實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)

田亞

（邢臺學(xué)院，河北邢臺 054001）

實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)

田亞

（邢臺學(xué)院，河北邢臺 054001）

右手拓?fù)涫菍?shí)數(shù)集上常見的拓?fù)?，也是拓?fù)鋵W(xué)習(xí)中常見的反例。實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g在可數(shù)性、分離性、緊致性和連通性等方面都有很多與實(shí)數(shù)集上其它拓?fù)淇臻g不同的拓?fù)湫再|(zhì)。

拓?fù)洌挥沂滞負(fù)淇臻g；拓?fù)湫再|(zhì)

拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個重要分支，它的研究對象是一般的幾何圖形，研究任務(wù)是研究幾何圖形在連續(xù)的變形下保持不變的性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)的思想萌芽最遠(yuǎn)可以追溯到18世紀(jì)的哥尼斯堡七橋問題[1]，經(jīng)過幾個世紀(jì)的發(fā)展，如今的拓?fù)鋵W(xué)已成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科。隨著拓?fù)鋵W(xué)的研究越來越成熟，拓?fù)鋵W(xué)也在數(shù)字圖像處理、醫(yī)學(xué)、機(jī)器人學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、電子線路設(shè)計和地理信息系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2]。

點(diǎn)集拓?fù)涫峭負(fù)鋵W(xué)的入門課程，但它的概念和理論都比較抽象。實(shí)數(shù)集是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中最重要也最直觀的一個研究對象，實(shí)數(shù)集上定義不同的拓?fù)?，就?gòu)成了不同的拓?fù)淇臻g，從而具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，比如通常拓?fù)淇臻g、實(shí)數(shù)下（上）限拓?fù)淇臻g、右（左）手拓?fù)淇臻g、可數(shù)（有限）補(bǔ)拓?fù)淇臻g等。目前對于實(shí)數(shù)下（上）限拓?fù)淇臻g、可數(shù)（有限） 補(bǔ)拓?fù)淇臻g性質(zhì)的研究有一些[3-5]，而關(guān)于右手拓?fù)淇臻g的性質(zhì)研究結(jié)論非常少，作為點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)和學(xué)習(xí)的一個重要實(shí)例，研究實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g是非常必要的。下面對右手拓?fù)淇臻g的連通性、可數(shù)性、分離性、緊致性等拓?fù)湫再|(zhì)逐一進(jìn)行分析。

1 基本知識

定義 在實(shí)數(shù)集R上，以B={(a，∞)|a∈R，∞代表正無窮}為基的拓?fù)銽r稱為右手拓?fù)?，拓?fù)淇臻g（R，Tr） 稱為實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g。顯然，實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g是比通常拓?fù)淇臻g“粗”的。

引理 集族B={(a，∞)|a∈R，∞代表正無窮}是實(shí)數(shù)集R上的一個基。

證明：首先，∪a∈R（a，∞） =R。其次，對任意A，B∈B不妨設(shè)A=（a1，∞），B=(a2,∞)其中a1＞a2，a1，a2∈R，則A∩B=A，顯然對任何x∈A∩B，有x∈A?A∩B，因此B是實(shí)數(shù)集上某一個拓?fù)銽r的基。

2 右手拓?fù)淇臻g的可數(shù)性

定理2.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 是滿足第二可數(shù)性公理的空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，X有一個可數(shù)基。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是第二可數(shù)空間，只需證明（R，Tr）有一個可數(shù)基。令B={（t,∞）|t為有理數(shù),∞為正無窮}，顯然B是一個可數(shù)族。設(shè)V是右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）中以無理數(shù)為左端點(diǎn)的開集，即V={（a，∞）|a為無理數(shù)}。對于每一個x∈V，存在實(shí)數(shù)εx＞0使得x的開鄰域為U=（x-εx，∞）?V，選取有理數(shù)tx使得x-εx＜tx＜x，因此（tx,∞） ?V，于是V=∪x∈V（tx，∞），也就是說V可以表示成B中某些元素的并，從而B是右手拓?fù)淇臻g的一個可數(shù)基。所以右手拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，即右手拓?fù)淇臻g是滿足第二可數(shù)性公理的空間。

