=d(6，11)=d(6，12)。

圖1 直徑圖P10∪P2Fig.1 Diameter graph P10∪P2

情形1:推證d(2，3)=d(11，12)=d7。

下面證明d(2，3)=d7，(d(11，12)=d7的證明類似)。

用反證法證明，假設(shè)d(2，3)=d6，推出矛盾，則結(jié)論正確。

根據(jù)引理4得到d6=d(2，3)＜d(2，4)＜d(2，5)＜d(2，6)＜d(2，7)＜d(2，8)=D，d6=d(3，2)＜d(3，1)＜d(3，12)＜d(3，11)＜d(3，10)＜d(3，9)=D，d5=d(1，3)＜d(1，4)＜d(1，5)＜d(1，6)＜d(1，7)=D，d5=d(4，2)＜d(4，1)＜d(4，12)＜d(4，11)＜d(4，10)=D。

如果d(9，10)=d6，由引理4得，d6=d(9，10)＜d(9，11)＜d(9，12)＜d(9，1)＜d(9，2)＜d(9，3)=D，d4=d(9，12)＜d(8，12)＜d(7，12)＜d(6，12)=D。因?yàn)閐(2，3)=d(9，10)，d(2，9)=d(3，10)=d2，可以得到點(diǎn)2，3，9，10;1，3，9，11;1，5，8，12;2，4，9，11;2，5，9，12;1，2，6，9;1，2，7，8;2，6，8，12;1，4，9，12 分別共圓。若d(3，4)=d6，則d(3，4)=d(9，10)=d6，3，4，9，10 共圓，因此 1，2，…，12 共圓。此時(shí)得到的是一個(gè)不含有d7距離的集合，矛盾。如果d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，因此∠283＞∠394，從而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。d(9，10)=d6，通過引理4得到d(2，9)=d2。在△289和△489中，顯然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。所以d(9，10)=d7。

假設(shè)d(8，9)=d6，由引理4得，d6=d(8，9)＜d(8，10)＜d(8，11)＜d(8，12)＜d(8，1)＜d(8，2)=D，d3=d(8，12)＜d(12，7)＜d(12，6)=D，可以得到點(diǎn)2，3，8，9;1，3，8，10;3，8，11，12;1，2，7，8;2，4，8，10;2，5，8，11;2，6，8，12分別共圓。若d(3，4)=d6，則3，4，8，9共圓，于是所有點(diǎn)共圓，其中3，4，9，10 共圓，d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。當(dāng)d(3，4)=d7時(shí)，∠439= ∠349。由于d6=d(8，9)＞d(9，10)=d7，所以∠839＞∠94*(* 表示點(diǎn)10)?！?4*=∠349－∠94* ＞∠439－∠839=∠438，在△34* 和△348 中，d(3，10)＞d(4，8)。類似地，∠289＜∠498，d(2，9)＜d(4，8)。通過引理4，d(2，9)≥d3，可得d(4，8)=d2。而d(3，10)≠D，顯然與d(3，10)＞d(4，8)矛盾，所以d(8，9)=d7。

如果d(10，11)=d6，根據(jù)引理4可得d6=d(10，11)＜d(10，12)＜d(10，1)＜d(10，2)＜d(10，3)＜d(10，4)=D，d5=d(10，12)＜d(12，9)＜d(12，8)＜d(12，7)＜d(12，6)=D，于是點(diǎn)2，3，10，11;1，3，10，12;1，4，9，12分別共圓。若d(3，4)=d6，則點(diǎn)3，4，10，11;2，4，10，12分別共圓。因此3，4，9，10共圓。即d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。若d(3，4)=d7，∠398= ∠389，因?yàn)閐6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，所以∠283＞∠394，且∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。故d(10，11)=d6，通過引理4可得，d(2，9)=d2。在△289和△489中，顯然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。故d(10，11)=d7。

如果d(11，12)=d6，根據(jù)引理4可得d6=d(11，12)＜d(10，12)＜d(9，12)＜d(8，12)＜d(7，12)＜d(6，12)=D，d6=d(11，12)＜d(1，11)＜d(2，11)＜d(3，11)＜d(4，11)＜d(5，11)=D，于是 2，3，11，12;2，4，10，12;1，2，4，11分別共圓。若d(3，4)=d6，則點(diǎn)3，4，11，12;1，4，9，12分別共圓，從而3，4，9，10共圓，矛盾。若d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，使得∠283＞∠394，從而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。并且d(11，12)=d6，再根據(jù)引理4得出d(2，9)=d2，在△289和△489中，d(4，8)＞d(2，9)=d2，明顯與d(4，8)≠D矛盾。所以d(11，12)=d7。

