一類不穩(wěn)定系統(tǒng)的PID控制器整定

羅嘉， 張曦， 李東海， 胡軼超

(1.廣東電網公司電力科學研究院熱工所， 廣東 廣州 510080;2.清華大學 熱能系 電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100084)

一類不穩(wěn)定系統(tǒng)的PID控制器整定

羅嘉1， 張曦1， 李東海2， 胡軼超2

(1.廣東電網公司電力科學研究院熱工所， 廣東 廣州 510080;2.清華大學 熱能系 電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100084)

借助系統(tǒng)辨識的思想，改進了基于預期動態(tài)法的二自由度PID控制器(DDE-PID)的參數(shù)整定過程，并將其應用到不穩(wěn)定系統(tǒng)上。采用先PD穩(wěn)定對象，然后根據PD穩(wěn)定后的控制對象的開環(huán)階躍響應曲線即可得到所需參數(shù)，該方案具有參數(shù)整定過程簡潔、實用性強、不依賴于精確模型等優(yōu)點。針對改進前后的DDE-PID控制方案，選取4個典型的不穩(wěn)定對象，分別與設定值跟蹤實驗和蒙特卡洛實驗做了對比。仿真結果表明，本文所提方法對不穩(wěn)定對象簡單易用，在保證較好的控制性能的條件下，具有較好的魯棒性，同時該方法可以根據需要方便地進行參數(shù)調整，實用性強。

預期動態(tài)法； 系統(tǒng)辨識； 階躍響應； 不穩(wěn)定系統(tǒng)

半個多世紀以來，PID控制器參數(shù)整定方法得到了不斷的豐富和發(fā)展。然而，傳統(tǒng)PID控制器只能設定一套PID參數(shù)，即所謂一自由度PID控制。這種控制存在局限性：只能針對設定值跟蹤和擾動抑制兩種情況之一進行設計[1]。Horowitz I.M.將二自由度概念引入PID控制系統(tǒng)，二自由度PID算法是在一個傳統(tǒng)PID控制器的基礎上通過增加相應的補償環(huán)節(jié)，另外增加一些調整系數(shù)，使得該控制器的結構能夠按照外擾抑制特性最佳和目標值跟蹤特性最佳分別整定，從而使兩種特性同時達到最優(yōu)，控制品質得到改善。

至今二自由度PID控制器參數(shù)整定方法仍然是個開放問題，如何調整控制器參數(shù)令控制系統(tǒng)動態(tài)特性盡量接近預期動態(tài)特性尚有待解決。王維杰[2]等針對二自由度PID控制器，基于預期動態(tài)法(Desired Dynamic Equation)，提出了一種參數(shù)有著明確物理意義的整定方法——基于預期動態(tài)法的二自由度PID控制器(簡稱DDE-PID)。該方法的原理是將二自由度PID控制器表示成閉環(huán)系統(tǒng)預期動力學特性方程的函數(shù)。通過選取預期動力學特性方程系數(shù)和觀測器參數(shù)作為控制器參數(shù)，分析參數(shù)與性能之間的關系，來得到整定規(guī)則，同時也在包括分數(shù)階的各類對象上做了一些嘗試[3]。

開環(huán)不穩(wěn)定過程經常出現(xiàn)在各類工業(yè)系統(tǒng)中，并且很難獲得有效控制，這主要是受到它不穩(wěn)定的動態(tài)特性和右半平面極點的限制。由于右半平面極點的存在，使得控制對象在閉環(huán)的條件下很難達到穩(wěn)定的狀態(tài)。另一方面，很多系統(tǒng)中含有延遲環(huán)節(jié)，如流化床鍋爐的給煤通道[4]，又會大大提高控制難度。因此，不穩(wěn)定系統(tǒng)以及時滯系統(tǒng)的控制歷來是控制研究中的難點。本文針對既不穩(wěn)定又含有時滯的系統(tǒng)，設計一種有效的PID控制器。

對于不穩(wěn)定對象，典型的有以下四種。

1) 一階不穩(wěn)定延遲系統(tǒng)：

2) 二階不穩(wěn)定延遲系統(tǒng)：

3) 有積分環(huán)節(jié)的不穩(wěn)定延遲系統(tǒng)：

4) 有兩個不穩(wěn)定極點的二階不穩(wěn)定系統(tǒng)：

關于不穩(wěn)定對象控制的文獻大致可分為兩類，一是針對某一類不穩(wěn)定對象進行整定，如文[5-8]是針對不穩(wěn)定一階延遲系統(tǒng)的控制方法，文[9]是針對不穩(wěn)定二階系統(tǒng)，文[10]針對含有一個零點的一階不穩(wěn)定系統(tǒng)；二是選擇了不穩(wěn)定對象中的某幾類對象進行了討論，如文獻[11]、[14]。但是這些文獻對于每種類型的對象都是分別給出整定方法，也就要求對象的模型必須已知，而這在實際中往往難以獲得。另一方面，給出的整定公式也是復雜的，難以進行實際應用。

