Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分求解及其誤差估計(jì)

李瑾

(河南財(cái)政稅務(wù)高等專科學(xué)校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分求解及其誤差估計(jì)

李瑾

(河南財(cái)政稅務(wù)高等專科學(xué)校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

研究Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分函數(shù)的正解情況，考察其正解的唯一性問(wèn)題，進(jìn)而研究其數(shù)值求解的誤差估計(jì)，所得結(jié)果拓展了Wyss的研究成果.

分?jǐn)?shù)階微積分; Caputo型； Chebyshev 多項(xiàng)式； 誤差估計(jì)； 唯一性.

分?jǐn)?shù)階微積分在一些混沌領(lǐng)域，如在遺傳數(shù)理得到了較為廣泛的應(yīng)用[1-3].然而，由于其應(yīng)用上的非局部性，使得分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，進(jìn)而導(dǎo)致發(fā)展較為緩慢[4].Diethelm[5]根據(jù)前人的研究成果[6-11]，給出了幾種較為常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值算法，并提出了分?jǐn)?shù)階微積分的Gauss求解原理及算法.本文基于Sugiura等[12]的分?jǐn)?shù)階微積分Chebyshev 多項(xiàng)式數(shù)值算法模型，考察Wyss等[13]設(shè)計(jì)的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分函數(shù)的正解情況，進(jìn)而研究其數(shù)值求解的誤差估計(jì).

1 分?jǐn)?shù)階積分及其拓展算法

Wyss和Chneider建構(gòu)了分?jǐn)?shù)階積分函數(shù)，令φ(x)，ψ(x)為已知函數(shù)，所組成的偏微分方程為

為進(jìn)一步研究高階分?jǐn)?shù)階積分，Miyakoda拓展了Wyss的研究成果，建構(gòu)基于Chebyshev多項(xiàng)式逼近的高階分?jǐn)?shù)階積分[13].為此，令函數(shù)f(x)分?jǐn)?shù)階積分為

結(jié)合文獻(xiàn)[3]的研究，對(duì)上述方程進(jìn)行多項(xiàng)式逼近，可得到

T0(x)=1，T1(x)=x，Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x).

結(jié)合式(4)，由方程(1)可得

為了進(jìn)一步得出該多項(xiàng)式的算法，記pn為式(4)的n次多項(xiàng)式，于是有

于是,可得到

由方程(9)中Ti(2x-1)(i=1，2，…，n)的系數(shù)，可以得到

所以，分?jǐn)?shù)階積分(1)的數(shù)值算法為

式(11)中:α>a，t∈[0，1]，ak，bk由方程(4)及方程(10)給出.

2 Caputo型分?jǐn)?shù)階微分的數(shù)值算法

首先，給出Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.令函數(shù)f(t)的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

式(12)中:Γ(·)是Gamma函數(shù).接下來(lái)，對(duì)該導(dǎo)數(shù)進(jìn)行Chebyshev多項(xiàng)處理，可得

進(jìn)而得到

為了進(jìn)一步明確bi，將方程(16)～(18)整合,可得到

可以發(fā)現(xiàn)

式(18)中：k=1，2，…，n-2;bn-1=bn-2=0.于是,可得到Caputo型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值算法為

當(dāng)前糧食的機(jī)械干燥方法主要包括熱風(fēng)干燥、真空干燥、微波干燥、太陽(yáng)能干燥、熱泵干燥、就倉(cāng)干燥、紅外輻射干燥以及熱風(fēng)——微波聯(lián)合干燥等新型干燥技術(shù)，其中熱風(fēng)干燥技術(shù)依舊是應(yīng)用較普遍的干燥技術(shù)[2]。為此，利用DHG-9240A型熱風(fēng)干燥試驗(yàn)裝置進(jìn)行試驗(yàn)，分析在不同溫度、風(fēng)速和物料薄層厚度條件下高水分小麥的熱風(fēng)干燥特性，并建立高水分小麥熱風(fēng)干燥數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而揭示高水分小麥的熱風(fēng)干燥規(guī)律和干燥機(jī)理，為高水分小麥熱風(fēng)干燥工藝建立及其設(shè)備研制提供理論依據(jù)。

式(19)中：α∈(1，2)，t∈[0，1]，而dk，bk分別由方程(17)，(18) 確定.