若d(1，12)=d6，根據(jù)引理4得d6=d(1，12)＜d(1，11)＜d(1，10)＜d(1，9)＜d(1，8)＜d(1，7)=D，d6=d(1，12)＜d(2，12)＜d(3，12)＜d(4，12)＜d(5，12)＜d(6，12)=D，那么點(diǎn) 1，2，3，12;1，2，4，11;1，2，5，10分別共圓。如果d(3，4)=d6，易得點(diǎn)1，3，4，12;1，2，4，9;1，3，5，11 分別共圓，從而點(diǎn)3，4，9，10共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7矛盾。如果d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，于是∠283＞∠394，從而∠289=∠389－∠283＜∠398－ ∠394=∠498。并且d(1，12)=d6，再根據(jù)引理4 得到d(2，9)=d2，在△289 和△489中，顯然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。所以d(1，12)=d7。

若d(3，4)=d7，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，所以∠283＞∠394，從而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。根據(jù)引理 4得到d(2，9)≥d3，在△289和△489中，顯然d(4，8)＞d(2，9)，且d(4，8)＜D，因此d(4，8)=d2＞d(2，9)≥d3，再根據(jù)引理 4，得到d(1，2)=d7。于是 1，2，3，4，5，8，9，10，11，12 在同一個(gè)圓上，即2，3，8，9 共圓。d6=d(2，3)=d(8，9)=d7，矛盾。因此d(3，4)=d6。

在△49*中(*表示點(diǎn)10)，如果d(3，4)＞d(4，5)，那么∠394＞∠4*5。得到∠39*＜∠5*9，因此d(5，9)＞d(3，10)，而根據(jù)引理4得到d(3，10)=d2，而d(5，9)≠D，矛盾。因此d(3，4)≤d(4，5)。由于d(i，i+1)≤d6，于是d(3，4)=d(4，5)=d6。同理，得到d(5，6)=d(4，5)=d6。

若d(1，2)=d6，通過引理 4，d6=d(1，2)＜d(2，12)＜d(2，11)＜d(2，10)＜d(2，9)＜d(2，8)，且d6=d(1，2)=d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(5，6)，因此1，2，3，4，5，6 在同一個(gè)圓上，并且2，3，6，11;2，3，5，12 共圓，所以5，6，11，12 共圓，d6=d(5，6)=d(11，12)=d7，矛盾，因此d(1，2)=d7。

如果d(6，7)=d6，1，2，3，4，5，6，7 共圓，即1，2，6，7共圓，d6=d(6，7)=d(1，2)=d7，矛盾，所以d(6，7)=d7。

當(dāng)d(7，8)=d6時(shí)，點(diǎn)1，2，3，4，5，6，7在同一個(gè)圓上，且1，3，7，9;1，4，7，10分別共圓，從而3，4，9，10共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。當(dāng)d(7，8)=d7時(shí)，同樣得到 3，4，9，10 共圓，即d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。由上述討論可知d(7，8)=d6及d(7，8)=d7均不成立，因此假設(shè)d(2，3)=d6不成立。故d(2，3)=d7。

情形 2:推證d(3，4)=d(10，11)=d7。

下面證明d(3，4)=d7，(d(10，11)=d7的證明類似)。

已知d(2，3)=d(11，12)=d7。假設(shè)d(3，4)=d6，通過引理 4，d6=d(3，4)＜d(2，4)＜d(1，4)＜d(12，4)＜d(11，4)＜d(10，4)=D。

如果d(10，11)=d6，顯然1，4，10，11 共圓。如果d(9，10)=d6，那么3，4，9，10;2，4，10，12;2，4，9，11分別共圓，即2，3，4，9，10，11，12在同一個(gè)圓上。因此9，10，11，12共圓，d6=d(9，10)=d(11，12)=d7，矛盾。如果d(9，10)=d7，因?yàn)閐(10，11)＞d(9，10)，所以∠＊5a＞ ∠94* ，(其中* 表示點(diǎn)10，a表示點(diǎn)11)，那么∠45a＜∠549，d(4，11)＜d(5，9)，通過引理4得d(4，11)=d2。而d(5，9)≠D，矛盾。因此d(10，11)=d7。