在方法上，多數(shù)文獻主要集中于采用內?？刂品椒ā５捎趦饶？刂破黜毎刂茖ο蟮哪Ｐ托畔?，而實際中往往難以獲得。同時，控制器設計往往是復雜的，難以符合現(xiàn)實的控制要求。另一方面，由于簡化過程引起的誤差，如純滯后的近似問題，也會影響控制效果。因此，不穩(wěn)定對象始終是過程控制中的一個難點。

張敏[15]將DDE-PID初步應用到不穩(wěn)定系統(tǒng)，證明了DDE-PID可以使不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定并獲得良好動態(tài)性能。但該方法的參數(shù)整定依靠反復手調，不利于推廣應用。

針對不穩(wěn)定系統(tǒng)參數(shù)整定過程復雜、依賴于系統(tǒng)模型等問題，本文借助系統(tǒng)辨識的思想[16]，改進了基于階躍響應的二自由度PID控制器的參數(shù)整定方法，采用PD控制器先穩(wěn)定對象，再將針對穩(wěn)定系統(tǒng)的DDE-PID整定方法推廣到不穩(wěn)定對象，使得控制器參數(shù)只需已知控制對象的開環(huán)階躍響應曲線即可得到，方法簡單，不依賴于對象模型，同時有著后續(xù)調整控制器參數(shù)的方法。并且通過仿真實驗與其它方案[15,17]對比驗證了所提方法的有效性。

1 二自由度PID控制器

考慮如下單變量系統(tǒng)：

(1)

其中N(s)與D(s)為互質多項式，τ為正有理數(shù)。

采用圖1中的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)：

其中，yr和y分別為系統(tǒng)設定值輸入和輸出信號，u為控制信號，b為前饋控制器，PID控制器：Gc(s)=Kp+Ki/s+Kds。控制信號u可表示為：

(2)

當b≠0時，式(2)即為2自由度PID控制器，當b=0時，式(2)即為傳統(tǒng)的PID控制器。

1.1 基于預期動態(tài)法的PID控制器 (DDE-PID)

Tornambe[18]引入狀態(tài)觀測器參數(shù)k和權重系數(shù)l，設計了一種非線性魯棒控制器(TC)。其所希望的預期動態(tài)特性為:

結合PID的結構是個二階形式，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：

(3)

根據TC控制器設計思想得到控制律u為:

(4)

由式(2)得：

(5)

類似地，對于二自由度PI，其控制律為：

(6)

其中Kp=(h0+k)/l,Ki=kh0/l,b=k/l。

根據經典控制理論對二階系統(tǒng)的分析并考慮實際動態(tài)性能與預期動態(tài)存在偏差，需要保證足夠的性能裕量，故?。?/p>

(7)

對PI控制器，取：

(8)

其中tsd為預期調節(jié)時間。二自由度PID控制器參數(shù)Kp、Ki、Kd的整定歸結為對參數(shù)tsd、k、l的整定。

雖然該方法有著參數(shù)物理意義明確、不依賴于系統(tǒng)的物理模型的特點，但是系統(tǒng)的初值選取以及之后如何調整參數(shù)來滿足預期特性依然存在問題，需要豐富的整定經驗來支持。

1.2 基于階躍響應的DDE-PID控制器

為了推導出DDE-PID控制器的各個參數(shù)和系統(tǒng)階躍響應之間的關系，設被控對象形式為：

(9)

因為延遲不可避免，所以設預期的動態(tài)響應為:

(10)

則有：

(11)

將(10)式代入可得：

(12)

利用一階帕德近似以及對應項系數(shù)相等可得DDE-PI參數(shù)：

(13)

如果有確定的預期目標，可按預期目標來設定，否則可以簡單地取為tsd=τ/100(對于τ很大的對象，如果對調節(jié)時間不滿意，可繼續(xù)減小tsd)。

同理可推廣至DDE-PID參數(shù)：

(14)

