非自治時(shí)滯三種群食物鏈系統(tǒng)正周期解的存在性

趙 巍，謝叢波

(1.大連民族學(xué)院 理學(xué)院，遼寧 大連116605;2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室工程力學(xué)系，遼寧 大連116024;3.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024)

種群生態(tài)學(xué)家對(duì)捕食者-食餌模型已經(jīng)做了大量的研究。本文考慮具有改進(jìn)DeAngelis -Bazykin 功能反應(yīng)的非自治三種群食物鏈系統(tǒng)滿足初值條件:

xi(t)=φi(t)≥0，t∈［-τ，0］，φi(0)＞0(i=1，2，3)，

式中，xi(t)(i=1，2，3)為時(shí)刻t 時(shí)i 種群的密度，b1(t)為植物再生的自限制項(xiàng)，ai(t)(i=1，2，3)為無食餌時(shí)捕食種群的每頭增長(zhǎng)率(或死亡率)，cj(t)(j=1，2)分別為食草和食肉動(dòng)物的最大捕食率，αj(t)(j=1，2)分別為食草和食肉動(dòng)物的半飽和常數(shù)，βj(t)(j=1，2)為捕食者種間競(jìng)爭(zhēng)影響參數(shù)，fj(t)(j=1，2)為能量轉(zhuǎn)化參數(shù)，c3(t)為食肉動(dòng)物的內(nèi)稟增長(zhǎng)率和最大環(huán)境容納量的比值;并且b1(t)，ai(t)，ci(t)，fj(t)，αj(t)，βj(t)(i=1，2，3;j=1，2)均為連續(xù)、正有界的ω 周期函數(shù)，τj(t)(j=1，2)為連續(xù)非負(fù)的ω 周期函數(shù)。

其改進(jìn)體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:

(1)大多數(shù)經(jīng)典模型，例如Oksanen 模型，植物V 的自身限制項(xiàng)是邏輯斯蒂增長(zhǎng)的，結(jié)果導(dǎo)致模型的穩(wěn)定性很容易破壞。因此，當(dāng)只有植物量的一部分提供給食草動(dòng)物時(shí)，假設(shè)生產(chǎn)者植物的增長(zhǎng)服從再生增長(zhǎng)模型，則更適合且簡(jiǎn)單。

(2)在現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)不同的捕食者相遇時(shí)，它們可能會(huì)因?yàn)闋?zhēng)奪食餌而引起競(jìng)爭(zhēng)。而且，功能性反應(yīng)函數(shù)傳遞的能量也應(yīng)隨著環(huán)境的改變而改變，即，捕食者之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。

作者之前已經(jīng)討論了具體的建模以及該三種群食物鏈自治系統(tǒng)的漸近行為［1］。然而，在許多生物和生態(tài)動(dòng)力系統(tǒng)中環(huán)境的變化起著重要的作用。例如好的環(huán)境條件促進(jìn)繁殖導(dǎo)致種群增長(zhǎng)，反之，導(dǎo)致種群出生率降低，死亡率提高。而大多數(shù)自然種群的環(huán)境隨著時(shí)間的改變而改變，故系統(tǒng)必引入時(shí)間依賴參數(shù)，這樣模型必為非自治。目前許多人已經(jīng)研究了非自治微分方程的種群模型，特別是具有周期系數(shù)的模型［2-9］。

本文主要討論上述非自治時(shí)滯系統(tǒng)的正周期解存在性的充分條件。運(yùn)用的方法是基于重合度理論及其延拓定理，這個(gè)方法是由Gaines 和Mawhin［10］引入。

1 正周期解的存在性

定理2 若系統(tǒng)(1)滿足條件:

證明 作變換xi(t)=eui(t)，則系統(tǒng)(1)化為

其中fi(t，u):=(t)。顯然，系統(tǒng)(1)有周期解((t)，(t)，(t))T等價(jià)于系統(tǒng)(2)有周期解(eu*1(t)，eu*2(t)，(t))T。下面只證系統(tǒng)(2)的周期解的存在性。

首先定義

利用Lebesgue 控制收斂定理，得QN 和KP(I-Q)N 是連續(xù)的，再利用Arzela -Ascoli 定理，得QN(ˉ)，KP(I-Q)N()對(duì)X 的任意一個(gè)開有界子集Ω 都是緊的。因此，N 在ˉ上是L-緊的。

