點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)中幾個(gè)反例的運(yùn)用

張 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000)

點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)中幾個(gè)反例的運(yùn)用

張 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000)

在點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)中通過(guò)對(duì)幾個(gè)典型反例的闡述和運(yùn)用，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念和定理的理解，有利于學(xué)生理解和掌握證明過(guò)程中所蘊(yùn)含的一些重要方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

反例；拓?fù)淇臻g；公理

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是用公理化方法研究抽象空間性質(zhì)的學(xué)科.所謂公理化方法是從少數(shù)原始概念和若干無(wú)矛盾的公理出發(fā)運(yùn)用嚴(yán)密的邏輯推理建立理論體系的方法.因此，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與近代數(shù)學(xué)的其他分支一樣是一門(mén)抽象程度較高的學(xué)科.學(xué)好這門(mén)課需要較強(qiáng)的抽象思維能力，這恰恰是大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得困難的地方.通過(guò)對(duì)課程中一些典型問(wèn)題的分析研討，可以使學(xué)生更牢固地掌握數(shù)學(xué)的思想方法并具備初步進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究的能力.在教學(xué)中適當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，通過(guò)反例使學(xué)生掌握點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的概念本質(zhì)，簡(jiǎn)明地說(shuō)明概念間相互的聯(lián)系與差異，能夠使學(xué)生真正掌握概念，為修正學(xué)生對(duì)知識(shí)理解中出現(xiàn)的錯(cuò)誤提供幫助.

1 點(diǎn)集

學(xué)習(xí)點(diǎn)集拓?fù)?，首先?yīng)清楚拓?fù)淇臻g中各類(lèi)集合的定義及集合之間的關(guān)系，例如拓?fù)淇臻g中的導(dǎo)集、閉集以及二者之間的關(guān)系.

定義1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A?X.如果點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即U∩(A-{x})≠?，則稱(chēng)點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為導(dǎo)集，記作d(A).

定義2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A?X.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A，即d(A)?A，則稱(chēng)A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集.

在數(shù)學(xué)分析中配備了由歐式空間上通常的度量所誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)?，就成為一個(gè)拓?fù)淇臻g.對(duì)這個(gè)拓?fù)淇臻g中的集合性質(zhì)學(xué)生相對(duì)更加熟悉，但卻容易限定一般拓?fù)淇臻g中集合的性質(zhì).在歐式度量空間內(nèi)，有限集的導(dǎo)集必是空集，但在一般的拓?fù)淇臻g內(nèi)有限集的導(dǎo)集不必是空集.另外，在歐式度量空間中，一個(gè)集的導(dǎo)集必為閉集，而在一般的拓?fù)淇臻g內(nèi)，一個(gè)集的導(dǎo)集未必是閉集.下面僅就這兩種情況舉出反例.

例1 存在某個(gè)有限集合，其導(dǎo)集非空.

設(shè)X={x1,x2,x3},令τ={X,{x1,x2},{x1,x3},{x1},?},則(X，τ)為一個(gè)拓?fù)淇臻g，考慮X的子集A={x1}，則點(diǎn)x2和x3是A的凝聚點(diǎn).故d(A)={x2,x3}，即有限集A的導(dǎo)集d(A)非空.

例2 存在某個(gè)集合的導(dǎo)集不是閉集.

設(shè)X={x1,x2,x3},令τ={X,{x2,x3},{x1},?},則(X，τ)為一個(gè)拓?fù)淇臻g.取A={x2}，易見(jiàn)d(A)={x3}且d(A)不是閉集.

2 同胚映射

拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì).而說(shuō)明兩個(gè)拓?fù)淇臻g是不是同胚的，恰恰就是看兩個(gè)空間之間是否存在一個(gè)同胚映射.因而，同胚映射在拓?fù)鋵W(xué)中是很重要的概念.

定義3 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，如果f:X→Y是一個(gè)一一映射，并且f和f-:Y→X都是連續(xù)的，則稱(chēng)f是一個(gè)同胚映射或同胚.

此定義要求的條件比較強(qiáng)，既要求f是連續(xù)的一一映射，同時(shí)要求f-也是連續(xù)的，這些條件是不能蘊(yùn)含的，為此我們給出一個(gè)例子說(shuō)明即便是連續(xù)的一一映射，其逆映射也可以不是連續(xù)的.

3 分離性公理

由拓?fù)淇臻g的分離性公理，我們定義了T0,T1,T2,T3,T4空間(具體定義參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])，滿(mǎn)足分離性的這五種拓?fù)淇臻g之間有如下關(guān)系：T4?T3?T2?T1?T0，關(guān)于反方向蘊(yùn)含不成立的反例在此一一給出.

例4 存在T0而非T1的拓?fù)淇臻g.

