基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下的貝葉斯公式教學(xué)

劉國祥，楊永霞，張曉麗，劉　冬，由向平，李玉毛（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

?

基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下的貝葉斯公式教學(xué)

劉國祥，楊永霞，張曉麗，劉冬，由向平，李玉毛
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：貝葉斯公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的一個重要公式，同時也是教學(xué)中的一個難點(diǎn).根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談了對這一教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)和一些體會，探討改革教學(xué)模式，滲透數(shù)學(xué)文化等措施.

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；貝葉斯公式；教學(xué)設(shè)計(jì)；人才培養(yǎng)；應(yīng)用能力

基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式的教學(xué)改革，文[1]討論了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程改革探索與實(shí)踐，文[2]討論了課程教學(xué)方法的改革.現(xiàn)在針對“貝葉斯公式”一堂課，討論課堂教學(xué).

貝葉斯公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的最重要公式之一，也是在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛的公式.它既涉及到全概率公式，又涉及到條件概率，是概率論課程教學(xué)中的一個重點(diǎn)，同時也是教學(xué)的一個難點(diǎn).教學(xué)中常常出現(xiàn)以下問題：一是公式復(fù)雜，難于理解與記憶；二是應(yīng)用困難，易與全概率公式混淆；三是對公式的作用認(rèn)識模糊，不利于解決實(shí)際問題.針對上述弊端，基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式，我們對于貝葉斯公式的講解給出新的嘗試，并在教學(xué)中取得了良好的效果.

1　關(guān)于課題的引入

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，幾乎每一節(jié)課，都需要有導(dǎo)言或者引例，有的學(xué)校定有制度，也幾乎被人接受.至于高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)，是否需要導(dǎo)言、引例等，不同的人有不同的認(rèn)識.有人喜歡用，有人幾乎不用.我們認(rèn)為，要根據(jù)課程的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡x用簡單明了的引例.寧缺毋濫，以防沖淡主要教學(xué)內(nèi)容.當(dāng)然，簡單通俗的導(dǎo)言，應(yīng)該盡量有，但是要精心設(shè)計(jì).總結(jié)多年的教學(xué)，對于“貝葉斯公式”的教學(xué)，有效果比較好的兩種方式.

1.1復(fù)習(xí)三個重要公式，啟發(fā)導(dǎo)出貝葉斯公式

學(xué)生在前面的課堂學(xué)習(xí)中，已經(jīng)對條件概率、乘法公式和全概率公式有了一定的了解和認(rèn)識，本次課前先對這三個公式進(jìn)行復(fù)習(xí)，板書，以備后用.

我們知道，全概率公式，簡單的說是“已知原因求結(jié)果”.那么，在實(shí)際當(dāng)中會不會遇到“已知結(jié)果求原因”的情況呢？啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考該如何表述，如何解決.

也就是，“事件B發(fā)生了”——結(jié)果，那么它是由于“事件Ai發(fā)生導(dǎo)致的的概率有多大”——究其原因.那么，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示就是：P(Ai|B),如何計(jì)算呢？這是條件概率，其中分子P(AiB)用到乘法公式，分母P(B)中用到全概率.寫出來就是：

這就是貝葉斯公式，也叫逆概率公式.推導(dǎo)過程，就是基本的證明.簡單明了，重點(diǎn)突出.

1.2通過簡單易懂的實(shí)例，引入貝葉斯公式

引例一定要簡單明了，最好來自于生活，學(xué)生易懂.切忌敘述過于復(fù)雜，有圖有表有視頻，分散了學(xué)生的注意力.

引例某學(xué)院新生有三班級，其中一班男生20人，女生30人；二班男生30人，女生20人；三班男生25人，女生25人.任意選擇一個班級，再從中任意選一名學(xué)生做學(xué)生會主席，結(jié)果他是男生，問他是一班的概率是多少.

學(xué)生對這個背景非常熟悉，不需要常識介紹，馬上就可以轉(zhuǎn)入對問題的思考.

分析用Ai表示事件“學(xué)生會主席是i班的”，其中i=1, 2,3.

用Bi表示事件“學(xué)生會主席是男生”.

事件A1,A2,A3是完備事件組，相互獨(dú)立.