3 Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程解的唯一性問(wèn)題

當(dāng)t∈(0，+∞)，(0，∞)→R時(shí)，f(x)的a階(a∈R+)分?jǐn)?shù)階積分為

所以，其Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)則為

假設(shè)G(t，s)>0(t，s∈(0，1)為Green函數(shù)，于是，在g∈[0，1]，2≤a≤3，Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)微分方程為

設(shè)P={x∈C[0，1]|x(t)≥0，t∈[0，1]}，所以P為Banach空間C的正規(guī)錐，于是提出如下假設(shè).

假設(shè)1f(t，u，v)∶[0，1]×[0，∞)×[0，∞)→[0，∞)連續(xù)，且f(t，0，1)≠0.

假設(shè)2 當(dāng)t∈[0，1]，v∈[0，∞)時(shí)，在u∈[0，+∞)區(qū)間，f(t，u，v)單調(diào)遞增；當(dāng)t∈[0，1]，u∈[0，+∞)時(shí)，在v∈[0，+∞)區(qū)間，f(t，u，v)單調(diào)遞減；?γ∈(0，1)，存在φ(γ)∈(γ，1)，使f(t，γu，γ-1)≥

φ(γ)f(t，u，v)，?u，v∈[0，∞).于是，提出以下3點(diǎn)結(jié)論.

1) 存在r∈(0，1)及u0，v0∈Pw，使不等式rv0≤u0

上式中：w(t)=t，t∈[0，1].

2) 在P={x∈C[0，1]|f(x)≥0，x∈[0，1]}，Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程具有唯一解u*.

3) ?x0，y0∈P，構(gòu)造迭代序列

上式中：n=1，2，….

當(dāng)n→∞時(shí)，xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t)成立.

4 誤差分析

由于前述的Chebyshev多項(xiàng)式pn(x)具有解的有界性和一致性，所以有

于是，在積分空間Cr上，Chebyshev多項(xiàng)式分?jǐn)?shù)階積分f(x)的數(shù)值算法具有誤差估計(jì)為

所以，在積分空間Cr上，Chebyshev多項(xiàng)式分?jǐn)?shù)階積分f(x)的數(shù)值算法具有的誤差估計(jì)滿足

于是，En(t)=f(t)-pn(t)=An+1(t)Bn(t)，又由于Chebyshev多項(xiàng)式f(x)的一致有界性，所以有

注 上述結(jié)論中o的含義為n→+∞時(shí)，Chebyshev多項(xiàng)式f(x)數(shù)值算法誤差的收斂速率.

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(責(zé)任編輯： 陳志賢 英文審校： 吳逢鐵)

Algorithm and Error Estimate on the Fractional Differential Equation With Caputo Derivative

LI Jin

(Department of Information Technology, Henan Finance and Taxation College, Zhengzhou 451464, China)

The development speed of the reactional differential equation is slow due to the application nonlocality and the calculative complexity. In this paper, we will discuss the positive solution to the fractional differential equation with Caputo derivative based on the current research. Then we also study the uniqueness of the solution and discern the deviation comparing with numerical solution. The paper expands Wyss′ research and conclusion.

fractional differential equation; Caputo derivative； Chebyshv polynomial; error estimate； uniqueness

1000-5013(2015)06-0721-05

10.11830/ISSN.1000-5013.2015.06.0721

2015-10-08

李瑾(1961-)，女，副教授，主要從事微積分及經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的研究.E-mail:396319685@qq.com.

河南省2014年軟科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(142400411076)

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