高考中圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期問題探析

陳光才

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)，江蘇　南京　210036)

高考中圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期問題探析

陳光才

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)，江蘇南京210036)

摘要：由2013年江蘇高考物理第2題引發(fā)思考：掛在外面的座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是否一定大于內(nèi)側(cè)的？本文從數(shù)學(xué)和物理兩方面加以分析，得出懸繩偏轉(zhuǎn)的角度θ與繩長(zhǎng)L和懸掛點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離d的關(guān)系，并由此結(jié)合生活中和高考題中的一些實(shí)例展開論述.

關(guān)鍵詞：高考物理；圓錐擺；周期；飛椅

1問題的提出

例1(2013年江蘇)如圖4所示，旋轉(zhuǎn)秋千中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上.不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說法正確的是().

圖4

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C. 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D. 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

然而，對(duì)于解析中A的半徑比B的小的結(jié)論，估計(jì)大部分同學(xué)是憑感覺得到的，并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，尤其是在高考考場(chǎng)中.那么，究竟這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？下面做簡(jiǎn)要的論述.

2問題的研究

2.1　數(shù)學(xué)分析

由上述表達(dá)式可知：在T和d都相同時(shí)，L越大，θ越大.在T和L都相同時(shí)，d越大，θ越大.那么，對(duì)于這道高考題就可以得出：RA

2.2　物理分析

圖7

當(dāng)然，大家從筆者所畫的圖中似乎已經(jīng)得到了更加直觀的方法.利用圓錐擺的結(jié)論，圓錐擺小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期取決于懸掛點(diǎn)到圓周軌道所在水平面的高度H，既然A和B有相同的周期，那么它們的H必然應(yīng)該相同.只不過，這里需要將懸線延長(zhǎng)，找到延長(zhǎng)線和豎直軸的交點(diǎn)，此交點(diǎn)即為等效懸掛點(diǎn).如果告訴A、B的等效懸掛點(diǎn)分別為O′和O″，那么O′O″的高度差h′必然和兩球的高度差h相等.那么可以得出同樣的結(jié)論：在T和d都相同時(shí)，為了保證h和h′相等，那么L越大，θ必越大(如圖7).同理，在T和L都相同時(shí)，d越大，θ越大(如圖5、圖6).關(guān)鍵是要能夠抓住周期相同則高度相同的結(jié)論.

3問題的延伸

圖8

例2(2008年廣東)有一種叫“飛椅”的游樂項(xiàng)目,示意圖如圖8所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的鋼繩一端系著座椅,另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣.轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi),與豎直方向的夾角為θ.不計(jì)鋼繩的重力,求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω與夾角θ的關(guān)系.

這讓筆者想到生活中的“飛椅”，會(huì)在大圓盤下面掛很多椅子，有的靠近轉(zhuǎn)軸，有的遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸，那么這些椅子在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，有沒有撞在一起的危險(xiǎn)呢？我們假設(shè)他們撞在一起了，如圖9所示，會(huì)發(fā)現(xiàn)：它們的H不相等.而它們繞著同一個(gè)轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)，所以周期相同，通過前面的結(jié)論可知，它們的H必須相等，從而得出相互矛盾的結(jié)果，所以它們不可能撞在一起.那么是不是懸掛位置和懸繩長(zhǎng)度都可以隨意取呢？由圖10可以看到，如果靠近轉(zhuǎn)軸的懸繩太長(zhǎng)就有可能和外側(cè)的懸繩纏繞在一起，這樣就會(huì)帶來危險(xiǎn)，所以，在安裝懸繩的時(shí)候應(yīng)該把長(zhǎng)的放在外面，短的放在內(nèi)側(cè)，這樣可以避免纏繞的危險(xiǎn).

圖11

例3(2013年重慶)如圖11所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°.若ω=ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0.

圖12

例4在一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐桶內(nèi)，兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A、B緊貼著桶的內(nèi)壁分別在不同高度的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖13所示，則().

① 兩球?qū)ν氨诘膲毫ο嗟?/p>

②A球的線速度一定大于B球的線速度

③A球的角速度一定大于B球的角速度

④ 兩球的周期相等

A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④