平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王原光

摘要：平面向量作為數(shù)學(xué)工具，是代數(shù)和幾何的紐帶，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。向量和圖象、函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、平面幾何等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，將幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，能為多角度地展開(kāi)解題思路提供廣闊的空間。本文從六個(gè)方面說(shuō)明了平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：平面向量;數(shù)學(xué)思想方法;應(yīng)用

近年來(lái)，我國(guó)把坐標(biāo)和向量、概率分布、導(dǎo)數(shù)等陸續(xù)納入三年制高中教學(xué)大綱，無(wú)疑是國(guó)家數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)正確方向，也向教育先進(jìn)國(guó)家靠攏邁出了堅(jiān)實(shí)的一步。

坐標(biāo)與向量，作為現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材各成員中的“寵兒”，與其它數(shù)學(xué)知識(shí)有密切的聯(lián)系，應(yīng)用起來(lái)非常方便，很討人喜歡。以下根據(jù)本人的教學(xué)實(shí)踐以及組織數(shù)學(xué)課外興趣小組活動(dòng)的經(jīng)歷，與各位同仁談?wù)勂矫嫦蛄咳绾误w現(xiàn)它的工具與紐帶的作用。

一、向量在圖形上的應(yīng)用

向量源于圖形，它和幾何的關(guān)系本是“魚水”關(guān)系。許多幾何問(wèn)題，都可借向量簡(jiǎn)單解決。

例1、已知平面上的一個(gè)三角形ABC，在已知平面上有一點(diǎn)P，設(shè)AP的中點(diǎn)是Q，BQ的中點(diǎn)是R，CR的中點(diǎn)是S.證明只有唯一的一點(diǎn)P使得S=P，另外，設(shè)這點(diǎn)為P0時(shí)，求△ABC和△P0BC的面積比。

解析：取A為始點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，AP=p，則AQ=12p，AR=12（AQ+AB）=14（p+2a），AS=12 （AR+AC）=18（ p+2a+4b），根據(jù)題意，18 （p+2a+4b） =p。因此，p=27（a+2b），由于a和b是確定的向量，所以p是唯一的一個(gè)向量。

再設(shè)D是將BC內(nèi)分為2﹕1的點(diǎn)，那么，AP0=27（a+2b ）=67a+2b2=67AD，P0是將AD內(nèi)分為6﹕1的點(diǎn)，設(shè)S△P0DC=k，則S△P0BD=2k， S△AP0C=6k， S△ABP0=12k.

因此，S△ABC： S△P0BC=21k：3 k=7：1. 這里，向量加法和定量比分點(diǎn)起了關(guān)鍵的定位作用，具有其它方法所沒(méi)有的優(yōu)越性。

用向量法解幾何題，通常分三步進(jìn)行：

首先，將幾何問(wèn)題的條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，用向量語(yǔ)言表示;然后，設(shè)置基本向量，將問(wèn)題中的相關(guān)向量用“基本向量”表示出來(lái);最后，通過(guò)“基本向量”進(jìn)行推理、運(yùn)算，得出求解結(jié)論。其中“基本向量”選取是否恰當(dāng)，直接影響問(wèn)題解決的難易程度，這是解題過(guò)程中一個(gè)關(guān)鍵要素。

至于向量在空間圖形上的應(yīng)用的好處，教材和各種資料已有較多的論述，各類問(wèn)題都有專門的討論。比如證明共線（面）問(wèn)題、平行問(wèn)題、垂直問(wèn)題、角和距離的求解，以及存在性等問(wèn)題幾乎都可以用向量來(lái)解決，這里就不再舉例了。

二、向量在函數(shù)中的運(yùn)用

利用向量模的不等式︱︱-︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱（適當(dāng)注意各種取等號(hào)的條件），可以求解一類函數(shù)的最值問(wèn)題。