2 整定方法

2.1 穩(wěn)定系統(tǒng)整定

二自由度控制系統(tǒng)結構如圖1所示，通過大量的仿真實驗并結合控制器參數(shù)的物理意義，文獻[16]提出了穩(wěn)定系統(tǒng)DDE-PID參數(shù)整定過程如下。

1) 作階躍響應曲線(見圖2)。

3) 求取階躍響應變化率最快的點y(ta)(對于離散采樣得到的曲線，可采用差分法求得)。

4) 在y(ta)處做切線，并得到該切線與y=0和y=K的交點處的t值，即t0和tk。

即可分別得到DDE-PID的初始值，其中tstart是加入階躍的時刻。

2.2 不穩(wěn)定系統(tǒng)整定

對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，由于采用簡單的PID控制結構難以達到控制要求，因此本文基于系統(tǒng)辨識思想，在PID閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)中再引入了一個PD控制器，然后將針對穩(wěn)定系統(tǒng)基于階躍響應的DDE-PID整定方法推廣到不穩(wěn)定對象，并給出一種僅依賴于系統(tǒng)階躍響應的整定不穩(wěn)定對象的方法。

對于含不穩(wěn)定極點的過程，本文將其典型情況統(tǒng)一表示為：

(15)

控制框圖如圖3所示。在該控制結構中，首先采用PD控制器將系統(tǒng)穩(wěn)定下來，再通過穩(wěn)定系統(tǒng)的整定方法進行整定。

整定過程如下。

1) 確定一個不穩(wěn)定極點。對于如上形式的Gp(s)，其階躍響應可以表示為：

2)θ的確定。在階躍響應曲線上，y≠0的第一個點的t值即為θ。

3) 取θ+1和θ+1.1兩點的y值y1和y2，求解方程組(16)，即可得到K和b。

(16)

4) 根據辨識得到的模型選擇合適的kd/kp，并畫根軌跡圖，選取留有一定裕量的PD控制器。

5) 按照穩(wěn)定系統(tǒng)的整定方法進行參數(shù)整定。如果整定效果不理想，可嘗試改變kd/kp的值。

隨著非最大不穩(wěn)定極點逐漸增大時，其在PD控制器作用下的穩(wěn)定域在不斷減小，kd/kp的選擇值應逐漸減小。

3 仿真實驗

本文選取了4個典型不穩(wěn)定對象的例子進行了仿真，這4個具有延遲特點的不穩(wěn)定對象包括一階不穩(wěn)定延遲對象、二階不穩(wěn)定延遲對象、含有積分環(huán)節(jié)的不穩(wěn)定延遲系統(tǒng)和二階不穩(wěn)定系統(tǒng)含有零極點特性的典型類型的不穩(wěn)定對象如下：

3.1 設定值跟蹤實驗

由于絕大多數(shù)熱工對象都具有延遲特性，所以本文主要研究具有延遲特性的不穩(wěn)定系統(tǒng)。在實際熱工生產過程中，不穩(wěn)定系統(tǒng)的模型信息并不是精確已知的，所以基于系統(tǒng)辨識的方法對不穩(wěn)定系統(tǒng)進行辨識。表1給出了不穩(wěn)定對象的辨識結果、PD參數(shù)以及根軌跡。

由以上分析可以看出，借助系統(tǒng)辨識的方法對非穩(wěn)定系統(tǒng)進行辨識處理以后，由根軌跡分析方法確定PD控制器參數(shù)，當系統(tǒng)具有積分環(huán)節(jié)或不穩(wěn)定極點較多的時候，kd/kp的比值宜取大一些，以保證其具有較大的穩(wěn)定域。

當確定了不穩(wěn)定系統(tǒng)的PD控制器參數(shù)以后，基于開環(huán)階躍響應，對4個典型的不穩(wěn)定系統(tǒng)的二自由度PID控制器參數(shù)進行整定，圖5給出了經過PD控制器穩(wěn)定后的對象的開環(huán)階躍響應，表2給出了DDE-PID控制器參數(shù)表。

Rames C[17]采用一般PID控制結構，提出了一種改進的IMC-PID控制方法，并應用到不穩(wěn)定對象上。將本文所設計的DDE-PID控制效果與文[17]和文[15]基于預期動態(tài)法的二自由度PID控制器作了對比，其設定值跟蹤響應曲線如圖6所示。

Rames C在不穩(wěn)定對象上實現(xiàn)了將IMC控制化為PID控制，但其仿真結果與二自由度PID相比，無論是調節(jié)時間還是超調量，效果都很差，甚至會出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。對比兩種DDE-PID方案，從典型的不穩(wěn)定對象的控制效果來看，本文所提控制方案可以獲得比文[15]更優(yōu)越的動態(tài)響應過程，其調節(jié)時間更短，響應更快。從參數(shù)調整過程來看，本文參數(shù)整定過程不存在系統(tǒng)的初值選取以及之后如何調整參數(shù)來滿足預期特性的問題，參數(shù)整定過程快速簡捷。

