改進(jìn)的主動土壓力計算方法

王仕傳，孫本杰，邵 艷

（安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601）

1 引言

土壓力分布和擋土墻位移模式、位移大小密切相關(guān)。Terzaghi[1－2]通過模型試驗(yàn)指出，墻后土壓力分布為非線性。Sherif[3]、Fang[4]等對不同位移模式下砂土的土壓力試驗(yàn)研究表明，墻體位移模式和位移大小對土壓力分布的影響很大。周應(yīng)英等[5]對砂土在平動位移模式、黏土在繞墻底和繞墻頂轉(zhuǎn)動位移模式下剛性擋土墻主動土壓力分布進(jìn)行了室內(nèi)試驗(yàn)研究，也證實(shí)了墻后土壓力分布和擋土墻位移模式、位移大小相關(guān)。建立在極限平衡狀態(tài)基礎(chǔ)上的經(jīng)典土壓力理論不能反映擋土墻位移大小和位移模式等因素的影響?；谒綄臃治龇ǖ臉O限平衡狀態(tài)土壓力計算理論能反映位移模式的影響，但實(shí)際擋土墻位移大小都是有限的，墻后填土很難達(dá)到極限平衡狀態(tài)，大多為非極限平衡狀態(tài)。

對于非極限狀態(tài)土壓力計算，通常采用兩種方法[6]：一是用函數(shù)擬合土壓力隨位移變化的關(guān)系曲線；二是采用非極限狀態(tài)下摩擦角參數(shù)替換經(jīng)典土壓力理論的極限摩擦角，即采用了土的抗剪強(qiáng)度發(fā)揮值的概念，能夠反映位移變化對墻后土體應(yīng)力狀態(tài)的影響。文獻(xiàn)[7]針對平動模式下的剛性擋土墻，建立了內(nèi)外摩擦角與位移之間的關(guān)系式，分析了最不利情況下墻后土楔體的受力情況，得到考慮位移效應(yīng)的非極限土壓力公式。文獻(xiàn)[8]基于朗肯土壓力基本原理，假定填土內(nèi)摩擦角與該點(diǎn)土體位移呈非線性關(guān)系，提出考慮位移影響的主、被動土壓力計算公式。文獻(xiàn)[9]利用卸荷路徑三軸試驗(yàn)中徑向應(yīng)力和應(yīng)變間較好的雙曲線關(guān)系[10]，建立非極限狀態(tài)摩擦角和擋墻位移的關(guān)系，并求得平動位移模式下無黏性土擋土墻任意位移時的墻后土壓力非線性分布解。文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，從黏性土的應(yīng)力摩爾圓出發(fā)，建立了黏性土的抗剪強(qiáng)度參數(shù)隨位移變化的關(guān)系式，運(yùn)用水平微分單元法推導(dǎo)出非極限狀態(tài)平動模式時黏性土的主動土壓力計算公式?？紤]位移影響的土壓力計算方法還有有限單元法[11－12]，但有限元法涉及到填土的本構(gòu)模型研究及參數(shù)選取，還有墻-土間的接觸面處理及參數(shù)確定等問題，不利于工程應(yīng)用。

針對繞墻底向外轉(zhuǎn)動的重力式擋土墻，本文基于文獻(xiàn)[13－14]先建立墻背填土內(nèi)摩擦角和擋土墻位移之間的關(guān)系式，并在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，建立一種改進(jìn)的考慮位移影響的無黏性土主動土壓力計算方法。