設(shè)X={x1,x2,x3},令τ={X,{x1,x2},{x1,x3},{x1},?}，則(X,τ)為一個(gè)拓?fù)淇臻g.易見(jiàn)，X是T0空間.因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)x1,x3而言，含點(diǎn)x3的開(kāi)集必含有點(diǎn)x1，所以X不是T1空間.

例5 存在T1而非T2的拓?fù)淇臻g.

設(shè)X為一不可數(shù)集，規(guī)定X上的拓?fù)錇椋篨的閉子集族由X的至多可數(shù)子集連同X組成.易見(jiàn)，X是T1且X中任何兩個(gè)點(diǎn)都不能被開(kāi)集分離，因而X不是T2空間.

例6 存在T2的非正則也非正規(guī)的空間.

Niemytzki平面.設(shè)X?R2,X={(x,y)|y≥0}，令R為x軸，在X引進(jìn)如下拓?fù)浠?/p>

其中，B(P,ε)是R2中按歐式度量以P為中心、ε為半徑的開(kāi)球.稱(chēng)V(P,ε)為P的標(biāo)準(zhǔn)鄰域基元，則={V(P,ε)|ε>0,P∈X}是X上的一個(gè)拓?fù)浠?事實(shí)上，我們不難驗(yàn)證，滿(mǎn)足：

(1)X=UP∈XV(P,ε)；

(2)?V(P1,ε1),V(P2,ε2)∈,?x∈V(P1,ε1)∩V(P2,ε2),必存在V(P,ε)，使得

x∈V(P,ε)?V(p1,ε1)∩V(P2,ε2).對(duì)于?P1，P2∈X,P1≠P2,取ε=ρ(P1,P2),則

下面說(shuō)明(X,τ)不是正則的,也不是正規(guī)的.由拓?fù)浠鶚?gòu)造知，x軸上任意子集是閉集.取點(diǎn)θ=(0,0)，閉集F=R/{θ}.

又因?yàn)镕*={θ}是閉集，F(xiàn)∩F*=?，故?U∈U(θ)=U(F*)，?W∈U(F)同上所證，有U∩W≠?.所以(X,τ)也不是正規(guī)的.

4 拓?fù)淇臻g中緊集與閉集

在緊的Hausdorff空間中每一個(gè)緊子集都是閉集，因而在緊的Hausdorff空間中兩個(gè)緊子集的交還是緊集.然而在一般的拓?fù)淇臻g中這點(diǎn)是不一定成立的.

例7 存在某個(gè)拓?fù)淇臻g中兩個(gè)緊集，其交不是緊集.

設(shè)Y是實(shí)數(shù)集并取通常拓?fù)?，Z是點(diǎn)集{0,1}并取平庸拓?fù)?，X=Y×Z取乘積拓?fù)?令A(yù)={[a,b]×{0}}∪{(a,b)×{1}},B={(a,b)×{0}}∪{[a,b]×{1}}.

需要注意的是，X的開(kāi)集具有形式(c,d)×?或(c,d)×{0,1}.因此，假若X的開(kāi)集G含有點(diǎn)x=(y,0)，那么G也一定含有點(diǎn)(y,1).

其次，A∩B不是緊的.因A∩B=(a,b)×{0,1}，而(a,b)不是Y的緊子集，故A∩B也不是Y的緊子集.

5 結(jié)語(yǔ)

以上是筆者總結(jié)的常用反例，在教學(xué)實(shí)踐中收到了較好的效果，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解概念和相關(guān)定理起到了促進(jìn)作用，可以使學(xué)生澄清對(duì)某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí)，也讓他們意識(shí)到拓?fù)淇臻g是要比之前在數(shù)學(xué)分析中討論的度量空間更廣泛的一個(gè)范疇。通過(guò)反例的構(gòu)造和應(yīng)用，將度量空間中熟識(shí)的一些概念和性質(zhì)進(jìn)一步一般化，使學(xué)生對(duì)點(diǎn)集拓?fù)湔n程有更深刻的理解，提高他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的教學(xué)目的.

[1]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2]朱培勇,雷銀彬.拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[3]汪林,楊富春.拓?fù)淇臻g中的反例[M].北京:科學(xué)出版社,2000.

[4]鄒應(yīng).拓?fù)鋵W(xué)習(xí)題集[M].武昌:武漢大學(xué)出版社,2003.

[5]陳肇姜.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)題解與反例[M].南京:南京大學(xué)出版社,1997.

2015-01-02

伊犁師范學(xué)院一般科研項(xiàng)目(2013YSYB18)。

張 婧(1980- )，女，山東濟(jì)寧人，伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士研究生，從事調(diào)和分析研究。

O189；G642

A

2095-7602(2015)04-0017-03