在熊金城編寫的《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》中已證得如下結(jié)論：每一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，都是滿足第一可數(shù)性公理的空間，都是可分空間，也都是Lindel?f空間。本文不再贅述其證明過程，只引用其結(jié)論得到如下推論：

推論2.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是滿足第一可數(shù)性公理的空間，也是可分空間與Lindel?f空間。

3 右手拓?fù)淇臻g的分離性

定理3.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是T0空間。

證明：要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是一個T0空間，只需證明（R，Tr） 中任意兩個不相同的點(diǎn)中必有一個點(diǎn)有一個開鄰域不包含另一個點(diǎn)。對?x，y∈R，x≠y，不妨設(shè)x＞y，則x有一個開鄰域V=（x-，∞）=（，∞）滿足y?V，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是T0空間。

定理3.2 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是T1空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個T1空間，若X中的任意兩個不相同的點(diǎn)中每一個點(diǎn)都有一個開鄰域不包含另外一個點(diǎn)。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 不是T1空間，只需證明（R，Tr） 存在兩個不相同的點(diǎn)，點(diǎn)的開鄰域包含另一個點(diǎn)。對x，y∈R，x≠y，不妨設(shè)x＞y，則對?ε＞0，y的開鄰域V=（y－ε，∞），都有x∈V，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是T1空間。

定理3.3 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 不是正則空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個正則空間，X中的任意一點(diǎn)和任意不包含這個點(diǎn)的一個閉集都各有一個開鄰域，它們互不相交。因此要證明右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 不是正則空間，只需證明存在（R，Tr）中的一個閉集，總存在一個不屬于這個閉集的點(diǎn)，這個點(diǎn)的任意開鄰域與閉集的開鄰域之交不為空集。對R中任意閉集A=（－∞，a]，（a∈R），有A的開鄰域為V=（－∞,+∞），顯然R中任意一點(diǎn)的開鄰域與V相交都不為空，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是正則空間。

推論3.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 不是T2空間、T3空間、T3.5空間、T4空間，也不是正規(guī)空間。

4 右手拓?fù)淇臻g的緊致性

定理4.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是緊致空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個緊致空間，X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是緊致空間，只需證明（R，Tr）的一個開覆蓋都沒有有限子覆蓋。設(shè)右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）的開覆蓋A={（a,∞）| a∈R}，則A的任意有限子族為F={（a1，∞），（a2，∞），…， （ak，∞）}，由于F的并 {min（a1，a2，…，ak），∞}不是（R，Tr） 的一個子覆蓋，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是緊致空間。

定理4.2 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是可數(shù)緊致空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個可數(shù)緊致空間，X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是可數(shù)緊致空間，只需證明（R，Tr）中存在一個可數(shù)開覆蓋沒有有限子覆蓋。設(shè)右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）的一個可數(shù)開覆蓋A={（－n，∞）|n∈Z+}，則A的任意有限子族為F={（－n1，∞)， （－n2，∞），…，（－nk，∞）}，由于F的并 {min（－n1，－n2，…，－nk），∞}不是（R，Tr） 的一個子覆蓋，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）不是可數(shù)緊致空間。

定理4.3 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是列緊空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個列緊空間，X的每一個無限子集都有凝聚點(diǎn)。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是列緊空間，只需證明（R，Tr）的任意無限子集中至少有一個凝聚點(diǎn)。設(shè)A為右手拓?fù)淇臻g中的任意無限子集，取?x，y∈A不妨設(shè)x＞y，則y的開鄰域為V=（y－ε，∞），其中ε為任意大于0的實(shí)數(shù)，因此V∩（A－{y})中至少包含一個點(diǎn)x，即V∩（A－{y}） ≠φ，所以y點(diǎn)是A的一個凝聚點(diǎn)。因此右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是列緊空間。

定理4.4 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是局部緊致空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是一個局部緊致空間，X中的每一點(diǎn)都有一個鄰域是緊致的。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 是局部緊致空間，只需證明（R，Tr） 中的每一點(diǎn)都有一個緊致鄰域。對?x∈R，?ε＞0，x的鄰域為U=（x－ε，∞），則U的開覆蓋可以寫為A={（x－ε－δ，∞） |?δ≥0}，取A的一個有限子覆蓋為B={（x－ε－δ1，∞），（x－ε－δ2，∞)，…， （x－ε－δk，∞）}，顯然，B也是U的一個覆蓋。即對?x∈R，x的鄰域U=（x－ε，∞）是緊致鄰域，從而右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是局部緊致空間。