2 位移和摩擦角的關(guān)系

主動土壓力是指當(dāng)擋土墻向離開土體方向偏移至土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)時，作用在墻上的土壓力。Bang[13]指出，從初始主動狀態(tài)到極限主動狀態(tài)是一個漸進(jìn)變化的過程，二者之間存在一個中間主動狀態(tài)。對于繞墻底向外轉(zhuǎn)動的擋土墻，在土壓力作用下，當(dāng)擋土墻頂達(dá)到某位移 sc時，墻頂背面土體內(nèi)摩擦角達(dá)到φ，墻底背面土體內(nèi)摩擦角為0，墻底和墻頂之間背面土體內(nèi)摩擦角由0到φ 線性分布，此時定義為初始主動狀態(tài)；隨著擋土墻繞墻底向外轉(zhuǎn)動，墻底背面土體內(nèi)摩擦角由0逐漸增加到φ，墻頂背面土體內(nèi)摩擦角不變，墻底和墻頂之間背面土體內(nèi)摩擦角同樣服從線性分布，墻底背面土體內(nèi)摩擦角達(dá)到φ 之前，定義為中間主動狀態(tài)，墻底背面土體內(nèi)摩擦角達(dá)到φ 之后，此時定義為極限主動狀態(tài)。位移 sc定義為臨界位移，沿墻背取值不變，即墻背任意位置水平位移只要達(dá)到 sc，該位置土體即達(dá)到極限平衡狀態(tài)。sc大小與墻背填土內(nèi)摩擦角、密實(shí)度無關(guān)，與擋土墻位移模式無關(guān)，取值范圍為0.0003H～0.0005H，H為擋土墻墻高[14]。Bang定義的內(nèi)摩擦角分布沒有反映擋土墻位移大小的影響。

Chang[14]認(rèn)為，墻背土體內(nèi)摩擦角發(fā)揮值φm、墻-土摩擦角發(fā)揮值δm分別隨位移線性地從初始值0φ、δ0增加到極限值φ、δ 。當(dāng)墻后某點(diǎn)位移s ≥sc時，φm、δm完全發(fā)揮，分別取極限值φ、δ ；當(dāng)墻后某點(diǎn)位移s＜ sc時，φm、δm定義為發(fā)揮值，由位移通過線性插值計算。Chang提出的摩擦角分布關(guān)系[14]表明，無論擋土墻位移多大，墻底處土體摩擦角始終取初始摩擦角，由推導(dǎo)的土壓力分布也可以看出，墻底處土壓力分布值并不是隨著擋土墻位移的增加由靜止土壓力值漸進(jìn)地減小到主動土壓力值。

基于Bang[13]和Chang[14]對內(nèi)摩擦角和擋土墻位移之間關(guān)系的研究，根據(jù)擋土墻墻頂位移sa和臨界值sc之間的關(guān)系，建立墻后土體內(nèi)摩擦角沿墻背分布關(guān)系式。分兩種情況：墻頂位移sa不大于臨界值 sc；墻頂位移 sa大于臨界值sc，如圖1所示。

圖1 內(nèi)摩擦角與位移關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagrams of internal friction angle and displacement

（1）0≤ sa≤sc

如圖1(a)所示，墻頂背面土體內(nèi)摩擦角為

式（1）表明φA隨位移 sa的增大由φ0線性增加到φ。

墻底背面土體內(nèi)摩擦角為

墻背任意深度z 處土體內(nèi)摩擦角φm由墻頂和墻底背面土體內(nèi)摩擦角通過線性插值求得

（2）sa＞sc

如圖1(b)所示，令擋土墻位移s ≥ sc的擋土墻深度范圍為 z0，即圖1(b)中AC 段，則有

該范圍內(nèi)土體都達(dá)到極限平衡狀態(tài)，墻背土體內(nèi)摩擦角為

墻底背面土體內(nèi)摩擦角為

式中：n ＞0，n∈R，反映墻底背面土體內(nèi)摩擦角隨sa變化的快慢。n=1時，1-sc/sa相當(dāng)于文獻(xiàn)[13]中參數(shù)β 。式（6）表明，當(dāng) sa由sc增加到∞時，φB按式（6）由φ0增加到φ。

圖1(b)中CB 段擋土墻位移s ＜sc，該段φm服從線性分布，由B 點(diǎn)的φB和C 點(diǎn)的φ 通過線性插值求得

由式（3）、（5）、（7）即可計算墻頂任意位移時，墻背任意點(diǎn)土體內(nèi)摩擦角。上述關(guān)系式既考慮位移大小對墻背土體內(nèi)摩擦角的影響，也體現(xiàn)了墻底背面土體內(nèi)摩擦角漸進(jìn)發(fā)展的特點(diǎn)。

