兩不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)分布混沌系統(tǒng)

王立冬，歐小平，王一伊

(1.大連民族學(xué)院 理學(xué)院，遼寧 大連116605;2.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750000)

在著名的文獻(xiàn)［1］中，Li 和Yorke 首次在數(shù)學(xué)領(lǐng)域引入了“混沌”的概念，此后混沌在動(dòng)力系統(tǒng)研究中占據(jù)了重要的地位，現(xiàn)在已經(jīng)有很多種混沌的定義，比如Devaney 混沌、分布混沌、ω -混沌等。其中由文獻(xiàn)［2］引入的分布混沌，是一種和Li-Yorke 混沌相似但是更為復(fù)雜的混沌，這兩種混沌都是通過(guò)某種混沌集定義的，所以對(duì)于這些混沌集的大小和性質(zhì)的研究一直是混沌研究中一個(gè)很重要的部分。在文獻(xiàn)［3］和［4］中，作者研究了傳遞分布混沌集、極值分布混沌集、不變分布混沌集，結(jié)果分別給出了一些具有特殊性質(zhì)的分布混沌集。

符號(hào)空間和移位映射構(gòu)成的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)在混沌動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域占有極其重要的地位，這是因?yàn)樗鳛橐粋€(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，卻包含著幾乎所有典型的復(fù)雜動(dòng)力性態(tài)，并且能通過(guò)拓?fù)涔曹椈蛲負(fù)浒牍曹椡茝V到一般空間而動(dòng)力性質(zhì)保持不變。本文也是在符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)中進(jìn)行討論，在混沌研究時(shí)考慮到，怎樣才能比較簡(jiǎn)單地構(gòu)造一個(gè)分布混沌系統(tǒng);能否夠通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造出一個(gè)分布混沌系統(tǒng)，如果可以，那么這個(gè)系統(tǒng)有什么性質(zhì)和特點(diǎn)，其不可數(shù)分布混沌集又是怎樣的呢?

本文針對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了研究，并通過(guò)兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造了一個(gè)極值分布混沌的動(dòng)力系統(tǒng)，這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)只包含兩個(gè)極小集，即由兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別構(gòu)成的兩個(gè)極小集，并且存在不可數(shù)的且只包含其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的分布混沌集。

1 定義

總設(shè)X 是一個(gè)具有度量d 的度量空間，f:X→X 是一個(gè)連續(xù)映射。

和通常一樣，用ωf(x)來(lái)表示x(關(guān)于f)的ω-極限集。如果非空子集M?X 滿足f(M)?M，則稱M 是(關(guān)于f 的)不變集。

定義1 子集S?X 為一個(gè)分布混沌集，如果S 至少包含兩個(gè)點(diǎn)，并且任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x，y∈S 都滿足:

(b)存在ε ＞0 使得φxy(ε)=#{i;0≤i≤m-1，d(fi(x)，fi(y))＜ε}=0，這里的#C 表示集合C 的基數(shù)，具有上述性質(zhì)的點(diǎn)對(duì){x，y}稱為分布混沌點(diǎn)對(duì)。稱f 是分布混沌的，如果它具有不可數(shù)的分布混沌集。

在上面定義中，如果f(S)?S，稱S 是一個(gè)不變分布混沌集;如果對(duì)任意兩個(gè)不同的x，y∈S，都有φxy(b)=0，這里b=Diam(X)(X 的直徑)，稱S是一個(gè)極值分布混沌集;如果S 在X 中稠密且任意點(diǎn)x∈S 的軌道都在X 中稠密，稱S 是一個(gè)傳遞分布混沌集。

定義2 如果f(x)=x，則稱x 為f 的不動(dòng)點(diǎn)。

定義3 設(shè)(∑k，σ)為符號(hào)系統(tǒng)，稱D?∑K為σ 的準(zhǔn)混雜集，如果對(duì)任何不同點(diǎn)x=x0x1…，y=y0y1…∈D，存在無(wú)窮多n 使得xn=yn，且存在無(wú)限多個(gè)m 滿足xm≠ym。

2 構(gòu)造分布混沌動(dòng)力系統(tǒng)

用∑表示由0 和1 這兩個(gè)符號(hào)構(gòu)成的單邊符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)，∑中的度量d 定義如下:

對(duì)x=x0x1…，y=y0y1…∈∑，如果 x=y如果 x≠y 則m=min{i;xi≠yi}。易見(jiàn)Diam(∑)=1，移位映射σ 定義為σ(x)=x1x2…，x=x0x1…∈∑。眾所周知，σ 連續(xù)且(∑，σ)是一個(gè)緊致系統(tǒng)。

假設(shè)x=x0x1…∈∑，對(duì)0≤i≤j，用x［i，j］來(lái)表示x 的第i+1 個(gè)符號(hào)到第j +1 個(gè)符號(hào)的這一段有限序列，亦即x［i，j］=xixi+1…xj。如果C 是一個(gè)有限序列，用來(lái)表示它的符號(hào)個(gè)數(shù)。設(shè)C，D 是兩個(gè)符號(hào)序列，如果存在0≤i≤j，使得D［i，j］=C，那么稱C 出現(xiàn)在D 中，記作C?D。

