用積分法求取巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征值

李 閩，陶正武，劉全穩(wěn)，吳澤民，李 濤，肖文聯(lián)，亢 鞠

（1.西南石油大學 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川 成都 610500；2.廣東石油化工學院 石油工程學院，廣東 茂名 525000；3.中石油長慶油田 超低滲第四項目部，甘肅 慶陽 745000；4.中石化河南油田分公司 勘探開發(fā)研究院，河南 南陽 473132；5.中石油塔里木油田分公司 天然氣事業(yè)部，新疆 庫爾勒 841000）

1 引言

研究巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)能深刻揭示儲集層的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，加深對油氣儲集層的認識，同時微觀孔隙結(jié)構(gòu)是決定描述儲層多相流過程中諸多宏觀性質(zhì)（毛管壓力、相對滲透率等）的根本。目前，研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)的主要途徑是用測定毛管壓力的方法來確定孔隙喉道特征（定量角度）以及電鏡掃描、鑄體薄片（定性角度）。測取毛管壓力曲線的方法主要有半滲透隔板法、離心法和壓汞法。壓汞法由于測定快速、準確，并且所加壓力較高，便于對更小的孔隙進行測量，同時對巖樣的形狀、大小要求不嚴，因此，成為目前測定儲集巖毛管壓力的主要手段。壓汞法測取的毛管壓力主要用于求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值，常用的求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法有圖解法、矩法。

（1）圖解法：Chilingar等[1]曾提出碳酸鹽巖的孔隙喉道大?。é?標度）遵從正態(tài)分布，可以用圖解法求解孔隙結(jié)構(gòu)特征值。應(yīng)用孔隙大小累積分布曲線上某些特征點數(shù)據(jù)，可以求取均值、分選系數(shù)、歪度等。

（2）矩法[2]：實際巖石的孔隙喉道分布是錯綜復雜的，在自然界中幾乎沒有單一的標準正態(tài)分布的孔隙結(jié)構(gòu)?；谧匀唤鐜r石孔隙結(jié)構(gòu)的復雜性，可以采用地質(zhì)統(tǒng)計理論中的混合經(jīng)驗分布來描述巖樣中的孔隙結(jié)構(gòu)。根據(jù)地質(zhì)統(tǒng)計理論，將儲集巖的孔隙分布看成是在成巖及后生作用過程中幾種成因所造成的孔隙分布的組合。這樣，可以把儲集巖的孔隙分布在統(tǒng)計學上使用地質(zhì)混合經(jīng)驗分布的數(shù)字特征[2]。對于一個混合分布，使用矩法來求取孔隙分布的特征值更為合理，即用原點矩求均值、二階中心距求方差等。除上述矩法參數(shù)外，還可以由它們進一步組合出其他類似參數(shù)，但因為它們都來源于原始測量數(shù)據(jù)，當不同巖樣之間的同類參數(shù)相互對比時，其結(jié)果和上述矩法參數(shù)的對比所得到的結(jié)論不會有較大的原則差別，因為都是用于評價儲集層的孔隙結(jié)構(gòu)，實際應(yīng)用中意義并不大。

以上兩種求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法都是選取孔隙半徑進行直接計算：其中圖解法是選取幾個具有代表性的點進行算術(shù)平均，所以為了提高精度，可以加密選樣點；矩法可以看成是面積積分的飽和度加權(quán)平均化處理。由于選取點不同，計算結(jié)果便不同；而且圖解法使用條件嚴格同時誤差較大，矩法的缺陷在于飽和度范圍受限于試驗。由于這兩種方法都存在不足，本文采用積分法求取特征值，即對孔隙半徑進行積分求取特征值?？紤]到面積積分的平均化處理可以轉(zhuǎn)換成積分形式，這樣只需得到孔隙半徑的數(shù)學表達式，即毛管壓力數(shù)學模型，就能積分求解孔隙結(jié)構(gòu)特征值。原海涵[3]對積分法和矩法之間的理論關(guān)系作了證明，因而用積分法解釋孔隙結(jié)構(gòu)值具有堅實的理論基礎(chǔ)。運用積分法來求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值更接近實際值，因為它采用積分的形式將整個飽和度范圍進行平均求值，同時不需要考慮孔隙大小分布情形。