5 右手拓?fù)淇臻g的連通性

定理5.1 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是連通空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是連通空間，X中不存在一個即開又閉的非空真子集。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是連通空間，只需證明（R，Tr）中即開又閉的子集不是它的真子集。因為右手拓?fù)淇臻g以A={（a，∞）|a∈R，∞代表正無窮}為基，所以右手拓?fù)淇臻g中的開集為 {（a，∞）|a∈R，∞代表正無窮}∪{R}∪{φ}，閉集為{(－∞，a］|a∈R}∪{R}∪{φ}，可見右手拓?fù)渲屑撮_又閉的子集只有R和φ，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是連通空間。

定理5.2 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是局部連通空間。

證明：因為拓?fù)淇臻gX是局部連通空間，等價于X有一個基，這個基的每一個元素都是連通的。因為右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）的基B={（a，∞）|a∈R}中每一個元素（a，∞）都是R中的連通開集，所以右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是局部連通空間。

定理5.3 右手拓?fù)淇臻g（R，Tr） 是道路連通空間。

證明：因為X是道路連通空間，對于?x，y∈X，存在一個從單位閉區(qū)間［0，1］到X的一個連續(xù)映射f:［0，1］ →X滿足x=f（0） 和y=f（1）。因此要證右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是道路連通空間，只需找到這樣一個連續(xù)映射即可。對?x，y∈R定義映射f:［0，1］→R為對任意t∈［0，1］有f（t）=x+t（y－x）。設(shè)映射f的擴(kuò)張g: R→R為對任意h∈R有g(shù)（h）=x+h（y－x），則h=，所以對于右手拓?fù)淇臻g中的任意開集A=（a，∞），有h（a）=?R，當(dāng)a趨于正無窮時，h也趨于正無窮，因此g-1（A）=（，+∞）是實(shí)數(shù)空間中的開集，即映射g是從實(shí)數(shù)空間到右手拓?fù)淇臻g的一個連續(xù)映射，從而g的限制f也是一個連續(xù)映射，所以映射f就是R中一條以x為起點(diǎn)，以y為終點(diǎn)的道路。因此右手拓?fù)淇臻g（R，Tr）是道路連通空間。

右手拓?fù)涫菍?shí)數(shù)集上常見的拓?fù)洌彩峭負(fù)鋵W(xué)習(xí)中常見的反例，它有很多與實(shí)數(shù)集上其它拓?fù)洳煌耐負(fù)湫再|(zhì)，如實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理，不滿足第二可數(shù)性公理，而右手拓?fù)淇臻g卻滿足所有的可數(shù)性公理；實(shí)數(shù)的通常拓?fù)淇臻g滿足所有的分離性，但右手拓?fù)淇臻g卻只是T0空間等等。通過上述研究，我們對實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)有了較為深入的了解，也為初學(xué)者更好的理解相關(guān)拓?fù)湫再|(zhì)提供幫助，為點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)者選取教學(xué)實(shí)例提供參考。但它的積空間和商空間的拓?fù)湫再|(zhì)，它的某個拓?fù)湫再|(zhì)是否是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)，是否是可商性質(zhì)，是否是有限可積性質(zhì)等內(nèi)容還有待研究。

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2011.2.

[2]深以淡,等譯.拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2010.4.

[3]李艷穎.實(shí)數(shù)上限拓?fù)淇臻g[J].衡水學(xué)院學(xué)報,2010,12(4).

[4]李子強(qiáng).關(guān)于實(shí)數(shù)的下限拓?fù)淇臻g[J].湖北工學(xué)院學(xué)報, 1997,12(2).

[5]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義（第四版）[M].北京:高等教育出版社,2011.6.

[6]汪林,楊富春.拓?fù)淇臻g中的反例[M].北京:科學(xué)出版社, 2000.6.

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1672-4658(2015)04-0155-03

2015-06-05

2013年度邢臺學(xué)院課題：基于微博網(wǎng)格輿論的形成與傳播量化研究.課題編號：XTXY13YB105

田 亞（1979-），女，河北巨鹿縣人，講師，理學(xué)碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).