下面構(gòu)造這個(gè)極值分布混沌系統(tǒng)。

給定兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)e=000…，v=111…∈∑2，令A(yù)n為符號(hào){J0J1…Jn-1;Ji∈{e2i2，v2i2}，0≤i ＜n}中所有成員的一個(gè)有限排列，其中ei=e［0，i -1］，vi=v［0，i-1］，令a=A1A2…，M=ω(a，σ)?∑2，則有σM:M→M 為一子移位。

選取不可數(shù)準(zhǔn)混雜集E(存在不可數(shù)準(zhǔn)混雜集在文獻(xiàn)［5］已有證明)，定義映射φ:E→∑，使得對(duì)?x=x0x1…∈E，φ(x)=J0J1…，其中Ji=對(duì)i=0，1…。

設(shè)D=φ(E)，由于對(duì)每個(gè)固定的i，不論Jj(0≤j≤i)怎樣選取總有J0…Ji?Ai+1?a，因此存在k≥0，使得σk(a)的前mi個(gè)符號(hào)為J0…Ji(J0…Ji=mi)，這表明對(duì)每個(gè)x∈E，φ(x)∈ω(a，σ)=M，因此D?M，由于E 不可數(shù)且φ 為單射，所以D 也是不可數(shù)集;另一方面，兩不動(dòng)點(diǎn)e，v不可能同時(shí)包含在一個(gè)不可數(shù)準(zhǔn)混雜集中，否則將不是準(zhǔn)混雜集;若e∈E，則e∈D 中，若v∈E中，則v∈D。

令b=B0B1…，c=C0C1…，為D 中不同點(diǎn)，其中Bi∈{v2i2，e2i2}，Ci∈{v2i2，e2i2}，據(jù)φ 的定義可知，存在正整數(shù)序列pi→∞，qi→∞，使得對(duì)每個(gè)i，Bpi=Cpi，Bqi≠Cqi，令δbc(j)=d(σj(b)，σj(c))，j=1，2…，因?yàn)閷?duì)固定的pi＞0，當(dāng)mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1，σj(b)與σj(c)前mpi-1個(gè)符號(hào)必定相同，因此對(duì)這樣的j，δbc(j)＜，于是對(duì)任意給定的t，只要pi足夠大，就有δbc(j)＜t，進(jìn)而(t)=δbc(j)＜t，0≤j ＜mpi-mpi-1}≥δbc(j)＜ t，mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1}=≥1 -→1，所以有(t)=1。

另外，對(duì)固定的qi＞0，當(dāng)mqi-1≤j ＜mqi時(shí)，σj(b)與σj(c)第一個(gè)符號(hào)必不相同，因此對(duì)這樣的j，都有δbc(j)=1，于是對(duì)ε=1 有

φxy(1)={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi}={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi-1}≤→0，所以φxy(1)=0。這表明b，c 為σM的分布混沌點(diǎn)對(duì)，由b，c 的任意性，可得D 為不可數(shù)分布混沌集，且σM是極值分布混沌的。

證明 (σ，M)是一個(gè)只包含兩個(gè)極小集的動(dòng)力系統(tǒng)，沒(méi)有其他的的極小集。

顯然，在動(dòng)力系統(tǒng)(σ，M)中兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)e，v就是兩個(gè)極小集。

假設(shè)Q 是另外一個(gè)極小集，那么ρ=min{d(Q，e)，d(Q，v))＞0，存在正整數(shù)n0使得＜。由σ 的連續(xù)性，對(duì)任意的正整數(shù)N，存在δ ＞0，當(dāng)d(x，Q)＜δ 時(shí)，就有對(duì)任意的i，0≤i≤N，d(σi(x)，Q)＜;另一方面，Q?M=ω(a，σ)，因此對(duì)任意的δ ＞0，存在m≥0 使得d(σm(a)，Q)＜δ，所以對(duì)任意的正整數(shù)N，存在m≥0 使得對(duì)任意的i，0≤i≤N，d(σm+i(a)，Q)＜，那么min{d(σm+i(a)，e)，d(σm+i(a)，v))＞。這就意味著對(duì)任意的正整數(shù)N，存在m≥0 使得對(duì)任意的i，0≤i≤N，序列a［m +i，m +i +n0-1］不包含在任意en或vn(n≥n0)中，如果a［m+i，m+i+n0-1］被包含在某個(gè)en中，那么會(huì)得到d(σm+i(a)，e)≤;類似的對(duì)vn也一樣。

此外，存在正整數(shù)j 使得2j2＞n0，當(dāng)N=2sms，由a 的構(gòu)造形式可知，對(duì)任意的m≥0，必定存在i，0≤i≤N，使得a［m+i，m+i+n0-1］是包含在e2j2或v2j2中的，從而得出矛盾，故假設(shè)不成立，所以動(dòng)力系統(tǒng)(σ，M)值只包含兩個(gè)極小集。

［1］LI T Y，YORKE J A. Period three implies chaos［J］.Amer. Math. Monthly，1975，82:985 -992.

［2］SCHWEITZER B，SMITAL J. Measures of chaos and spectral decomposition of dynamical systems of the interval［J］. Trans. Amer. Math. Soc，1994，344:737 -754.

［3］OPROCHA P. Distributional chaos revisited［J］. Transactions of the American Mathematical Society，2009，361:4901 -4925.

［4］OPROCHA P.Invariant scrambled sets and distributional chaos［J］. Dynamical Systems，2009，24:31 -43.

［5］廖公夫，王立冬，范欽杰. 映射迭代與混沌動(dòng)力系統(tǒng)［M］. 北京:科學(xué)出版社，2013.