如果d(9，10)=d6，那么3，4，9，10共圓。如果d(4，5)=d6，那么4，5，9，10;3，5，9，11分別共圓，即4，5，10，11 共圓。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。如果d(4，5)=d7，那么4，5，10，11;4，5，11，12;5，6，10，12分別共圓。得到5，6，10，11共圓，d(5，6)=d(10，11)=d7。于是2，3，4，5;2，3，5，6共圓，那么 4，5，9，10 共圓。d6=d(9，10)=d(4，5)=d7，矛盾。所以d(9，10)=d7。

如果d(8，9)=d6，那么3，4，8，9共圓。當(dāng)d(4，5)=d6時(shí)，3，5，8，10;3，5，9，10、3，4，8，9分別共圓，3，4，5，8，9，10 共圓，即3，4，9，10 共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。如果d(4，5)=d7，易得4，5，6，9，10，11，12共圓。因?yàn)?，6，10，11共圓，d(5，6)=d(10，11)=d7，所以2，3，4，5;2，3，5，6 共圓。得到3，4，9，10 共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。故d(8，9)=d7。

如果d(4，5)=d7，那么d(3，4)＞d(4，5)，從而∠394＞ ∠4*5，因此∠39*＜∠5*9，于是d(3，10)＜d(5，9)，d(3，10)=d3。再根據(jù)引理 4，d(1，2)=d(1，12)=d7，那么1，2，3，4，5，9，10，11，12 共圓，即3，4，9，10 共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。所以d(4，5)=d6。

如果d(5，6)=d7，那么d(4，5)＞d(5，6)，從而∠4*5＞∠5a6，得到∠4*a＜∠6a* ，于是d(4，11)＜d(5，10)。再根據(jù)引理 4，d(4，11)=d2，d(5，10)≠D，矛盾。所以d(5，6)=d6。

如果d(1，2)=d6，那么1，2，3，4;3，4，5，6;2，3，8，9;2，3，9，10;2，3，10，11;2，3，11，12分別共圓，從而2，3，8，9，10，11，12共圓。且1，2，4，6;3，5，9，10分別共圓，那么3，4，9，10共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。因此d(1，2)=d7。

如果d(1，12)=d6，同理可得1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12在同一個(gè)圓上，即3，4，9，10共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。所以d(1，12)=d7。

如果d(6，7)=d6，那么2，3，4，5，6，7 共圓，從而2，3，6，7 共圓。d7=d(2，3)=d(6，7)=d6，矛盾。所以d(6，7)=d7。

當(dāng)d(7，8)=d6時(shí)，易得1，2，3，4，5，6，7共圓。且1，6，7，12;3，5，9，10;4，6，10，11;5，6，10，12;4，5，9，11;3，4，8，10 分別共圓，即 3，4，9，10 共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。當(dāng)d(7，8)=d7，那么1，2，3，4，5，6，7共圓。并且1，2，7，8;2，3，8，9;3，5，9，10分別共圓，從而得到3，4，9，10 共圓。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。于是d(3，4)=d7。

情形 3:推證d(4，5)=d(9，10)=d7。

下面證明d(4，5)=d7，(d(9，10)=d7的證明類似)。

已知d(3，4)=d(10，11)=d7，d(2，3)=d(11，12)=d7。首先假設(shè)d(4，5)=d6，根據(jù)引理 4，d6=d(4，5)＜d(3，5)＜d(2，5)＜d(1，5)＜d(12，5)＜d(11，5)=D。

如果d(9，10)=d6，那么4，5，9，10;3，5，9，11 分別共圓。如果d(5，6)=d6，那么4，5，6，11;4，6，9，10 分別共圓，所以3，4，5，6，9，10，11共圓，從而3，4，9，10共圓。d6=d(9，10)=d(3，4)=d7，矛盾。如果d(5，6)=d7，那么d(4，5)＞d(5，6)，得到∠4*5＞ ∠5a6，因此∠4*a＜∠6a* ，于是d(4，11)＜d(6，10)，所以d(4，11)=d3。再根據(jù)引理4，得到d(1，2)=d(1，12)=d7，1，2，3，4，5，6，12 共圓。d(5，6)=d(11，12)=d(10，11)=d7，所以5，6，10，11，12共圓。又4，5，9，10共圓，得到3，4，9，10共圓。d6=d(9，10)=d(3，4)=d7，矛盾。所以d(9，10)=d7。

