矩形和直角三角形截面永磁體磁力解析模型

田錄林， 張慶， 田亞琦， 賈嶸

(1．西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048； 2．重慶江北中學(xué)，重慶 400714)

矩形和直角三角形截面永磁體磁力解析模型

田錄林1， 張慶1， 田亞琦2， 賈嶸1

(1．西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048； 2．重慶江北中學(xué)，重慶 400714)

針對永磁體間的磁力用數(shù)值法計算復(fù)雜、計算工作量大，且不便于永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的不足，本文基于磁荷法和虛位移法得到兩細長永磁體磁力公式，采用四重積分法建立了全新的矩形和直角三角形截面永磁體磁力解析模型，分析了磁力與永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系，ANSYS仿真驗證了該解析模型的正確性。結(jié)果表明，該解析模型計算值和ANSYS仿真值吻合，采用該解析模型進行磁力計算相對簡單且計算時間大大減小，計算精度提高。

矩形； 直角三角形； 永磁體； 磁力解析模型； ANSYS仿真

傳統(tǒng)的機械導(dǎo)軌由于有接觸摩擦，所以存在振動、噪音及發(fā)熱等問題。如何實現(xiàn)高速機床導(dǎo)軌節(jié)能、高效高速可靠運行，就必須解決高速運動支承這一關(guān)鍵技術(shù)問題。磁懸浮技術(shù)是利用磁場力將運動機械無機械接觸地懸浮起來，它對改善設(shè)備的振動、噪音、高速性能及提高節(jié)能和使用壽命等有重要意義。與電磁[1-2]、超導(dǎo)磁浮[3-5]相比，永磁懸浮[6-13]具有無功耗、結(jié)構(gòu)簡單、體積小、成本低等優(yōu)點。1980年Halbach提出一種新型的永磁體排列方式，它將不同磁化方向的永磁體按照一定的順序排列，使得陣列一邊的磁場顯著增強，另一邊的磁場顯著削弱。由矩形截面永磁體構(gòu)成Halbach永磁導(dǎo)軌時，由于磁場在磁體接縫處不能順暢過渡，直接影響其承載力。采用橫截面為梯形永磁體構(gòu)成Halbach 永磁導(dǎo)軌時，當磁力線經(jīng)過梯形永磁體兩個腰斜面接縫時更能順暢過渡，可實現(xiàn)匯集磁能于永磁導(dǎo)軌工作間隙，達到提高其承載力及剛度的目的。梯形截面永磁體可視為是由兩個直角三角形截面和一個矩形截面永磁體構(gòu)成[14]。兩個梯形截面永磁體的磁力解析計算，涉及兩個直角三角形截面永磁體磁力計算、兩個矩形截面永磁體磁力計算及截面為矩形和直角三角形永磁體間的磁力解析計算。但迄今國內(nèi)外文獻還沒有橫截面為矩形和直角三角形永磁體間的磁力解析計算模型，截面為梯形的兩永磁體間的磁力及由其構(gòu)成的Halbach 永磁導(dǎo)軌的磁力計算只有數(shù)值算法。數(shù)值計算的優(yōu)點是適應(yīng)范圍寬，但數(shù)值算法計算復(fù)雜、計算工作量大，不便于永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，不便于一般工程人員掌握。而磁力解析模型具有計算量小且便于永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的優(yōu)點。因此，建立設(shè)計計算精度高、計算量小且便于結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的矩形和直角三角形截面的兩永磁體磁力解析模型具有基礎(chǔ)性、實用性和必要性。本文基于磁荷法和虛位移法得到兩細長永磁體磁力公式，采用繁雜的四重積分法建立了目前國內(nèi)外還沒有的全新矩形和直角三角形截面永磁體磁力解析模型，分析了磁力與永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。用ANSYS軟件仿真驗證了模型的正確性，結(jié)果表明，該解析模型磁力計算時間大大減小，計算精度較高，誤差滿足工程應(yīng)用的要求。

1 矩形和直角三角形截面永磁體磁力解析式

兩長直細條形永磁體，一個過P(x1,z1)點與y軸重合，一個過M(x2,z2)點與y軸平行(見圖1)。

基于點磁荷二維磁場和虛功原理法可得單位長度的兩細條形永磁體之間的磁力[15]為：

(1)