關(guān)于毛管壓力數(shù)學模型的探究主要有Corey[4]、van Genuchten等[5]、Thomeer[6]和Donaldson等[7]、Tiab等[8]的模型，以上幾種數(shù)學模型都存在一定的不足，比如表達式不形象[4－5]，參數(shù)的確定上繁瑣[6－8]。文獻[6－8]在分析大量試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，得出毛管壓力曲線形態(tài)成雙曲線：文獻[6]得出了毛管壓力與汞體積的近似雙曲線模型，但毛管壓力曲線一般指的是毛管壓力與飽和度之間的關(guān)系曲線；文獻[7－8]推導了毛管壓力三參數(shù)雙曲線模型：

式中：Pc為毛管壓力（MPa）；Sw為濕相飽和度（%）；A、B、C 均為常數(shù)。因此，典型的毛管壓力曲線成雙曲線形態(tài)，下面推導更加形象準確的毛管壓力冪函數(shù)數(shù)學模型。

2 積分法求取巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征值

2.1 冪函數(shù)模型推導

由于毛管壓力曲線的開始陡段并不代表非濕相真正進入巖芯，此時非濕相飽和度的增加大多是由于巖樣表面凹凸不平或切開較大孔隙引起的，非濕相是在排驅(qū)壓力下才開始真正地進入巖芯[2，9]。所以，開始陡段的數(shù)據(jù)點可忽略（根據(jù)經(jīng)驗，忽略的飽和度范圍在6%以內(nèi)都可接受），探究數(shù)學模型時可以不用考慮這部分。本次研究選用的具有代表性巖芯取自中原油田，其孔隙度為25.51%，滲透率為230.74×10-3μm2，其壓汞試驗原始數(shù)據(jù)如圖1(a)所示；將汞飽和度和毛管壓力同時取對數(shù)，重新作圖（見圖1(b)），曲線成雙曲線形態(tài)（其實質(zhì)是反比例函數(shù)）。

考慮到反比例函數(shù)的兩個邊界條件：非濕相汞飽和度為0，即濕相飽和度 Sw取值為1時，毛管壓力為排驅(qū)壓力Pd（邊界條件1）；非濕相汞飽和度為1，即濕相飽和度 Sw=0時，毛管壓力為無窮大（邊界條件2）。結(jié)合反比例函數(shù)的基本表達式，得出毛管壓力反比例函數(shù)模型為

考慮到毛管壓力曲線形態(tài)的復雜性，對反比例函數(shù)模型引入常數(shù)D，從而建立了毛管壓力冪函數(shù)模型：

式中：Pd為排驅(qū)壓力（MPa）；D為常數(shù)。

但在試驗中，Sw=0的極值情況是極少出現(xiàn)的，即存在最小濕相飽和度 Smin，即濕相流體開始流動時的最小飽和度，主要原因是巖石本身的孔隙結(jié)構(gòu)（如存在不連通的死孔隙）以及試驗儀器的最大壓力限制[9]。因此，毛管壓力是在濕相飽和度為 Smin時達到最大（可以看成是無窮大），邊界條件2應(yīng)改為Sw=Smin，引入轉(zhuǎn)換飽和度 Si：

圖1 毛管壓力曲線Fig.1 Capillary pressure curves

采用最小二乘法求取參數(shù)，可得

式中： Si為轉(zhuǎn)換飽和度；Smin為最小濕相飽和度（%）；n為測試點個數(shù)。

將圖1(a)壓汞試驗數(shù)據(jù)代入式（6），求出參數(shù)D=1.067。排驅(qū)壓力Pd值按照Dullien[10]的做法確定為0.073 4 MPa。因此，毛管壓力冪函數(shù)模型為

將推導的冪函數(shù)模型計算曲線作圖如圖1(c)所示，發(fā)現(xiàn)試驗數(shù)據(jù)點與模型計算曲線能很好地擬合，沒擬合上的4個點飽和度在6%以內(nèi)，數(shù)學模型中可忽略這4個點。為了驗證本文推導的毛管壓力冪函數(shù)模型式（5），選取了具有代表性的Sami[11]圖3（試樣No 95）中的數(shù)據(jù)，通過上面的方法推導模型并確定參數(shù)，將模型計算曲線與試驗數(shù)據(jù)進行對比，見圖2。由于Sami采用隔板法測取氣-鹽水毛管壓力，試驗壓力較低，圖2(a)只顯示了冪函數(shù)模型的一部分，因此，將其繪制在直角坐標系圖2(b)中能更好的顯示。其中：Sami圖3（試樣No 95）毛管壓力冪函數(shù)模型為

圖2 Sami數(shù)據(jù)(試樣No.95)Fig.2 Sami's data(Sample No.95)

