基于擬牛頓迭代的分?jǐn)?shù)階Fourier變換最佳階次的搜索方法研究

陳 蓉，馬菊紅

(1.蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，江蘇蘇州215006)(2.江蘇科技大學(xué)圖書館，江蘇鎮(zhèn)江212003)

作為經(jīng)典傅里葉變換的廣義形式，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)可理解為Chirp基分解，特別適合處理Chirp類信號(hào)，對(duì)其具有良好的檢測(cè)和識(shí)別效果，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域［1-4］.在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的應(yīng)用研究中，如何確定FRFT的最佳變換階次成為熱點(diǎn)問題［5］.現(xiàn)有成果中，對(duì)于最佳階次的確定問題，多采用變換域參數(shù)的二維搜索方法，算法的估計(jì)精度和運(yùn)算量之間存在嚴(yán)重的矛盾.為解決這一問題，文獻(xiàn)［6］提出了先以大步進(jìn)值進(jìn)行二維粗搜索，再利用擬牛頓迭代局部細(xì)搜索的方法;文獻(xiàn)［7］指出擬牛頓迭代方法在這一應(yīng)用中具有較好的效果.然而，目前尚無對(duì)擬牛頓迭代具體實(shí)現(xiàn)方法的討論，使之在實(shí)際應(yīng)用中缺乏指導(dǎo).

針對(duì)上述問題，文中研究了擬牛頓迭代算法的基本原理及實(shí)現(xiàn)方法，通過仿真實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)了該方法搜索FRFT最佳變換階次的收斂過程，并分析討論了其在實(shí)際應(yīng)用中存在的利弊.

1 基于FRFT的Chirp信號(hào)二維搜索檢測(cè)法

時(shí)域信號(hào)x(t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換定義為:

式中:p為FRFT變換的階數(shù);α為FRFT軸與時(shí)間軸之間的夾角，且;n為整數(shù).

設(shè)Chirp信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為:

式中:A為Chirp信號(hào)的幅值;φ0為初始相位;f0為起始頻率;k0為信號(hào)的調(diào)頻率;B為信號(hào)的帶寬;T為脈沖寬度.為簡(jiǎn)化計(jì)算，一般設(shè)φ0=0.則根據(jù)式(1)，Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換為:

當(dāng)k0+cot α =0時(shí)，記α為α0，稱為最佳FRFT旋轉(zhuǎn)角度，且有

式中Sa(·)為辛格函數(shù).

由式(4)可以看出，時(shí)限Chirp信號(hào)經(jīng)最佳階次的分?jǐn)?shù)階Fourier變換后，能量區(qū)域的主瓣寬度為.當(dāng)f- ucsc α =0時(shí)，|X(u)

0α0|2達(dá)到峰值.利用該性質(zhì)，基于FRFT的Chirp信號(hào)二維搜索檢測(cè)法的基本思路可簡(jiǎn)述為:以旋轉(zhuǎn)角度α(或變換階次p)為變量進(jìn)行掃描，對(duì)觀測(cè)信號(hào)連續(xù)做分?jǐn)?shù)階Fourier變換，從而形成信號(hào)能量在參數(shù)(α，u)(或(p，u))平面上的二維分布.在此平面上按閾值進(jìn)行峰值點(diǎn)的二維搜索即可實(shí)現(xiàn)Chirp信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)，該過程可描述為:

2 擬牛頓迭代法的基本原理及實(shí)現(xiàn)

2.1 擬牛頓迭代法的基本原理

針對(duì)實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的問題，牛頓提出了一種高效的方法——牛頓迭代法.由于利用了目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息，故算法收斂速度快.然而，由于牛頓迭代法要求計(jì)算包含二階導(dǎo)數(shù)信息的Hessian矩陣及其逆矩陣，其計(jì)算復(fù)雜度高、內(nèi)存占用大.此外，若目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在，或逆矩陣不存在，則該法無法使用.