(2)

式中：J1和J2為永磁體磁極化強度矢量的模，其在y軸方向的分量為0，量值分別等于永磁體剩磁感應(yīng)強度Br1和Br2；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率；rPM為同一橫截面內(nèi)兩細條形永磁體間的距離；β1和β2分別為J1和J2與x軸正方向的夾角；θ為rPM與x軸正方向的夾角；ds1、ds2為兩長直細條形永磁體的橫截面微面積。

縱向長度為L的矩形截面和三角形截面永磁體的4種布置方式如圖2所示，參數(shù)在圖中標注，箭頭為磁化矢量方向。

以下是采用四重積分法推導(dǎo)出的兩永磁體磁力解析模型的z軸方向和x軸方向磁力解析表達式。

對式(1)積分(取β1+β2=0)可得兩永磁體在z軸方向的磁力Fz。

-Br1Br2L×10-6/πμ0×[±Φ(n,g,f)]

(3)

Φ(n,g,f)={[a/(2×(1+f2))×arctan((h-f×(c+e-g))/(c+e-a))]+[(-h+f×(c+e-g)-f×(c+e-a))/(4×(1+f2))×ln((c+e-a)2+(-h+f×(c+e-g))2)]+[(h-f×(c+e-g)+f×(c+e))/(4×(1+f2))×ln((c+e)2+(-h+f×(c+e-g))2)]+[(-(c+e)-f×(-h+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c-e)/(h-f×(c+e-g)))]+[(c+e+f×(-h+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((-c-e)/(h-f×(c+e-g)))]+[-a/(2×(1+f2))×arctan((b+h-f×(c+e-g))/(c+e-a))]+[(b+h-f×(c+e-g)+f×(c+e-a))/(4×(1+f2))×ln((c+e-a)2+(-(b+h)+f×(c+e-g))2)]+[(-(b+h)+f×(c+e-g)-f×(c+e))/(4×(1+f2))×ln((c+e)2+(-(b+h)+f×(c+e-g))2)]+[(c+e+f×(-(b+h)+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-(c+e))/(b+h-f×(c+e-g)))]+[(-(c+e)-f×(-(b+h)+f×(c+e-g)))/(2×(1+f2))×arctan((-(c+e))/(b+h-f×(c+e-g)))]+[-a/(2×(1+f2))×arctan((h-f×(c-g))/(c-a))]+[(h-f×(c-g)+f×(c-a))/(4×(1+f2))×ln((c-a)2+(-h+f×(c-g))2)]+[(-h+f×(c-g)-f×c)/(4×(1+(d/e)2))×ln(c2+(-h+f×(c-g))2)]+[(c+f×(-h+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c)/(h-f×(c-g)))]+[(-c-f×(-h+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan(-c/(h-f×(c-g)))]+[a/(2×(1+f2))×arctan((b+h-f×(c-g))/(c-a))]+[(-(b+h)+f×(c-g)-f×(c-a))/(4×(1+f2))×ln((c-a)2+(-(b+h)+f×(c-g))2)]+[(b+h-f×(c-g)+f×c)/(4×(1+f2))×ln(c2+(-(b+h)+f×(c-g))2)]+[(-c-f×(-(b+h)+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan((a-c)/(b+h-f×(c-g)))]+[(c+f×(-(b+h)+f×(c-g)))/(2×(1+f2))×arctan(-c/(b+h-f×(c-g)))]+[-a/2×arctan((h+n)/(c+e-a))]+[(h+n)/4×ln((c+e-a)2+(h+n)2)]+[-(h+n)/4×ln((c+e)2+(h+n)2)]+[(c+e)/2×arctan((a-c-e)/(h+n))]+[-(c+e)/2×arctan((-c-e)/(h+n))]+[a/2×arctan((b+h+n)/(c+e-a))]+[-(b+h+n)/4×ln((c+e-a)2+(b+h+n)2)]+[(b+h+n)/4×ln((c+e)2+(b+h+n)2)]+[-(c+e)/2×arctan((a-c-e)/(b+h+n))]+[(c+e)/2×arctan((-c-e)/(b+h+n))]+[a/2×arctan((h+n)/(c-a))]+[-(h+n)/4×ln((c-a)2+(h+n)2)]+[(h+n)/4×ln(c2+(h+n)2)]+[-c/2×arctan((a-c)/(h+n))]+[c/2×arctan(-c/(h+n))]+[-a/2×arctan((b+h+n)/(c-a))]+[(b+h+n)/4×ln((c-a)2+(b+h+n)2)]+[-(b+h+n)/4×ln(c2+(b+h+n)2)]+[c/2×arctan((a-c)/(b+h+n))]+[-c/2×arctan(-c/(b+h+n))]}

