基于復(fù)合損傷的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型研究

鄧正定，王 楨，劉紅巖

（1.中國鐵道科學(xué)研究院，北京 100081；2.中鐵西北科學(xué)研究院有限公司，甘肅 蘭州 730000；3.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）工程技術(shù)學(xué)院，北京 100083）

1 引言

自然界的巖體中存在大量的節(jié)理、層理等不連續(xù)面，這些含有不連續(xù)結(jié)構(gòu)面的巖體稱為節(jié)理巖體。節(jié)理巖體的定性不僅與完整巖石的強(qiáng)度有關(guān)，而且還受巖體內(nèi)發(fā)育的節(jié)理面所控制。宏觀上節(jié)理巖體由于節(jié)理面的方位、傾角不同而呈現(xiàn)出各向異性的特點(diǎn)，同時(shí)也是非均勻分布的。另外，節(jié)理巖體內(nèi)部還存在許多微小的裂紋分布，這是節(jié)理巖體細(xì)觀上的缺陷，由于巖體存在這些宏觀和微觀的缺陷，如何建立有效的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型顯得較為困難。目前，對(duì)完整巖石的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型已經(jīng)有了廣泛的研究，對(duì)含微觀節(jié)理的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型也有一定研究，但對(duì)于存在各向異性的宏觀節(jié)理的巖體在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型研究比較少，如Seamen等[1－2]提出NAG-FRAG模型，該模型利用顯微鏡觀測方法，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理知識(shí)，建立了巖體的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。Burlion等[3]提出一個(gè)損傷與塑性耦合的本構(gòu)模型來描述混凝土、巖石等脆性材料的動(dòng)態(tài)破壞，提出壓縮的弱化效應(yīng)由塑性應(yīng)變控制，拉伸損傷由彈性應(yīng)變所控制，將壓縮損傷和塑性應(yīng)變耦合起來。劉文韜等[4]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的觀點(diǎn)提出了能夠描述巖石塑性變形的連續(xù)損傷本構(gòu)模型。單仁亮等[5]對(duì)大理巖和花崗巖的本構(gòu)特性進(jìn)行深入的研究，根據(jù)其應(yīng)力-應(yīng)變曲線的特點(diǎn)，考慮損傷的影響將統(tǒng)計(jì)損傷模型和黏彈性體結(jié)合，建立沖擊時(shí)效損傷模型，利用模型對(duì)大理巖和花崗巖進(jìn)行曲線擬合。但這些研究都沒有充分考慮節(jié)理巖體中起控制性作用的宏觀節(jié)理及各向異性的特點(diǎn)，因存在一定的偏差，需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，而實(shí)際工程中巖體常處于地震、爆破及開挖擾動(dòng)等動(dòng)力荷載作用之下，巖體的破壞失穩(wěn)與節(jié)理巖體的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性密切相關(guān)[6]。因此，對(duì)高應(yīng)變率下節(jié)理巖體的本構(gòu)關(guān)系研究具有巨大的實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

在前人研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用分離式霍普金森壓桿裝置（SHPB）對(duì)幾種典型幾何特征的節(jié)理巖體在不同高應(yīng)變率下進(jìn)行了大量試驗(yàn)，綜合考慮節(jié)理幾何特征、應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行合理分析的基礎(chǔ)上，基于復(fù)合損傷的分析方法，構(gòu)造一個(gè)能夠描述節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)響應(yīng)的復(fù)合損傷型本構(gòu)模型，模型中各個(gè)參數(shù)都有明確的物理意義，以便于工程實(shí)際中應(yīng)用。

2 節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)復(fù)合損傷分析

2.1 損傷張量

巖體中存在對(duì)巖體力學(xué)特性起控制性作用的節(jié)理面，研究的主要難點(diǎn)是節(jié)理巖體的節(jié)理面是各向異性的、不均勻的。由于節(jié)理面的存在，使得節(jié)理巖體的力學(xué)特征與完整巖石存在非常大的差異。因此，建立能夠有效描述節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的本構(gòu)關(guān)系模型，最主要的是考慮節(jié)理各向異性的特點(diǎn)。