由推導出的毛管壓力冪函數(shù)模型式（5），結(jié)合毛管壓力定義，得到毛管半徑r 與轉(zhuǎn)換飽和度Si的關(guān)系式為

式中：σ為界面張力（mN/m；θ為接觸角（°）。

2.2 積分法求解

用積分法求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值的關(guān)鍵在于確定毛管半徑的數(shù)學表達式。有了公式，就可以僅用試驗數(shù)據(jù)點確定整個巖樣的半徑表達式，進而求取特征值[3]。

（1）均值[9]ar

孔喉大小總平均數(shù)的量度。矩法求取平均半徑表達式中分子表示對孔隙半徑與飽和度差值面積求和，可以直接轉(zhuǎn)換成孔隙半徑對整個飽和度范圍（0～100%）連續(xù)積分；分母表示對飽和度差值進行求和，積分法可以考慮到整個飽和度范圍，因此，平均毛管半徑可用如下積分式表示：

式中：ri為孔隙半徑（μm）；ΔSi為間隔飽和度（%）。

由圖1(c)可知，在濕相飽和度（0～ Smin）范圍內(nèi)，毛管壓力Pc可以看成是無限大，此時的孔隙半徑為0；在濕相飽和度（Smin～100%）范圍內(nèi)，毛管壓力Pc為表達式（5），導出的毛管半徑表達式為式（9），因此，式（10）實質(zhì)為

代入式（9），求出平均半徑ra為

（2）分選系數(shù)[9]Sp

孔喉大小的標準偏差，是分散程度的量度。根據(jù)均值積分形式算法，分選系數(shù) Sp可由下式求出：

同理，式（13）主要計算過程為

計算結(jié)果為

（3）歪度[9]Skp

描述分布不對稱的量度。根據(jù)均值積分形式算法，求取歪度的積分式為

同理，式（16）主要計算過程為

計算結(jié)果為

3 結(jié)果對比與分析

根據(jù)圖1巖樣壓汞試驗數(shù)據(jù)繪制出孔隙大小分布曲線（判定為類似正態(tài)分布）和孔隙大小累計分布曲線，選取特征點代入公式[1]，即可求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值（表1）。矩法計算稍顯復雜，涉及分組問題，具體參照文獻[2]方法；由前面推導的毛管半徑數(shù)學表達式可以得出參數(shù)值，代入積分法求取特征值公式，求取結(jié)果見表1。

表1 3種方法求取結(jié)果對比表（φ 標度）Table 1 Comparison of the calculated results of the three methods(φ value)

根據(jù)同樣的方法，Sami[11]圖3（試樣No.95）的特征值求解結(jié)果也列入表1。

由于圖解法是選取其中的幾個具有代表性數(shù)據(jù)點（某些點還需要外推求解，更加大了誤差，如表1求取的均值為負數(shù)，明顯錯誤；這也正凸顯了圖解的巨大誤差性）進行算術(shù)平均，用有限的數(shù)據(jù)點代表整個范圍的半徑本身就不妥；因此，一般認為，圖解法求取誤差最大?？紤]到矩法求解的飽和度范圍受到限制，致使非濕相飽和度最大值無法達到100%，如矩法求取均值的表達式，見表2，由于分母飽和度取值比實際偏小，其求解結(jié)果比實際值偏大，因而求解的特征值只表示試驗流體能注入的孔隙空間量度，而不是全孔隙量度，這說明矩法存在缺陷。積分法是由矩法轉(zhuǎn)換而成，其采用積分的形式將整個飽和度范圍進行平均求值，更加接近真實值。因而積分法準確性高，算法嚴謹。

表2 圖解法[1，9]和矩法[2]求取公式Table 2 Formulations of graphical method[1，9]and rectangular method[2]

4 結(jié)論

（1）圖解法要求巖石孔隙大小滿足正態(tài)分布，使用條件嚴格，同時其求取的特征值是選取的幾個具有代表性數(shù)據(jù)點，誤差較大。

（2）矩法求解的飽和度范圍受到限制，求解的特征值只表示試驗流體能注入的孔隙空間量度，而不是全孔隙量度。

（3）推導出毛管壓力冪函數(shù)數(shù)學模型，即Pc=，采用最小二乘法求取參數(shù)，并用公開發(fā)表的文章數(shù)據(jù)對本文推導的模型進行了驗證。

（4）詳細介紹了積分法求取巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征值的基本思想。對比3種求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法，得出積分法算法嚴謹；因為積分法是采用積分的形式將整個飽和度范圍進行平均求值，同時不必考慮孔隙大小分布情形，更具有普遍意義。

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