例2、求函數(shù)y=x2-2x+5+x2+1的最小值以及y取得最小值時(shí)x的值。

解析：y=（1-x）2+22+x2+12設(shè)向量=（1-x，2）， =（x，1）。

則y=︱︱+︱︱≥︱+︱=（1-x+x）2+（2+1）2=10

上式等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線。

即（1-x）·1-x·2=0 ， x=13時(shí)。

本例關(guān)鍵是構(gòu)造向量，。但有許多學(xué)生在操作時(shí)，令=（x-1，2）， =（x，1） ， y=︱︱+︱︱≥︱-︱=2

注意：這里取等號(hào)的條件是，反向共線，由（x-1）·1-x·2=0得x=-1.這是一個(gè)矛盾的結(jié)果。所以應(yīng)把調(diào)整為=（x-1，-2）.

三、向量在證明不等式中的應(yīng)用

設(shè)非零向量，的夾角為θ，則︱·︱=︱︱·︱︱·︱Cosθ︱。故·≤︱·︱≤︱︱·︱︱。該不等式結(jié)果簡(jiǎn)單，但應(yīng)用廣泛，現(xiàn)舉例如下。

例3、已知a>0，b>0，0

解析：因?yàn)?0，b>0得a+b≤a2x+b21-x·1即a2x+b21-x≥（a+b）2。（容易求得取等號(hào)的條件是x=aa+b∈（0，1））

該題證法極多，但構(gòu)造向量來(lái)證明不失為一種好方法。

傳統(tǒng)的不等式的證明要用到分析、綜合的各種“技巧”，而向量法卻回避了這些高“技巧”，較為簡(jiǎn)單地解決了這些令人頭痛的問(wèn)題。

四、向量在三角中的應(yīng)用

當(dāng)把向量坐標(biāo)形式表示，且引進(jìn)三角函數(shù)于坐標(biāo)中時(shí)，向量與三角就交溶為一體了。近年來(lái)各省份的高考、模擬考題，經(jīng)常出現(xiàn)這類問(wèn)題，應(yīng)引起足夠重視。

例4、在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1 ， Cosθ），B（Sinθ， 1）θ∈（0 ，π2 〕。求△OAB的面積的最大值。

解析：設(shè)∠AOB=α，OA=（1 ， Cosθ），OB=（Sinθ ， 1）則

S△OAB=12︱OA︱·︱OB︱Sinα

=12︱OA︱·︱OB︱1-Cos2α

=12|OA|2·|OB|2-（OA·OB）2

=12（1+Cos2θ）（Sin2θ+1）-（Sinθ+Cosθ）2

=12︱SinθCosθ-1︱=12（1-12Sin2θ）

∵θ∈（0 ， π2]，∴2θ∈（0 ， π]0≤Sin2θ≤1

當(dāng)Sin2θ=0，即θ= π2 時(shí)，△OAB的面積達(dá)到最大值12。

以上用到了向量的數(shù)量積定義，坐標(biāo)表示下的模公式，內(nèi)積公式以及三角恒等變形，體現(xiàn)了綜合利用三角知識(shí)和向量知識(shí)解題的能力。這種方法也比傳統(tǒng)的解三角形方法更簡(jiǎn)易。

五、向量在數(shù)列中的應(yīng)用

在向量坐標(biāo)化的情況下，如果考慮的是向量序列，那么向量的問(wèn)題實(shí)際便成了數(shù)列的問(wèn)題。

例5、已知一列非零向量an滿足a1=（x1 ，y1）， an=（xn ，yn）= 12（ xn-1- yn-1 ， xn-1+ yn-1）（n≥2）.