問題“任意選擇一個班級，再從中任意選一名學(xué)生做學(xué)生會主席，結(jié)果他是男生，他是一班的概率”，就是求概率P(A1|B).根據(jù)條件概率、乘法公式和全概率公式，計(jì)算：

比較兩種引入方法，我們更欣賞第一種.認(rèn)真看看，第二種只是在第一種的基礎(chǔ)上加了一個實(shí)際背景，計(jì)算、推導(dǎo)都一樣，反而增加了對兩個條件概率P(Ai|B)和P(B|Ai)理解.我們強(qiáng)調(diào)重視應(yīng)用意識培養(yǎng)，但是比一定必須要“實(shí)際——理論——應(yīng)用”的統(tǒng)一模式.向第一種那樣“舊理論——新理論——（新）應(yīng)用”也未嘗不可.

2　貝葉斯公式及其證明

有了前面的導(dǎo)入，下面很容易寫出完整的貝葉斯公式.這里要注意，公式一定要完整嚴(yán)謹(jǐn)，前邊引出公式不完整、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑欢ㄒ敿?xì)說明，例如：A1,A2,A3,…,An是完備事件組（樣本空間的一個劃分）.

定理（貝葉斯公式）如果試驗(yàn)E的樣本空間為S，事件A1,A2,A3,…,An是完備事件組，B是E的事件，并且P(B)>0,P (Ai)>0,(i=1,2,3,…,n)，則有

這一節(jié)課最簡單的一點(diǎn)就是貝葉斯公式的證明，根據(jù)條件概率、乘法公式和全概率公式，可以直接寫出.其實(shí)（4）就是比較完整的證明.

難點(diǎn)在于公式中對兩個條件概率P(Ai|B)和P(B|Ai)=理解在“誰”的條件下，求“誰”的概率？在這里事件B“是結(jié)果”，它發(fā)生了，它是由于Ai發(fā)生“造成的”.根據(jù)全概率公式，B的發(fā)生由各個Ai發(fā)生都可能“造成”.每一個Ai發(fā)生而“造成”的可能性多大？這就是P(Ai|B).

3　通過典型例題，加深理解，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生活中，貝葉斯公式有非常廣泛的應(yīng)用，如在疾病診斷、質(zhì)量控制、安全監(jiān)控等方面都發(fā)揮了重要的作用.在教學(xué)實(shí)踐中，我們怎樣科學(xué)合理地設(shè)置應(yīng)用案例，將知識性與趣味性相互結(jié)合，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

第一個例題應(yīng)該比較簡單，可以說是公式的直接套用，讓學(xué)生學(xué)會使用這個公式.如果引例不是前邊的例子，這里可以作為例題1.否則可以選用一般教材上的“三個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，合格率”問題，第一問應(yīng)用全概率公式，第二問應(yīng)用貝葉斯公式.難度不大，容易理解.

第二例可以以不容易理解，甚至可能造成理解錯誤疾病診斷為例.這個例題在多本教材上出現(xiàn)，但是講解都不深刻.武漢大學(xué)教材用了很長篇幅，但是沒有說到重點(diǎn)上.

例題根據(jù)以往的臨床記錄，某一地區(qū)患有某種癌癥的發(fā)病率為0.005.患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.02.現(xiàn)抽查了一個人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是此病患者的概率有多大？

題目難度不大，設(shè)A={抽查者患有癌癥}，B={抽查者實(shí)驗(yàn)反應(yīng)呈陽性}.那么={抽查者不患有癌癥}.

對于這個結(jié)果怎樣理解？P(B|A)=0.95說明95%的患者都能夠檢查出來（漏診未查出來只有5%）；P(B)=0.02說明只有2%的誤診（或者說沒有病，認(rèn)為有?。?這表明檢查水平比較高，但是，P(A|B)=0.1927，也就是，其正確性不足20%？

如果將這個實(shí)驗(yàn)用于普查，就是化驗(yàn)呈陽性的人真正患有這種癌癥的不足20%.“其正確性不足11%”[5]的結(jié)論是不對的.教學(xué)中，對這個結(jié)果引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析，“某一地區(qū)患有某種癌癥的發(fā)病率為0.005”，就是說這里平均1000人中有5人患這種病.而“P(A|B)=0.1927”說的是，檢查呈陽性的人群中，10000人中大約有1927人患有這種癌癥.二者比較0.1927÷0.005=38.54.這說明的是，“檢查呈陽性的人群患有這種癌癥”是“普通人群患有這種癌癥”的38.54 倍.借用“非典”的說法，“疑似”人群是普通人群的21.32倍.這種檢查是有意義的.

再進(jìn)一步思考，檢查呈陽性了，“疑似”了，怎么辦？復(fù)查唄.對“疑似”人群進(jìn)行復(fù)查.注意，這時候P(A)=0.1927，那么P()=1- 0.1927=0.8078.P(B|A)=0.95,

這就是說，對于“疑似”的人，復(fù)查檢查仍然呈陽性，那么，他患有這種癌癥的概率就從19.27%提高到91.89%，是“疑似”的0.9189÷0.1927=4.77倍，是普通人群的0.9189÷ 0.005=183.78倍，基本可以“確診”.