節(jié)理等宏觀缺陷的存在將導(dǎo)致巖體力學(xué)性質(zhì)的弱化及各向異性，為了反映這種影響，目前常采用損傷力學(xué)的方法進(jìn)行描述，假定損傷后的巖體本構(gòu)關(guān)系仍服從虎克定律[7]，則節(jié)理對(duì)巖體的損傷則體現(xiàn)為彈性常數(shù)的弱化，即節(jié)理巖體的彈性常數(shù)與損傷張量之間的關(guān)系，可以表示為

式中：E0、E 分別為完整巖塊和節(jié)理巖體的彈性張量；I為單位張量；Ω為節(jié)理巖體損傷張量。

下面以平面問題為例，討論節(jié)理巖體損傷張量的計(jì)算。目前，常用二階張量描述節(jié)理巖體的各向異性損傷，假如節(jié)理巖體中存在n 組節(jié)理，則節(jié)理巖體的初始損傷張量為

式中：V為巖體體積；l為節(jié)理平均間距(節(jié)理厚度），n為試件中節(jié)理組數(shù)；mi為樣本中第i 條節(jié)理表面上的單位法向矢量；ai為樣本中第i 條節(jié)理表面積，?指前、后兩個(gè)矢量的張量積。mi?mi為二階張量。

在自然界的節(jié)理巖體中，節(jié)理間并不是完全沒有物質(zhì)的，而是往往夾雜著一定的充填物，通過試驗(yàn)可知，不同的充填物對(duì)節(jié)理巖體的損傷有一定的影響，為此這里引入充填物影響系數(shù)c，式（2）可以改為

式中：c為充填物系數(shù)。

由此可知，初始損傷張量可以很好地反映出節(jié)理幾何特征對(duì)節(jié)理巖體損傷的影響。

現(xiàn)假設(shè)有一條節(jié)理與y 方向呈θ 角，見圖1，則節(jié)理的外法線張量為

式中：θ為節(jié)理面與y 方向夾角。

圖1 典型節(jié)理面Fig.1 A typical joint surface

則初始損傷張量為

當(dāng)有n 條平行節(jié)理時(shí)，式（5）可推廣為

2.2 損傷變量

前面所述損傷張量也稱初始損傷張量，從式中可以看出，該損傷張量可以很好地表示節(jié)理巖體各向異性損傷的特點(diǎn)，但巖體在加載的過程中，裂紋會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展，而該損傷可認(rèn)為是各向同性的。針對(duì)該損傷引入損傷因子D，顯然，該損傷因子D 是與應(yīng)變和應(yīng)變率有關(guān)的變量。利用這一方法可以得到材料的損傷型本構(gòu)關(guān)系，但最重要的還在于找到損傷變量與本構(gòu)狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系，即損傷演化規(guī)律。有的損傷模型將裂紋成核密度作為損傷演化的參數(shù)，但裂紋密度難以定量描述；有的損傷模型將某一特定應(yīng)變作為損傷演化的閥值，但它沒有考慮應(yīng)變率對(duì)損傷演化的貢獻(xiàn)。其實(shí)，不管宏觀損傷還是微觀損傷，應(yīng)變可對(duì)損傷有強(qiáng)化作用，應(yīng)變率對(duì)損傷有弱化作用，即共同影響損傷的發(fā)展，因此，將損傷演化方程的一般函數(shù)形式表示為

對(duì)式（7）作無量綱化處理，則有

由于在動(dòng)態(tài)荷載加載之前，因?yàn)橛泄?jié)理的存在，節(jié)理巖體已經(jīng)存在損傷。為了處理方便，將其定量用0D 表示，則損傷演化方程表示為