對(duì)應(yīng)于算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

設(shè)u(t)=(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈X 是系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)于某個(gè)λ∈(0，1)的解，因(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈C(R，R3)，所以存在ξi，ηi∈［0，ω］，使得

由方程(5)可得

由方程(8)得

于是u1(ξ1)≥lnB1，u1(η1)≤lnL1，從而有

因?yàn)楫?dāng)τ1=0 時(shí)，不等式也應(yīng)成立，故得

由方程(9)得

因?yàn)楫?dāng)τ1=0 時(shí)，不等式也應(yīng)成立，故得

于是u2(ξ2)≥lnB2，u2(η2)≤lnL2，從而有

由方程(7)得

由方程(10)得

于是有u3(ξ3)≥lnB3，u3(η3)≤lnL3，從而有。

顯然Hi(i=1，2，3)的選取與λ 的選取無關(guān)。

對(duì)于R3中的常值向量u，利用積分中值定理，存在ti∈［0，ω］(i=1，2，3，4)使得

式中，

令H=H1+H2+H3+H4，其中H4＞0 充分大，使得系統(tǒng)QNu=0 的每一個(gè)正解(，，)T∈(假如存在的話)，滿足(，，)T=+＜H4。令

則Ω 滿足延拓定理［10］中的第一個(gè)條件。當(dāng)u∈?Ω∩KerL=?Ω∩R3時(shí)，u 是R3中的常值向量且u=H，于是QNu≠0。令構(gòu)造同倫映射

常值向量u∈?Ω∩R3且u=H，當(dāng)u∈?Ω∩R3時(shí)，必有G(u，μ)=0。由拓?fù)涠鹊男再|(zhì)，并取

則有

即Ω 滿足延拓定理中的第二個(gè)條件。由延拓定理，方程Lx=Nx 在DomL∩中至少有一個(gè)解，即系統(tǒng)(2)在Ω 中至少存在一個(gè)ω 周期解((t)，(t)，(t))T。令(t)=(t)，則((t)，(t)，(t))T為系統(tǒng)(1)一個(gè)正的ω 周期解。

定理證畢。

2 結(jié) 論

本文研究一類非自治三種群食物鏈捕食者-食餌模型。基于重合度理論及其延拓定理，最終得到該非自治時(shí)滯系統(tǒng)正周期解存在的充分條件。結(jié)果表明:當(dāng)食草動(dòng)物種群對(duì)植物的轉(zhuǎn)化率足夠大且死亡率和種間及外界的消耗率足夠小到滿足定理2 的條件(a)，食肉動(dòng)物種群的死亡率足夠小且食肉動(dòng)物種群對(duì)食物的轉(zhuǎn)化率足夠大到滿足定理2 的條件(b)，食肉動(dòng)物種群對(duì)食物的轉(zhuǎn)化率足夠大且食草動(dòng)物種群死亡率和種間及外界的消耗率足夠小到滿足定理2 的條件(c)時(shí)，系統(tǒng)存在周期正解，即食物鏈呈周期變化。

［1］趙巍，謝叢波，許軍妮.一類三種群食物鏈系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［J］. 大連民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2009(5):438 -441.

［2］范猛，王克.一類具有Holling II 型捕食者-食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性［J］. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2001，21(A):492 -497.

［3］SHEN C X. Positive periodic solution of a kind of nonlinear food-chain system［J］. Appl. Math. and Computation，2007，194:234 -242.

［4］TURCHIN P. Complex Population Dynamics:A Theoretical/Empirial Synthesis ［M］. Princeton，New Jersey :Princeton university press，2003.

［5］WANG Z. Existence of positive periodic solution of n -dimensional Lotka – Volterra system with delays ［J］.Appl. Math. ＆ Computation，2011，218:1934 -1940.

［6］CHEN Y. Periodic solutions of a delayed，periodic logistic equation［J］. Appl. Math. Lett，2003，16:1047 -1051.

［7］CHEN W，LIU B. Positive almost periodic solution for a class of Nicholson’s blowflies model with multiple time-varying delays［J］. J. Comput. Appl. Math，2011，235:2090 -2097.

［8］DING X，LU C. Existence of positive periodic solution for ratio-dependent N-species difference system［J］. Appl. Math. Modelling，2009，33:2748 -2756.

［9］LI Y，ZHANG T，YE Y. On the existence and stability of a unique almost periodic sequence solution in discrete predator - prey models with time delays［J］. Appl.Math. Modelling，2011，35:5448 -5459.

［10］GAINES R E，MAWHIN J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］. Berlin:Springer -Verlag，1977.