3 主動土壓力計算

3.1 Bang主動土壓力計算公式

Bang[13]假定平衡狀態(tài)時墻后土體內(nèi)形成系列滑裂面，滑裂面與水平方向的傾角等于45°+φm2，大小取決于滑裂面與擋土墻交點(diǎn)位置的水平位移。根據(jù)庫侖土壓力理論，由滑裂面上土楔體的靜力平衡條件，求得作用在擋土墻上的土壓力合力，由該合力關(guān)于滑裂面和擋土墻交點(diǎn)位置坐標(biāo)z 的導(dǎo)數(shù)，求得該處土壓力分布解。Bang提出的主動土壓力計算公式[10]為

式中：γ為墻背土體重度；m、A1、B1為參數(shù)，且有

式（12）中，β為參數(shù)，β=0，對應(yīng)Bang定義的初始主動狀態(tài)；類似的，β=1，對應(yīng)極限主動狀態(tài)；0＜β ＜1，對應(yīng)中間主動狀態(tài)。文獻(xiàn)[14]指出只有擋土墻位移達(dá)到臨界值 sc，該處土體才達(dá)到極限平衡狀態(tài)，相應(yīng)的內(nèi)摩擦角取φ。由此可知，Bang提出的土壓力公式只適用于墻頂位移 sa＞sc時的主動狀態(tài)土壓力計算，且Bang計算公式中沒有反映擋土墻位移大小的影響，通過指定參數(shù)β 來計算不同狀態(tài)時墻背土壓力分布。

3.2 改進(jìn)的主動土壓力計算公式

為反映位移大小對土壓力的影響，利用式（8）和式（3）、（5）、（7），建立一種改進(jìn)的考慮位移影響的主動土壓力計算公式。Bang計算公式假定墻-土摩擦角δ為常數(shù)，本文沿用這個假定。

3.2.1 sa≤scm

φ 由式（3）計算，則有

墻背土壓力分布為

m、A1、B1由式（9）～（11）計算。由式（14）可計算Bang定義的初始主動狀態(tài)之前的墻背土壓力。

3.2.2 sa＞sc

（1）AC 段土壓力分布

（2）CB 段土壓力分布

φm由式（7）計算，則有

AC 段墻背土體處于極限平衡狀態(tài)，CB 段墻背土體處于非極限平衡狀態(tài)。計算CB 段墻背土壓力時，將AC 段墻背土體假定為超載，并認(rèn)為其只影響式（8）右邊第1項(xiàng)，由此得CB 段土壓力計算公式為

3.3 改進(jìn)方法的計算結(jié)果

圖2為由本文方法計算的擋土墻墻頂不同位移大小時的墻背土壓力分布。計算所采用的墻土參數(shù)為[13]：H=3 m，γ=15.7 kN/m3，φ=30°，墻背光滑，φ0=0。

圖2 不同位移時墻后主動土壓力分布Fig.2 Distribution of active earth pressure behind retaining wall with different displacements

由本文計算方法推導(dǎo)過程和圖中曲線關(guān)系可知，sa/sc=1時，僅墻頂背面土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)；隨著 sa/sc的增加，達(dá)到極限平衡狀態(tài)的范圍逐漸向下擴(kuò)展，擋土墻位移s ≥ sc范圍的墻背土體均達(dá)到極限平衡狀態(tài)，相應(yīng)的土壓力等于庫侖主動土壓力。而Bang計算方法表明，s ≥ sc范圍的墻背土體處于非極限平衡狀態(tài)，墻后土壓力大于庫侖土壓力，只有當(dāng)s 充分大時，即Bang方法中β=1，墻背土體才達(dá)到極限平衡狀態(tài)，相應(yīng)的墻背土壓力等于庫侖主動土壓力?？梢?，與Bang方法相比，本文方法考慮了位移大小的影響。sa/sc=1時的土壓力分布相當(dāng)于Bang方法中β=0時的土壓力分布，而 sa/sc=∞時的土壓力分布相當(dāng)于Bang方法中β=1時的土壓力分布。在這二者之間，若令β=1-sc/sa，Bang方法計算的土壓力大于本文方法計算的土壓力。與Chang計算方法相比，Chang方法考慮了位移大小的影響，但由Chang方法計算的墻底處土壓力，只有在 sa/sc趨于無窮大時，才等于庫侖主動土壓力，在這之前，均等于靜止土壓力；而本文方法計算的墻底處土壓力是隨著墻頂位移的增加，由靜止土壓力值逐漸地減小到庫侖主動土壓力值。