如果d(1，2)=d6，那么2，3，9，10;2，3，10，11;2，3，11，12;3，4，11，12分別共圓。因此2，3，4，9，10，11，12共圓。又因?yàn)?，3，5，12共圓，于是4，5，10，11共圓。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(1，2)=d7。

如果d(1，12)=d6，同理2，3，4，9，10，11，12共圓。并且2，3，5，12共圓，從而4，5，10，11共圓。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(1，12)=d7。

如果d(5，6)=d7，那么1，2，3，4，5，10，11，12共圓。并且5，6，10，11，12共圓，從而4，5，10，11共圓。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。所以d(5，6)=d6。

當(dāng)d(6，7)=d7時(shí)，顯然1，2，3，4，6，7，12共圓，又2，3，4，9，10共圓，并且5，6，10，12共圓，所以4，5，9，10 共圓。d6=d(4，5)=d(9，10)=d7，矛盾。當(dāng)d(6，7)=d6時(shí)，已知d(4，5)=d(5，6)=d(6，7)=d6。并且d(11，12)=d(10，11)，那么∠b6a=∠＊5a(b表示點(diǎn)12)，因此△45＊?△56a。因?yàn)椤蟗67＜56a，所以∠456＞∠567。于是d(4，6)＞d(5，7)。再根據(jù)引理 4，得到d(4，6)≤d5，d(5，7)＞d6。即d5≥d(4，6)＞d(5，7)＞d6，矛盾。因此d(4，5)=d7。

情形 4:推證d(5，6)=d(8，9)=d7。

下面證明d(5，6)=d7，(d(8，9)=d7的證明類似)。

已知d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(9，10)=d(10，11)=d(11，12)=d7。若d(5，6)=d6，那么得到3，4，5，9，10，11在同一個(gè)圓上。已知d6=d(5，6)＞d(4，5)=d7，那么∠5a6＞4*5?！希猘b=∠5a*+∠6ab－∠5a6，∠9*a=∠4*9+∠5*a－∠4*5，所以∠＊ab＜∠9*a，于是d(9，11)＞d(10，12)。再根據(jù)引理4，得到d(9，11)≤d5，d(10，12)≥d6。因此d(9，11)=d5，d(10，12)=d6。于是4，6，9，11 共圓。即5，6，10，11 共圓。d6=d(5，6)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(5，6)=d7。

通過上面的方法得到d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(5，6)=d(8，9)=d(9，10)=d(10，11)=d(11，12)=d7。即點(diǎn)2，3，4，5，6，8，9，10，11，12在同一個(gè)圓上。

情形5:討論d(1，2)、d(1，12)、d(6，7)、d(7，8)的情況。

假設(shè)d(6，7)=d7?！?67=∠56a+∠76b－∠a6b(a表示點(diǎn)11，b表示點(diǎn)12)，∠＊ab=∠5a*+∠6ab－∠5a6。其中∠5a6=∠a6b，∠56a=∠5a*，∠76b＜∠6ab，因此∠567＜∠＊ab。可以得到d5≥d(10，12)＞d(5，7)≥d6。據(jù)引理4，1，2，7，8共圓，1，2，6，9共圓，即所有點(diǎn)共圓。得到d5=d(10，12)=d(5，7)=d6，矛盾。因此d(6，7)=d6。同理d(7，8)=d6。

如果d(1，2)=d6，根據(jù)引理4，那么d(2，12)=d(5，7)=d5，d(2，7)=d(5，12)=d2，從而2，5，7，12 共圓。因?yàn)閐(1，2)=d(6，7)=d6，那么d(1，6)=d(2，7)=d2，得到1，2，6，7 共圓。且已知點(diǎn)2，3，4，5，6，8，9，10，11，12共圓，因此得到全部的點(diǎn)都在一個(gè)圓上。當(dāng)d(1，12)=d6時(shí)，已知1，5，6，12共圓。得到d6=d(1，12)=d(5，6)=d7，矛盾。因此d(1，12)=d7，此時(shí)得到XD=R15－3，如圖 1 所示。如果d(1，2)=d7，同理得到d(1，12)=d6，此時(shí)同樣得到XD=R15－3，如圖1所示。

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