含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式及其推廣

趙天玉，魏晶，陳忠　(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式及其推廣

趙天玉，魏晶，陳忠(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

[摘要]柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)論中的重要公式之一。首先用極限方法給出并證明了含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式;然后采取添加積分路徑的方式,將含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域轉(zhuǎn)化為有限區(qū)域研究,再取極限將有限區(qū)域擴展為含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的方法,將含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式推廣到被積函數(shù)含多個極點的情況。計算實例表明,含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式及其推廣形式適用有效,方便積分的計算。

[關(guān)鍵詞]柯西積分公式;無窮遠(yuǎn)點;極點

柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)論中的重要公式之一,也是專家學(xué)者研究的熱點。文獻(xiàn)[1]給出了奇點在積分路徑上的柯西積分公式；文獻(xiàn)[2]給出了被積函數(shù)含多個極點的柯西積分公式；文獻(xiàn)[3]以高階導(dǎo)數(shù)公式和羅朗級數(shù)為工具，對被積函數(shù)有多個極點的柯西積分公式給出了一種新推廣，巧妙地避免了計算復(fù)雜的高階導(dǎo)數(shù)的情況。下面，筆者給出含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式，并將含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式推廣到被積函數(shù)含多個極點的情況。

1柯西積分公式

2解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)

設(shè)f(z)在區(qū)域H:R<|z|<+∞(0≤R)內(nèi)解析，那么無窮遠(yuǎn)點z=∞稱為f(z)的孤立奇點。此時，f(z)在區(qū)域H內(nèi)必可展成如下冪級數(shù)：

(1)

f(z)=F∞(z)+G∞(z)

(2)

特別是若f(z)在z=∞點有m級極點，則由文獻(xiàn)[5]知：

3含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式

(1)當(dāng)z0∈D-時，取充分大的R>0，使得R-|z0|>E，作圓周CR:|z-z0|=R，將C包含在圓周內(nèi)，則f(z)在以C與CR為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，由柯西積分公式得：

(3)

因為在CR上，z=z0+Reiθ(0≤θ≤2π)，|z|=|z0+Reiθ|≥R-|z0|>E，所以：

|f(z)-A|<ε

這時：

<ε

即：

在式(3)中令R→+∞，并移項整理得：

類似情況(1)的證明，令R→+∞，并移項整理得：

=0

4推廣形式

定理3設(shè)D為簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域， C的外部區(qū)域為D-(含∞的區(qū)域)，函數(shù)f(z)在D-內(nèi)除z1,z2,…,zn以及z=∞點外單值解析，在C上連續(xù)，在zj處有l(wèi)j階極點，各極點的主要部分[3]分別是Gj(z),j=1,2,…,n。在z=∞點有l(wèi)級極點，其主要部分是G∞(z)，則有：

證明(a)當(dāng)z0∈D-時，取充分大的R>0，作圓周CR：|z|=R，將C與z0，z1，…,zn包含在圓周內(nèi)。在以C與CR為邊界的區(qū)域B內(nèi)，對f(z)應(yīng)用文獻(xiàn)[3]推廣的柯西積分公式得：

(4)

又f(z)在R≤|z|<+∞內(nèi)解析，故：

f(z)=F∞(z)+G∞(z)

(5)

應(yīng)用柯西積分公式得：

(6)

在式(4)中令R→+∞，并結(jié)合式(5)和式(6)，移項整理得：

(b)若z0∈D,在以C與CR為邊界的區(qū)域B外，對f(z)應(yīng)用文獻(xiàn)[3]推廣的柯西積分公式得：

(7)

當(dāng)z0∈D-時：

=2πi[-f(z0)+G1(z0)+G∞(z0)]

當(dāng)z0∈D時：

=2πi[G1(z0)+G∞(z0)]

5結(jié)語

首先，闡述了柯西積分公式與解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)，給出了解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，為論文的后續(xù)工作奠定了基礎(chǔ)；其次，用極限方法給出了含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式，豐富了柯西積分公式的內(nèi)容；在此基礎(chǔ)上，采取添加積分路徑的方式，將含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域轉(zhuǎn)化為有限區(qū)域研究，再取極限將有限區(qū)域擴展為含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的方法，最后將含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式推廣到被積函數(shù)含多個極點的情況。2個計算實例表明，含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式及其推廣形式適用有效，方便積分的計算，希望該研究能對正在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的讀者有所啟迪。

[參考文獻(xiàn)]

[1]朱茱，劉敏.在積分路徑C上的柯西積分公式[J].阜陽師范大學(xué)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)2004，21(4)：60～63.

[2] 劉志宏.柯西積分公式的推廣 [J] . 高師理科學(xué)刊，2012，32(1)： 14～16.

[3] 吳立鶴，趙天玉，陳忠.柯西積分公式的一種新的推廣形式 [J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)， 2015，12(4)：11～14.

[4] 余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1979.

[5] 馬柏林，李丹衡，晏華輝.復(fù)變函數(shù)與積分變換(修訂版)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

[6] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯]洪云飛

[引著格式]趙天玉，魏晶，陳忠.含無窮遠(yuǎn)點區(qū)域的柯西積分公式及其推廣[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2015,12(28)：1~4.

[中圖分類號]O174.5

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)28-0001-04

[作者簡介]趙天玉(1958-)，男，碩士，教授，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:zty@yangtzeu.edu.cn。

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(11201039，61273179)；長江大學(xué)教學(xué)研究項目(JY2013026)。

[收稿日期]2015-06-26