擬牛頓迭代算法對(duì)上述問題進(jìn)行改進(jìn)，其利用直接構(gòu)造的與Hessian矩陣的逆矩陣相近的正定矩陣代替目標(biāo)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算.經(jīng)典牛頓法的迭代公式為:

式中:xk，xk+1分別為第k次和第k+1次迭代求得的極值;λk為步長(zhǎng)因子，在牛頓迭代法中取值固定為1;sk= -［H(xk)］-12f(xk)，稱為牛頓方向，其中f(x)為目標(biāo)函數(shù)，［H(xk)］-1=22f(xk)-1為Hessian矩陣的逆矩陣.

要構(gòu)造22f(xk)-1的近似矩陣Hk，就要先分析22f(xk)-1和一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.令在第k次迭代后，得到點(diǎn)xk+1，將目標(biāo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xk+1展開成泰勒級(jí)數(shù)，并取二階近似，得到:

則在xk+1附近有:

令x=xk得:

則有 qk≈ 22f(xk+1)mk.

設(shè)Hessian矩陣22f(xk+1)可逆，則

當(dāng)計(jì)算得到mk和qk后，依據(jù)式(11)，估計(jì)在xk+1處的Hessian矩陣的逆.為了用不包括二階導(dǎo)數(shù)的矩陣Hk+1取代經(jīng)典牛頓法中的Hessian矩陣的逆矩陣，就需要令Hk+1滿足

式(12)即為擬牛頓條件.

在擬牛頓迭代算法中將Hk作為Hk+1的近似來構(gòu)造，考慮到22f(xk)為對(duì)稱矩陣，因此要求Hk滿足條件:①對(duì)稱;②滿足擬牛頓條件方程.

設(shè)Hk-1經(jīng)過簡(jiǎn)單修正可得到Hk，即

式中:對(duì)稱矩陣Ek稱為校正矩陣.顯然，滿足式(13)的對(duì)稱矩陣不止一種，Hessian矩陣的構(gòu)造方法不同將產(chǎn)生不同的擬牛頓法，因此擬牛頓迭代法是一族算法.

2.2 擬牛頓迭代法的迭代步驟

在眾多Hessian矩陣的構(gòu)造方法中，BFGS算法［8］是效率較高的一種，尤其是針對(duì)無約束最優(yōu)化問題算法中采用的校正公式為

式中:sk=xk+1- xk，yk=2f(xk+1)- 2f(xk).為確保目標(biāo)函數(shù)的下降，矩陣Hk必須滿足正定性，而Hk保持正定的充分必要條件是skTyk＞0，這是在構(gòu)造近似矩陣中需要保證的.此外，在迭代一定次數(shù)后，BFGS算法還將重置初始點(diǎn)和迭代矩陣［9］.

以BFGS算法為例，擬牛頓迭代法的迭代步驟如下:

1)給定初始點(diǎn)x0，初始矩陣H0=In及搜索精度ε＞0;

2)若‖2f(x0)‖≤ε，停止，極小點(diǎn)為x0;否則轉(zhuǎn)步驟3);

3)取m0=-H02f(x0)，且令k=0;

4)用一維搜索法求tk，使得tkf(xk+tkmk)=，令 xk+1=xk+tkmk;

5)若‖2f(xk+1)‖≤ε，停止，極小值點(diǎn)為xk+1;否則轉(zhuǎn)步驟6);

6)若k+1=n，令x0=xn，轉(zhuǎn)步驟3);否則轉(zhuǎn)步驟7);

7)令

其中:sk=xk+1- xk，yk=2f(xk+1)- 2f(xk)，取mk= - Hk+12f(xk+1)，置 k=k+1，轉(zhuǎn)步驟4).