式中：D0為初始損傷值；εth為損傷閥值應(yīng)變，通常取最大應(yīng)變的0.2～0.4倍；a 和b 均為待定系數(shù)，用于描述試驗(yàn)所得損傷演化曲線的形狀；KD為損傷變量系數(shù)。需要指出的是，這里的損傷變量是指巖體初始微細(xì)觀裂紋以及在加載過程中的裂紋擴(kuò)展等造成的損傷，并不是前面所述的宏觀節(jié)理而造成的初始損傷，而初始微細(xì)觀裂紋相對(duì)宏觀節(jié)理可忽略不計(jì)，因此，可取D0=0 。

2.3 一維動(dòng)荷載下的有效應(yīng)力

由前述可知，節(jié)理巖體同時(shí)存在宏微觀兩種損傷，二者都起到了弱化巖體剛度和強(qiáng)度的作用，因此，在節(jié)理巖體力學(xué)分析中應(yīng)綜合考慮兩種不同損傷的共同作用[7]。由于巖石中的微損傷是各向同性，而宏觀節(jié)理、裂隙造成的損傷卻是明顯各向異性的，由式（1）可知，E0為完整無損巖石的彈性模量，結(jié)合式（9）可以得到綜合考慮宏微觀兩種損傷的節(jié)理巖體本構(gòu)模型為

式中：σ為應(yīng)力張量；ε為應(yīng)變張量。

用二階損傷張量描述巖體的節(jié)理裂隙時(shí)，針對(duì)巖體受壓應(yīng)力情況，考慮到節(jié)理裂隙能夠傳遞部分壓應(yīng)力和剪應(yīng)力的特點(diǎn)，引入下列有效應(yīng)力張量：

式中：λ、η 均為與各參數(shù)相關(guān)的量。

實(shí)際上，在一維動(dòng)荷載下，因?yàn)椴豢紤]圍壓的影響，故只需考慮法線方向與x 軸方向相同的應(yīng)力即可，故只需取下式：

3 節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型

3.1 本構(gòu)關(guān)系一般描述

一般來說，任何材料本構(gòu)模型可以描述為應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度等物理、力學(xué)參量之間的函數(shù)關(guān)系，其形式可表示為

式中：σ為表觀應(yīng)力張量，表示含損傷的材料應(yīng)力。

大量研究結(jié)果表明，黏性效應(yīng)和損傷滯后是產(chǎn)生巖石材料非線性和率敏感性的兩個(gè)主要原因。如果不考慮溫度效應(yīng)，巖體類材料本構(gòu)方程一般可表示為

當(dāng)D=0時(shí)，表示材料無損傷；當(dāng)D=1時(shí)，表示材料完全喪失承載能力。

由于節(jié)理巖體是有初始損傷的，并是各向異性的，并且初始損傷是以張量的形式表示的，因此，上式都用張量表示：

式中：σi為材料無損傷時(shí)的應(yīng)力張量；I為單位張量；損傷變量D是應(yīng)變?chǔ)?、?yīng)變率的函數(shù)。

在一維沖擊應(yīng)力下的節(jié)理巖體本構(gòu)關(guān)系模型，即不考慮圍壓的作用，所以式（16）的應(yīng)力-應(yīng)變都只考慮加載方向的變化情況，而損傷張量也可以只考慮加載方向，只需方向?qū)?yīng)即可，這樣可以減少很多不必要的運(yùn)算。

3.2 損傷型節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型

Kinoshita等[8]在進(jìn)行試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上認(rèn)為，巖石的動(dòng)力學(xué)本構(gòu)特性可以用Bingham模型來描述，見圖2，該模型通常又稱為過應(yīng)力模型。其本構(gòu)方程為