表1為不同位移大小時相應(yīng)的土壓力合力和作用點(diǎn)位置。表中 h0/ H為土壓力合力作用點(diǎn)距離墻底距離h0和墻高H 之比。墻頂位移sa達(dá)到臨界值 sc后，墻背上部土體先達(dá)到極限平衡狀態(tài)，土壓力由靜止土壓力減小到庫侖主動土壓力，合力作用點(diǎn)位置下降；隨著擋土墻位移的增加，擋土墻下部土體逐漸達(dá)到極限平衡狀態(tài)，土壓力相應(yīng)地收斂于庫侖主動土壓力，合力作用點(diǎn)位置也相應(yīng)上移，這與Fang的試驗(yàn)結(jié)論是一致的。土壓力合力隨擋土墻位移的增加而逐漸減小，最后趨近于庫侖主動土壓力。

表1 不同位移時土壓力合力及作用點(diǎn)位置Table 1 Resultant force and application point of earth pressure with different displacements

4 與模型試驗(yàn)結(jié)果對比

Fang等[4]對擋土墻繞墻底向外轉(zhuǎn)動時墻后主動土壓力分布進(jìn)行了室內(nèi)模型試驗(yàn)研究，填土為砂土。模型試驗(yàn)參數(shù)為：H=1.016 m，墻背直立，γ=15.34 kN/m3，φ=33.4°，φ0=7.5°，δ=16.7°。

圖3給出了室內(nèi)模型試驗(yàn)結(jié)果，同時給出了由本文理論公式計算的結(jié)果。

圖3 計算土壓力和模型試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.3 Comparison of computational earth pressure and model test results

圖3中數(shù)據(jù)對比表明：本文方法計算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。理論計算和試驗(yàn)結(jié)果都表明，當(dāng)擋土墻位移達(dá)到臨界值sc后，墻后土壓力均趨近庫侖主動土壓力，隨著擋土墻位移的增加，墻底處土壓力也逐漸地收斂到庫侖主動土壓力。同樣，文獻(xiàn)[14]也與該模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，但文獻(xiàn)[14]中土壓力計算方法不能反映墻底處土壓力漸進(jìn)收斂過程。

表2為理論公式計算和模型試驗(yàn)實(shí)測得出的土壓力合力和作用點(diǎn)位置結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知，隨著擋土墻位移的增加，土壓力合力逐漸減??；作用點(diǎn)位置先下降，后上移；當(dāng)擋土墻位移充分大時，理論計算的墻后土壓力合力等于庫侖主動土壓力，作用點(diǎn)位置位于擋土墻下1/3點(diǎn)。

表2 理論計算和模型試驗(yàn)土壓力合力及作用點(diǎn)位置Table 2 Resultant forces and application points of earth pressure for theoretical computation and model tests

5 結(jié)論

（1）基于土壓力形成機(jī)制的分析及已有的研究成果，建立了擋土墻位移和墻背土體內(nèi)摩擦角發(fā)揮值之間的關(guān)系式，提出了一種改進(jìn)的考慮位移影響的主動土壓力計算方法。

（2）本文提出的計算方法能反映墻背土壓力及墻背土體抗剪強(qiáng)度隨擋土墻位移的增加而逐漸形成的過程；由本文方法計算的墻底處土壓力也是隨著擋土墻位移的增長而逐步收斂于庫侖主動土壓力。

（3）與模型試驗(yàn)結(jié)果對比表明，本文理論公式計算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

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