2.3 仿真實(shí)驗(yàn)

擬牛頓迭代法是下降類迭代方法，故基于擬牛頓迭代的分?jǐn)?shù)階Fourier變換最佳變換階次的極值搜索問題可描述為:在參數(shù)(p，u)平面上，尋找合適的(p0，u0)，使得目標(biāo)函數(shù) f(p，u)= -|Xp(u)|2達(dá)到最小.與公式(5)對(duì)應(yīng)，該過程可描述為:

為了兼顧精度和高效計(jì)算的要求，文中首先采用大步進(jìn)值做二維峰值搜索，獲取p的粗估計(jì)結(jié)果，然后再利用擬牛頓法逼近極值點(diǎn).實(shí)驗(yàn)中，采用線性調(diào)頻雷達(dá)，其主要參數(shù)為脈沖寬度T=10μs，中心頻率 f0=545MHz，帶寬B=k0T=30MHz，發(fā)射波長(zhǎng)λ=0.025m，采樣頻率為fs=5B.熱噪聲采用高斯白噪聲模擬，信噪比為 -2 dB.搜索步進(jìn)值為0.01，經(jīng)二維峰值搜索得，量綱歸一化［10］后p的粗估計(jì)結(jié)果為^p=1.13.設(shè)擬牛頓迭代法初始值p=1.13，在該值附近采用擬牛頓迭代法搜索到最佳值的過程，如圖1.

圖1 擬牛頓迭代法的搜索過程Fig.1 Searching process of Quasi-Newton method

擬牛頓法搜索到最佳變換階次p=1.1255，以該階次做FRFT，其仿真結(jié)果如圖2.Chirp信號(hào)在估計(jì)所得的最佳分?jǐn)?shù)階傅里葉域中實(shí)現(xiàn)了很好的能量聚集性.

圖2 信噪比-2dB時(shí)，Chirp信號(hào)在估計(jì)所得最佳變換階次下的分布Fig.2 Distribution of Chirp signal in the estimated optimal fractional Fourier transform domain when the SNR is-2dB

圖3是將信號(hào)x(t)通過-10 dB的加性高斯白噪聲信道后，利用擬牛頓迭代法搜索到的最佳FRFT階次對(duì)信號(hào)進(jìn)行FRFT處理的結(jié)果.

圖3 信噪比-10dB時(shí)，Chirp信號(hào)在估計(jì)所得最佳變換階次下的分布Fig.3 Distribution of Chirp signal in the estimated optimal fractional Fourier transform domain when the SNR is-10dB

顯然，Chirp信號(hào)在該FRFT變換階次下未能實(shí)現(xiàn)良好的能量聚集，即擬牛頓迭代法的輸出結(jié)果與信號(hào)實(shí)際的最佳FRFT變換階次間存在較大誤差.導(dǎo)致這一結(jié)果的原因在于，當(dāng)噪聲強(qiáng)度較大時(shí)，信號(hào)在分?jǐn)?shù)階二維平面的能量聚集將出現(xiàn)較強(qiáng)的虛假極值點(diǎn)，若迭代搜索初始值或步長(zhǎng)選擇不當(dāng)，即會(huì)致使擬牛頓迭代法無法收斂到全局最優(yōu)點(diǎn).

另一方面，為驗(yàn)證擬牛頓法的運(yùn)算速度，在MATLAB程序中添加tic和toc函數(shù)，獲取搜索出最佳極值點(diǎn)的耗時(shí)量，將該時(shí)間與直接進(jìn)行二維搜索的耗時(shí)量相比較，結(jié)果如表1.實(shí)驗(yàn)中，二維搜索法中粗搜索的步進(jìn)值為0.01，細(xì)搜索的步進(jìn)值為0.0001;二維粗搜索加擬牛頓精搜中二維粗搜索的步進(jìn)值為0.01.［1］ 唐江，趙擁軍，朱健東，等.基于FRFT的偽碼-線性

調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法［J］.信號(hào)處理，2012，28(9):

1271-1277.

Tang Jiang，Zhao Yongjun，Zhu Jiandong，et al.FrFT-

based parameter estimation for PRBC-LFM signals［J］.

Signal Processing，2012，28(9):1271-1277.(in Chi

nese)

表1 變換階次估計(jì)算法的執(zhí)行速度比較Table 1 Comparison of execution speed of different algorithms

表1中，理論值和估計(jì)值之間會(huì)有微小的誤差，這是由信號(hào)的離散化采樣造成的.由表1可知，擬牛頓迭代法在分?jǐn)?shù)階FRFT最佳變換階次的快速搜索方面上具有較大優(yōu)勢(shì).