(4)

對應(yīng)圖2(a)、(b)、(c)、(d)四種結(jié)構(gòu)，兩永磁體z軸方向磁力分別如下：

其中：

對式(2)積分(取β1+β2=0),可得兩永磁體在x軸方向的磁力Fx：

-Br1Br2L×10-6/πμ0×[±Ψ(m,g,f)]

(5)

Ψ(m,g,f)={[-(h+d)/2×arctan((c+m-a)/(h+d))]+[(b+h+d)/2×arctan((c+m-a)/(b+h+d))]+[-(c+m-a)/4×ln((h+d)2+(c+m-a)2)]+[(c+m-a)/4×ln((b+h+d)2+(c+m-a)2)]+[(h+d)/2×arctan((c+m)/(h+d))]+[-(b+h+d)/2×arctan((c+m)/(b+h+d))]+[(c+m)/4×ln((h+d)2+(c+m)2)]+[-(c+m)/4×ln((b+h+d)2+(c+m)2)]+[h/2×arctan((c+m-a)/h)]-[-(b+h)/2×arctan((c+m-a)/(b+h))]+[(c+m-a)/4×ln(h2+(c+m-a)2)]+[-(c+m-a)/4×ln((b+h)2+(c+m-a)2)]+[-h/2×arctan((c+m)/h)]+[(b+h)/2×arctan((c+m)/(b+h))]+[-(c+m)/4×ln(h2+(c+m)2)]+[(c+m)/4×ln((b+h)2+(c+m)2)]+[(h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d-a)/(h+d))]+[-(b+h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d-a)/(b+h+d))]+[(g-f×d-a+f×(h+d))/(4×(1+f2))×ln((h+d)2+(g-f×d-a)2)]+[(-(g-f×d-a)-f×(b+h+d))/(4×(1+f2))×ln((b+h+d)2+(g-f×d-a)2)]+[-(h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d)/(h+d))]+[(b+h+d)/(2×(1+f2))×arctan((g-f×d)/(b+h+d))]+[(-(g-f×d)-f×(h+d))/(4×(1+f2))×ln((h+d)2+(g-f×d)2)]+[((g-f×d)+f×(b+h+d))/(4×(1+f2))×ln((b+h+d)2+(g-f×d)2)]+[(-f×(g-f×d-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(h+d)/(g-f×d-a))]+[(f×(g-f×d-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h+d)/(g-f×d-a))]+[(f×(g-f×d))/(2×(1+f2))×arctan(-(h+d)/(g-f×d))]+[-(f×(g-f×d))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h+d)/(g-f×d))]+[-h/(2×(1+f2))×arctan((g-a)/h)]+[(b+h)/(2×(1+f2))×arctan((g-a)/(b+h))]+[(-(g-a)-f×h)/(4×(1+f2))×ln(h2+(g-a)2)]+[((g-a)+f×(b+h))/(4×(1+f2))×ln((b+h)2+(g-a)2)]+[h/(2×(1+f2))×arctan(g/h)]+[-(b+h)/(2×(1+f2))×arctan(g/(b+h))]+[(g+f×h)/(4×(1+f2))×ln(h2+g2)]+[(-g-f×(b+h))/(4×(1+f2))×ln((b+h)2+g2)]+[(f×(g-a))/(2×(1+f2))×arctan(-h/(g-a))]+[-(f×(g-a))/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h)/(g-a))]+[-(f×g)/(2×(1+f2))×arctan(-h/g)]+[(f×g)/(2×(1+f2))×arctan(-(b+h)/g)]}

(6)

對應(yīng)圖2(a)、(b)、(c)、(d)四種結(jié)構(gòu)，兩永磁體x軸方向磁力分別如下：

其中:

適用任意磁化方向的兩永磁體磁力解析模型為：

cos(β1+β2)sin(3θ)]ds1ds2=

Ksin(β1+β2)[±Ψ(m,g,f)]-Kcos(β1+β2)[±Φ(n,g,f)]

-Kcos(β1+β2)[±Ψ(m,g,f)]-Ksin(β1+β2)[±Φ(n,g,f)]

式(3)～(6)為一對縱向長度為L、橫截面分別為矩形和直角三角形的兩永磁體磁力解析模型，以上解析模型永磁體參數(shù)應(yīng)滿足：c>a或h>0。式中磁力單位為N，長度單位為mm。

2 ANSYS仿真分析

本文采用ANSYS仿真軟件來驗證文中解析模型的正確性。選用的NdFeB為永磁材料,其性能如下：

Br=1.13 T,Hc=800 kA/m,μr=Br/(μ0Hc)=1.124

2.1 磁力Fx與參數(shù)的關(guān)系分析

下文圖中的Fx(M)或Fz(M)為解析模型計算值，F(xiàn)x(A)或Fz(A)為ANSYS仿真值。下文計算取永磁體長度L=1 000 mm。下圖中將解析計算與仿真計算進行了4組對比，分別對應(yīng)圖2中的4種相對位置。

2.1.1 磁力Fx與參數(shù)a的關(guān)系

取永磁體參數(shù)b=d=15 mm,c=5 mm,e=10 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖3。

由圖3可以看出：磁力Fx隨著參數(shù)a的增大呈先增大后減小的趨勢。其最大誤差為15.5%，最小誤差為1.6%，平均誤差為6.2%。

2.1.2 磁力Fx與參數(shù)b的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,c=5 mm,d=15 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖4。

由圖4可以看出：磁力Fx隨著參數(shù)b的增大呈單調(diào)遞增趨勢，增大到最大后趨于平緩。圖4中最大誤差為16.7%，最小誤差為0.76%，平均誤差為4.9%。

2.1.3 磁力Fx與參數(shù)c的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,b=d=15 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖5。

由圖5可以看出：磁力Fxb隨著參數(shù)c的增大在正值的時候呈單調(diào)遞減的趨勢，減到負值之后呈單調(diào)遞增的趨勢；Fxd呈緩慢減小的趨勢；Fxa和Fxc呈先增大后減小的趨勢。圖5中最大誤差為15.5%，最小誤差為0.4%，平均誤差為3.3%。

2.1.4 磁力Fx與參數(shù)d的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,b=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖6。

由圖6可以看出：磁力Fxb和Fxd隨著參數(shù)d的增大而減小；Fxa和Fxc呈單調(diào)遞增的趨勢。圖6中最大誤差為18.3%，最小誤差為1.3%，平均誤差為12.0%。

2.1.5 磁力Fx與參數(shù)e的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖7。

由圖7可以看出：磁力Fxb隨著參數(shù)e的增大而增大；Fxa、Fxc、Fxd呈單調(diào)遞增的趨勢,最后趨于平穩(wěn)。圖7中最大誤差為13.3%，最小誤差為0.3%，平均誤差為9.2%。

2.1.6 磁力Fx與參數(shù)h的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(5)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖8。

由圖8可以看出：磁力Fx隨著參數(shù)h的增大呈單調(diào)遞減趨勢，最后趨于平穩(wěn)。圖8中最大誤差為14.8%，最小誤差為1.7%，平均誤差為10.1%。

2.2 磁力Fz與相關(guān)參數(shù)關(guān)系分析

2.2.1 磁力Fz與參數(shù)a的關(guān)系

取永磁體參數(shù)b=d=15 mm,c=5 mm,e=10 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖9。

由圖9可以看出：磁力Fza、Fzc、Fzd隨著參數(shù)a的增大在正值部分先增大后減小，減小到負值之后呈先增大后減小的趨勢，最后趨于平穩(wěn)；Fzb單調(diào)遞增最后趨于平穩(wěn)。圖9中最大誤差為16.1%，最小誤差為0.9%，平均誤差為7.1%。

2.2.2 磁力Fz與參數(shù)b的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,c=5 mm,d=15 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖10。

由圖10可以看出：磁力Fz隨著參數(shù)b的增大而單調(diào)遞增，最后趨于平穩(wěn)。圖10中最大誤差為17.5%，最小誤差為0.25%，平均誤差為3.6%。