當(dāng)然，在醫(yī)療過程中醫(yī)師根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，只有懷疑有這種癌癥的人才做這種檢查，也就是先篩查，發(fā)病率也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是0.005.

4　融入數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識

高等教育教學(xué)中，不但讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)，最重要的是要會用數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)來分析問題、解決問題，也就是應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論知識去建立數(shù)學(xué)模型的能力.將數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)類主干課程中已經(jīng)成為教師的共識，但是什么時候融入，什么課程適合融入，怎么樣融入，是我們一直在探索的課題.我們認(rèn)為，貝葉斯公式就是非常適合的一個內(nèi)容.

案例1：“拼寫糾正”問題：在文字輸入時，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)用戶輸入了一個在字典中不存在的單詞時，我們就需要去猜測，他到底真正想輸入的單詞是什么呢？用概率論中我們形式化的語言來敘述就是，我們需要求：P(他真正想輸入的單詞|他實(shí)際輸入的單詞)這個概率，并且找出那幾個使得這個概率最大的猜測單詞，甚至于對他們排序.比如用戶輸入：thew，那么他到底是想輸入the，還是想輸入thaw？到底哪個猜測可能性更大呢？

案例2：“通訊信號估計(jì)”問題：通訊系統(tǒng)由信源、信道、編碼、譯碼和干擾源等幾部分組成.信源發(fā)出來的消息是隨機(jī)的，而由于信道中存在干擾，進(jìn)入信道的某個信號，從信道出來的信號可能就不再是這個信號了.我們的問題是，當(dāng)接收到一個信號后，進(jìn)入信道的信號到底是什么？

案例3：“股票行情分析”問題：為了分析預(yù)測一支股票未來一定時期內(nèi)的價格變化,我們可以分析影響股票價格的因素,比如利率的變化.若該支股票上漲了,試分析確實(shí)是由于利率下調(diào)引起股票上漲的概率.

5　簡單介紹數(shù)學(xué)家，了解數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)文化

在課堂上適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)家，特別是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)家，滲透數(shù)學(xué)文化[2].一是能夠減少課堂枯燥，二是提高學(xué)生興趣，三是使學(xué)生初步了解科學(xué)發(fā)展的基本脈絡(luò).

托馬斯?貝葉斯(Thomas Bayes,1701—1761)英國牧師，業(yè)余數(shù)學(xué)家.他生前是位受人尊敬英格蘭長老會牧師.為了證明上帝的存在，發(fā)明了概率統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，非常令人遺憾的是，他的這一愿望至死也未能實(shí)現(xiàn)，當(dāng)然，也不可能實(shí)現(xiàn).貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論，他將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)估算等做出了重要貢獻(xiàn).1763年發(fā)表了這方面的論著，對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用.貝葉斯的另一著作是發(fā)表于1758年的《機(jī)會的學(xué)說概論》.

貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿用至今.貝葉斯思想和方法對概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.現(xiàn)在，貝葉斯思想和方法在許多領(lǐng)域都獲得了廣泛的應(yīng)用，

6　結(jié)語

任何人，當(dāng)然包括學(xué)生，要善于總結(jié)，進(jìn)行反思.古人講日三省其身，“省”什么，其中重要方面就是總結(jié)與反思.即使不能對事物進(jìn)行事前準(zhǔn)確預(yù)測，但是事后必須總結(jié)反思，做個“事后諸葛亮”.如果“失了街亭”，要反思其原因，這是因?yàn)槭裁?“一來是馬謖無謀少才能，二來是將帥不和”“才失了街亭”.再跟深入地問一句，因素“馬謖無謀少才能”和“將帥不和”各自占多大的比例.哪一個是決定性的.這就用到貝葉斯方法.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕劉國祥，等.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程改革探索與實(shí)踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報，2014（11）.

〔2〕張曉麗，劉國祥，等.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)方法的改革與探討[J].赤峰學(xué)院學(xué)報，2015（4）.

〔3〕程小紅.貝葉斯公式的幾個應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(2).

〔4〕魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

〔5〕盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2008.6.

〔4〕李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2005(8):2-7.

〔6〕葉其孝.微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法[J].數(shù)學(xué)通報，2014(3):40-47.

〔7〕百度百科.http://baike.baidu.com/view/77778.htm?fr=a1-addin，2014.09.28.

基金項(xiàng)目：赤峰學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JGXM201427）

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673- 260X（2015）01- 0227- 03