（1）證明：﹛︱an︱﹜是等比數(shù)列;

（2）求向量an-1與an的夾角（n≥2） ;

解：（1）由︱an+1︱=12（xn-yn）2+（xn+yn）2

=122（x2n+y2n） =22︱an︱，即知

（2）∵an-1·an=（xn-1，yn-1）·12（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）

= 12（ x2n-1+y2n-1） = 12︱an-1︱2

∴Cos= an-1·anan-1an=12an-1222an-12=22，

又∈[0，π] 知=π4

這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的概念或運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，再用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解之。

六、向量在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何的許多問(wèn)題，常常用向量語(yǔ)言來(lái)敘述。因此，首先要正確運(yùn)用向量概念把原文“翻譯”過(guò)來(lái);以便看出所論問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

例6、已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，向量=（0，1），△OFP的面積為23，且OF·FP=t， OM=33OP+

（1）設(shè)4

（2）設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)M，且︱OF︱=c，t=（3-1）c2當(dāng)︱OP︱取最小值時(shí)，求橢圓的方程。

解析：（1）由23=12︱OF︱·︱FP︱Sinθ得︱OF︱·︱FP︱=43Sinθ

由Cosθ=OF·FPOF·FP=tSinθ43得tanθ=43t

∵4

∵θ∈[0 ， π]∴夾角θ的取值范圍是（π4，π3）

（2）設(shè)P（x0，y0），不妨令y0>0， 則FP=（x0-c，y0），OF=（c，0），∴OF·FP=c（x0-c）=t=（3-1）c2，∴x0=3c.又 S△OFP = 12︱OF︱·y0=23，∴y0= 43c，∴︱OP︱= x20+y20=（3c）2+（43c）2≥2·3c·43c=26。

當(dāng)且僅當(dāng)3c=43c ，即 c=2時(shí)，︱OP︱取最小值26

此時(shí)，OP=（23，23），OM=33（23，23）+（0，1）=（2，3）

橢圓長(zhǎng)軸2a=（2+2）2+（3+0）2+（2-2）2+（3-0）2=8

∴a=4，b2=12，故所求橢圓方程為x216+y212=1。

事實(shí)上，向量與解析幾何的結(jié)合也是高考命題的趨勢(shì)，也應(yīng)引起重視，從上例可以看出，除了要讀懂“向量語(yǔ)言”外，就是一個(gè)運(yùn)用向量和解析幾何知識(shí)綜合解決問(wèn)題的過(guò)程。

最后，要強(qiáng)調(diào)的是，向量具有工具性作用，用它可證明許多重要公式。如利用向量的內(nèi)積，可證明公式Cos（α-β）=CosαCosβ+SinαSinβ

在單位圓周上取兩點(diǎn)A，B使半徑OA，OB的角分別為α，β，

則OA=（ Cosα， Sinα）， OB=（ Cosβ， Sinβ）

有OA·OB=︱OA︱︱OB︱Cos（α-β）=Cos（α-β）

且OA·OB=（Cosα，Sinα）·（Cosβ， Sinβ）= CosαCosβ+ SinαSinβ

∴Cos（α-β）=CosαCosβ+ SinαSinβ

同樣，可利用單位向量和數(shù)量積證明解三角形必須的三大定理——射影定理、正弦定理和余弦定理。

綜上所述，向量象一貼強(qiáng)有力的粘合劑，把各部分知識(shí)連成一個(gè)有機(jī)的整體。由于這一點(diǎn)，我們?cè)诮虒W(xué)中至少要做以下工作：（1）讓學(xué)生掌握向量的基本概念和基本運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)運(yùn)用向量語(yǔ)言;（2）了解向量知識(shí)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯作用，應(yīng)用向量知識(shí)盡量簡(jiǎn)便地分析和解決問(wèn)題;（3）經(jīng)常去對(duì)照有關(guān)問(wèn)題的向量解法和傳統(tǒng)解法，把“向量思想”、“向量法”納入基本數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法，并在教學(xué)實(shí)踐中逐步歸納、總結(jié)、完善向量思想，學(xué)會(huì)舉一反三。這無(wú)論對(duì)他們應(yīng)考和將來(lái)的深造，都是有益的。

（作者單位：長(zhǎng)汀一中）

參考文獻(xiàn)：

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[4]《2005全國(guó)各省市高考模擬試題匯編·數(shù)學(xué)》西藏人民出版社2005， 7