2.2.3 磁力Fz與參數(shù)c的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,b=d=15 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖11。

由圖11可以看出：磁力Fz隨著參數(shù)c的增大在負值部分逐漸減小，到達正值之后逐漸增大。圖11中最大誤差為14.8%，最小誤差為1.8%，平均誤差為6.8%。

2.2.4 磁力Fz與參數(shù)d的關(guān)系

取永磁體參數(shù)為：a=e=10 mm,b=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖12。

由圖12可以看出：磁力Fzb隨著參數(shù)d的增大先增大后減小，最后趨于穩(wěn)定；Fza、Fzc、Fzd逐漸增大。圖12中最大誤差為14.6%，最小誤差為4.0%，平均誤差為12.7%。

2.2.5 磁力Fz與參數(shù)e的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm,h=2 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖13。

由圖13可以看出：磁力Fza和Fzd隨著參數(shù)e的增大在負值部分先增大后減小，到達正值后逐漸增大；Fzb呈單調(diào)遞增趨勢；Fzc先增大后減小。圖13中最大誤差為14.7%,最小誤差為0.8%，平均誤差為9.2%。

2.2.6 磁力Fz與參數(shù)h的關(guān)系

取永磁體參數(shù)a=e=10 mm,b=d=15 mm,c=5 mm。將相關(guān)參數(shù)代入式(3)，解析模型計算結(jié)果及ANSYS仿真結(jié)果見圖14。

由圖14可以看出：磁力Fza和Fzd隨著參數(shù)h的增大先增大后減小，最后趨于平緩；Fzb和Fzc呈單調(diào)遞減趨勢。圖14中最大誤差為16.7%，最小誤差為0.1%，平均誤差為10.6%。

誤差分析：由于該模型存在個別奇異點(即在積分過程中分母為零的點)，因此，接近奇異點的參數(shù)計算誤差偏大；其次，ANSYS仿真所施加的邊界范圍及條件大小不同也影響了仿真計算的精度。但總體來看，平均誤差都在工程誤差允許的范圍內(nèi)。

3 結(jié) 語

本文建立了截面為矩形和直角三角形的兩永磁體磁力解析模型，分析了4種不同布置方式兩磁體間各個參數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)果表明：解析模型計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果吻合，平均誤差在工程誤差的允許范圍內(nèi)。該文填補了截面為矩形和直角三角形的永磁體磁力計算只有復(fù)雜的數(shù)值算法，而沒有便于工程設(shè)計計算的磁力解析模型的空白,為截面為梯形的兩永磁體間的磁力及由其構(gòu)成的Halbach 永磁導(dǎo)軌的磁力研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。

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(責任編輯 王衛(wèi)勛，王緒迪)

Magnetic force analytic model of rectangle and right triangle section PM

TIAN Lulin1， ZHANG Qing1， TIAN Yaqi2， JIA Rong1

(1.Faculty of Water Resources and Hydroelectric Engineering, Xi’an University of Technology,Xi’an 710048, China; 2.Chongqing Jiangbei High School, Chongqing 400714, China)

With an aim at the shortage of numerical method calculation permanent magnet(PM) magnetic force complicacy, large calculation workload, and inconvenience for the permanent magnet structure parameter optimization, and based on magnetic charge method and virtual displacement method,this paper obtains two slender PM magnetic force formula, and establishes a new magnetic force analytical model( MFAM) of a rectangular cross-section PM and an aright-angled triangle cross-section PM using a complicated quadruple integral. The relationship between PM magnetic force and PM structure parameters is analyzed. The correctness of the analytical model is validated by ANSYS simulation. The results shows that the MFAM and ANSYS simulation result inosculate,and that the adoptation of this analytical model in calculating magnetic force is relatively simple and calculation time can be greatly reduced with high calculation accuracy.

rectangle； right-angled triangle； permanent magnet； magnetic force analytical model； ANSYS simulation

1006-4710(2015)04-0414-08

2015-01-04

陜西省科學(xué)技術(shù)研究計劃資助項目(2010K733);國家自然科學(xué)基金資助項目(51279161；E090604)。

田錄林，男，博士，教授，研究方向為磁浮軸承動力學(xué)、機電故障檢測。E-mail:lulintianxs@126.com。

TM133.3

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