3.2 蒙特卡洛實驗

蒙特卡洛方法是一種以概率統(tǒng)計為理論基礎、以隨機抽樣為主要手段，使用隨機數(shù)來解決特定計算問題的方法。實際工業(yè)對象往往都具有時變性，這也對控制器的魯棒性能提出了較高的要求。為了更好地說明本文所提方案的優(yōu)越性能，筆者采用蒙特卡洛實驗來驗證其魯棒性能，并與另外兩個方案進行對比。

假設對象模型的所有參數(shù)都在其標稱模型參數(shù)上下隨機攝動10%，加入正向單位階躍設定值，進行400次蒙特卡洛隨機實驗。統(tǒng)計該實驗過程中攝動系統(tǒng)的調節(jié)時間ts和超調量σ(%)，并繪制其散點分布圖。本文以一階不穩(wěn)定延遲對象G1(s)為例，其蒙特卡洛實驗散點圖如圖7所示。

從圖7可以很明顯地看出，本文所提方案魯棒性能更好。

綜合上文設定值跟蹤實驗和蒙特卡洛實驗分析，本文給出的DDE-PID整定方法，僅需已知對象的階躍響應曲線即可得出控制器參數(shù)，并能獲得與文[15]相當甚至更好的控制效果，尤其是針對不穩(wěn)定對象，其優(yōu)越的魯棒性能也得到了驗證。同時本文所提方法的另外一個明顯優(yōu)勢即方法簡單，整定過程更快捷簡便，此外，參數(shù)可以根據需要進行調整，因而在很大程度上也方便了實際應用。

4 結 論

本文借助系統(tǒng)辨識的思想，針對不穩(wěn)定系統(tǒng)，在改進后基于階躍響應的二自由度PID控制器參數(shù)整定過程中，先采用PD控制器使得不穩(wěn)定對象穩(wěn)定，再根據PD穩(wěn)定后的對象的開環(huán)階躍響應曲線得到所需參數(shù)，同時給出了系統(tǒng)的后續(xù)調整方法。針對本文所提的針對不穩(wěn)定對象的DDE-PID參數(shù)整定方法，分別對設定值跟蹤實驗和魯棒性實驗做了對比分析。仿真結果表明，本文所提方案對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制效果遠遠優(yōu)于一般PID控制，與基于預期動態(tài)法的二自由度PID控制器相比，調節(jié)時間小，魯棒性能優(yōu)，而且其過程不依賴于對象的模型，參數(shù)整定過程簡便，實用性好，同時可以根據需要方便地進行參數(shù)調整，適用范圍廣泛，證明了所提方案的有效性和實用性。

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(責任編輯 王衛(wèi)勛)

Tuning of PID controller for unstable plant systems

LUO Jia1, ZHANG Xi1, LI Donghai2, HU Yichao2

(1.Thermal Institute of GPGC Electric Power Research Institute, Guangzhou 510080, China;2.State Key Lab of Power Systems, Dept of Thermal Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

According to the idea of system identification, two degree of freedom PID based on desired dynamic equation (DDE-PID) has been improved. In this paper, DDE-PID has been applied in unstable plant systems. This method adopts a PD controller first, and then, the required parameters can be obtained in accordance with the open-ring step response curves after PD stable control object， and it has advantages in simple tuning, better practicability and does not rely on the accurate model of plant. With an aim at the improved DDE-PID control scheme, the 4 typical unstable objects are selected to carry out the contrast of the set value tracking experiment with Monte-Carlo experiment. The simulation results indicate that the method suggested in this paper is simple and easy to be used in the unstable objects, and has had the better robustness in the case of guaranteeing better controlling performances, meanwhile this method can regulate the parameters based on the requirements conveniently and with better practicity.

desired dynamic equation; system identification; step response; unstable system

1006-4710(2015)04-0475-07

2014-06-06

國家自然科學基金資助項目(51176086)；廣東電網公司電力科學研究院與清華大學產學研合作項目。

羅嘉，男，博士，高級工程師，研究方向為火電廠熱工過程控制。E-mail：jialuo@126.com。

李東海，男，副教授，博導，研究方向為熱工及過程控制。E-mail: lidonghai.thu@gmail.com。

TP273

A