3 結(jié)論

文中對(duì)基于擬牛頓迭代的FRFT最佳變換階次的搜索方法進(jìn)行了深入研究，給出了其在Chirp信號(hào)檢測(cè)這一實(shí)際應(yīng)用中的具體實(shí)現(xiàn)步驟，并通過仿真實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)了擬牛頓迭代法搜索分?jǐn)?shù)階Fourier變換最佳變換階次的收斂過程.由于擬牛頓迭代算法是一種局部搜索法，其僅能收斂到初始值周圍的極值點(diǎn)，因此，初始值的選取至關(guān)重要，文中采用了二維粗搜索方法獲取初值.實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)二維粗搜索所得結(jié)果合適時(shí)，利用擬牛頓搜索方法不僅可以保證搜索精度，更能提高搜索效率.但是，當(dāng)信噪比較低時(shí)，二維粗搜索所得初值準(zhǔn)確性低，直接影響后續(xù)迭代搜索結(jié)果.因此，抗噪性強(qiáng)的初值選取方法需在后續(xù)進(jìn)一步研究.

References)

［2］ 鄧兵，王旭，陶然，等.基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻脈沖時(shí)延估計(jì)特性分析［J］.兵工學(xué)報(bào)，2012，33(6):765-768.Deng Bing，Wang Xu，Tao Ran，et al.Performance analysis of time delay estimation for linear frequencymodulated pulse based on fractional fourier transform［J］.Acta Armamentarii，2012，33(6):765 - 768.(in Chinese)

［3］ 張軍，周旭.LFMCW雷達(dá)多目標(biāo)檢測(cè)技術(shù)研究［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2013，35(6):29 -33.Zhang Jun，Zhou Xu.A study on multi-object detection for LFMEW radar［J］.Modern Radar，2013，35(6):29-33.(in Chinese)

［4］ 向崇文，劉鋒，黃宇，等.基于FRFT循環(huán)處理的LFM-PRBC雷達(dá)信號(hào)截獲與特征提?。跩］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2013，33(2):117 -124.Xiang Chongwen，Liu Feng，Huang Yu，et al.Interception and feature extraction of LFM-PRBC Radar signal based on FRFT cyclic processing method［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33(2):117 -124.(in Chinese)

［5］ 陳小龍，關(guān)鍵，黃勇，等.分?jǐn)?shù)階Fourier變換在動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)和識(shí)別中的應(yīng)用:回顧和展望［J］.信號(hào)處理，2013，29(1):85 -97.Chen Xiaolong，Guan Jian，Huang Yong，et al.Application of fractional fourier transform in moving target detection and recognition:development and prospect［J］.Signal Processing，2013，29(1):85 -97.(in Chinese)

［6］ 齊林，陶然，周思永，等.基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的多分量LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)［J］.中國(guó)科學(xué)E 輯，2003，33(8):749 -759.Qi Lin，Tao Ran，Zhou Siyong，et al.Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform［J］.Science in China E，2003，33(8):749 -759.(in Chinese)

［7］ 衛(wèi)紅凱，王平波，蔡志明，等.分?jǐn)?shù)階Fourier變換極值搜索算法研究［J］.電子學(xué)報(bào)，2010，38(12):2949-2952.Wei Hongkai，Wang Pingbo，Cai Zhiming，et al.Study of algorithm for extremum seeking in the fractional fourier transform［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38(12):2949 -2952.(in Chinese)

［8］ 耿紅梅.BFGS算法綜述［J］.大眾科技，2011(11):3-4，10.Geng Hongmei.A summary of BFGS algorithm［J］.Popular Science＆ Technology，2011(11):3 - 4，10.(in Chinese)

［9］ 陳寶林.最優(yōu)化原理與算法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005:39-47.

［10］ 陶然，鄧兵，王越.分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009:144-147.