多體量子態(tài)全可分的一個糾纏判據(jù)

王銀珠，黃 麗

（太原科技大學 應用科學學院，山西 太原030024）

0 引 言

是H 上 的 純 態(tài)．設H ＝H1?H2?… ?Hm，dimH≤＋∞，｜ψ〉∈H 稱為全可分的，如果

眾所周知，量子糾纏態(tài)是一種很重要的物理資源［1］．目前對于糾纏態(tài)的識別問題已有很多著名的結(jié)果［2－7］，但是仍無法有效地鑒別所有的量子態(tài)．記S（H）表示空間H 上的全體量子態(tài)組成的集合．設ρ∈S（H），如果ρ2＝ρ，則ρ為純態(tài)，否則稱ρ為混合態(tài)．一般地，純態(tài)用Hilbert空間中的復單位向量表示，記為｜ψ〉，ρ＝｜ψ〉〈ψ｜是其對應的密度算子．而混合態(tài)一般可表示為純態(tài)的凸組合形式，即ρ＝∑ipiρi，這里pi≥0，∑ipi＝1，ρi

首先給出一些符號．設H1，H2分別是與量子系統(tǒng)1，2相結(jié)合的可分復Hilbert空間，dimHi＝di（i＝1，2，），M 是量子系統(tǒng)H1?H2上的可觀測量算子．設ρ是H1?H2上的量子態(tài)，記〈M〉ρ＝Tr（ρM）表示可觀測量M 在量子態(tài)ρ 上的平均值，δ2ρ〈M〉＝〈M2〉p－〈M〉2p表示可觀測量M 在量子態(tài)ρ 上的 方 差．設｛M（i）k ｝d2ik＝1分別為d2i個作用在Hi

上的不可交換的可觀測量，它們組成了可觀測量空 間 的 一 組 正 交 歸 一 基， 可 以 證 明Tr（M（i）kM（i）i）＝δkl，這里δ是特征函數(shù)，Tr（·）是跡運算，且這里另 外 注 意 到當且僅當ρi 是M（i）

k 的本征態(tài)．許多

觀測量（LOOs）．2003年，Hofmann H F 引入局域不確定關系（Local uncertainty relations），提出了一個兩體量子態(tài)的糾纏判據(jù)［8］．文獻［8］給出了如下的局域不確定關系，描述為：設｛M（i）k｝d2ik＝1分

別為d2i個作用在Hi上的不可交換的可觀測量，則一定存在ui＞0，使得

對每一個i＝1，2成立．進一步根據(jù)文獻［9］，這里的ui可取為di－1，故進一步，文獻［8］提出了一個兩體量子態(tài)的糾纏判據(jù)，其描 述 為：令且如果ρ∈S（H）可分，則，其中一般地，當M（i）k形式較復雜時給出這樣的ui比較困難． 對 于 單 量 子 比 特 情 形， 可 取作為系統(tǒng)的一組局域正交可觀測量，這里σx，σy，σz為Pauli矩陣，I2為二階單位矩陣，注意到

2009年，Ma Zhihao等基于局域正交可觀測量所定義的斜信息提出了與局域測不準關系判據(jù)對偶的糾纏判據(jù)［10］，描述為：設

眾所周知，識別多體量子態(tài)的糾纏性越來越引起國內(nèi)外學者的關注，最近利用局域正交可觀測量以及斜信息探測量子態(tài)的糾纏性問題也取得了一些值得關注的結(jié)果，2014 年，Yu［12］和Saboia［13］分別利用斜信息以及不確定關系研究了量子態(tài)的關聯(lián)性．2015年，作者Guo［14］使用不確定關系研究了XY 自旋鏈的關聯(lián)性．本文主要利用多體復合系統(tǒng)的局域正交可觀測量得到了多體量子態(tài)全可分的若干必要條件，推廣了文獻［9－10］的有限維兩體量子系統(tǒng)的相應結(jié)果．

為了給出本文的主要結(jié)果，作如下定義：如果1≤k≤d2i，｛M（i）k｝d2ik＝1分別為d2i個作用在Hi上的不可交換的可觀測量（i＝1，2，…，m），如果d2i＜k≤n，n＝max｛d2i，i＝1，2，…，m｝，｛M（i）k｝取為零算子．令

1 主要結(jié)果

證畢．

例1 設H ＝HA?HB?HC，dimHA＝dimHB＝dimHC＝2，考慮三量子比特的Werner態(tài)取HA，HB，HC的局部正交可觀測量集合為記

例2 設H ＝HA?HB?HC，dimHA＝dimHB＝dimHC＝2，考慮三量子比特的Werner態(tài)和GHZ態(tài)的組合（［1］）：ρt＝t｜GHZ〉〈GHZ｜＋取HA，HB，HC的 局 部 正 交 可 觀 測 量 集 合 為可以獲得注意到當0≤t≤1，總有

證畢．

例3 仍然考慮例2給出的態(tài)ρt，取HA，HB，HC的 局 部 正 交 可 觀 測 量 集 合 為

在Hi上的不可交換的可觀測量（i＝1，2，…，m），

證畢．

引 理1［9］設為d2個 作 用 在H 上 的 不可交換的可觀測量，則

式中：I（ρi，Mk）（i＝1，2）的定義如式（4）．

證明 設ρ＝∑spsρs 為一混合態(tài)且全可分，設注意到根據(jù)引理1，有

［1］Nielsen M A，Chuang I L．Quantum computation and quantum information［M］．Cambridge：Cambridge University Press，2000．

［2］Horodecki M，Horodecki P，Horodecki R．Separability of mixed states：Necessary and sufficient conditions［J］．Phys Lett A，1996（223）：1－14．

［3］Chen K，Wu L A．A matrix realignment method for recognizing entanglement［J］．Quant Inf Comput，2003（3）：193－202．

［4］Nielsen M A，Kempe J．Separable states are more disordered globally than locally［J］．Phys Rev Lett，2001（86）：5184－5187．

［5］Horodecki P．Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition［J］．Phys Lett A，1997（232）：333－339．

［6］Hou J C．A characterization of positive linear maps and criteria of entanglement for quantum states［J］．Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2010（43），385201．

［7］Yan S Q，Hou J C．LPP elementary operator criterion of full separability for states in multipartite quantum systems［J］．Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2012（43）：435303．

［8］Hofmann H F，Takeuchi S．Violation of local uncertainty relations as a signature of entanglement［J］．Phys Rev A，2003（68）：032103．

［9］Guhne O，Mechler M，Toth G，et al．Entanglement criteria based on local uncertainty relations are strictly stronger than the computable cross norm criterion［J］．Phys Rev A，2006（74）：010301．

［10］Ma Z H．Entanglement criterion based on skew information［J］．a(chǎn)rXiv，2009（8）：1291．

［11］Wigner E P，Yanase M M．Information contents of distributions［J］．Proc．Natl．Acad Sci，1963（49）：910－918．

［12］Yu C S，Wu S X，Wang X G．Quantum correlation measure in arbitrary bipartite systems［J］．Europhysics Letters．2014，107（1）：1－6．

［13］Saboia A，Avelar A T，Walbom S P．Systematic construction of genuine multipartite entanglement criteria using uncertainty relations［J］．a(chǎn)rXiv，2014（7）：7248．

［14］Guo J L，Wei J L，Qin W，et al．Examining quantum correlations in the XY spin chain by local quantum uncertainty［J］． Quantum Information Processing，2015，14（4）：1－14．