圖2 Bingham模型Fig.2 Bingham model

原始的過應(yīng)力模型本構(gòu)方程認(rèn)為，E0、S0、S分別為靜態(tài)壓縮強(qiáng)度后的彈性模量、靜態(tài)壓縮破壞強(qiáng)度和靜態(tài)壓縮強(qiáng)度后的應(yīng)力，經(jīng)過修正的過應(yīng)力模型認(rèn)為，E0對(duì)應(yīng)于動(dòng)載應(yīng)力-應(yīng)變曲線線彈性部分的斜率，S0和S一樣，都為動(dòng)載應(yīng)力-應(yīng)變曲線線彈性部分的極限[9]，α、β 均為不同巖體材料的固有常數(shù)。

于亞倫等[10]曾用修正的過應(yīng)力模型對(duì)幾種磁鐵礦和花崗巖進(jìn)行曲線擬合，得到了相應(yīng)的過應(yīng)力模型本構(gòu)方程，使得修正后的過應(yīng)力模型得到很好的應(yīng)用。但修正后的過應(yīng)力模型存在明顯的缺點(diǎn)，即不能夠完全反映彈性模量隨應(yīng)變率變化的特性。同時(shí)，對(duì)式（17）中的σ ≥ S0的情況，進(jìn)行積分轉(zhuǎn)換會(huì)發(fā)現(xiàn)，修正的過應(yīng)力模型使用范圍有局限性，其積分轉(zhuǎn)換得到：

進(jìn)行移項(xiàng)簡化后得到

節(jié)理巖體在加載過程中的損傷，主要表現(xiàn)在彈性模量的變化，而加載過程中動(dòng)態(tài)彈性模量是因節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷引起，即隨損傷變量D而改變，其關(guān)系如下：

聯(lián)立式（9）、（20）、（21）可得

式中：σth、εth分別指應(yīng)力閥值和應(yīng)變閥值，通常取峰值的0.2～0.4倍。

式（21）中考慮了加載過程中損傷的影響，同時(shí)考慮邊界條件ε=εth時(shí)，S=σth即可。

式（21）僅僅考慮了加載過程中的動(dòng)態(tài)損傷，并沒有考慮節(jié)理巖體的初始損傷，故用節(jié)理巖體初始損傷的有效應(yīng)力 σ*來代替σ，式（21）可變?yōu)?/p>

由式（22）可以看出，除去試驗(yàn)可得參數(shù)之外，還有α、β、KD、a、b、c這6個(gè)參數(shù)是要通過數(shù)據(jù)擬合得到的，通過觀察發(fā)現(xiàn)，一些參數(shù)可以合并成一個(gè)參數(shù)，具體如下：

式中：K為損傷系數(shù)；A為應(yīng)變率損傷指數(shù)；B為應(yīng)變損傷指數(shù)；c為充填物系數(shù)，可得最終簡化的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)關(guān)系模型為

4 試驗(yàn)驗(yàn)證及分析

4.1 試驗(yàn)方案

運(yùn)用SHPB裝置，通過改變節(jié)理巖體試件的節(jié)理面傾角、節(jié)理貫通程度、節(jié)理組數(shù)、節(jié)理厚度、節(jié)理間填充物、長徑比及加載率對(duì)試件進(jìn)行沖擊荷載試驗(yàn)，綜合對(duì)比分析各因素的影響規(guī)律。試驗(yàn)方案按不同因素對(duì)試樣動(dòng)荷載力學(xué)特性影響可歸納為表1。

表1 SHPB試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)Table 1 Scheme of SHPB tests

4.2 試驗(yàn)與理論比較分析

通過SHPB試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型待定參數(shù)。沖擊荷載下巖體材料的應(yīng)變率范圍在(101～105) s-1之間，取其加載段應(yīng)變率的平均值為試驗(yàn)響應(yīng)應(yīng)變率，這樣試驗(yàn)近似可以看作是恒應(yīng)變率的，式（26）中包含了13個(gè)材料參數(shù)，每個(gè)參數(shù)都有明確的物理意義。其中σ、E0、l、V、ε、θ、ai、可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)或通過節(jié)理巖體的幾何形狀取值確定，損傷閥值εth取為最大應(yīng)變的0.3倍，K、A、B、c 通過數(shù)值擬合來確定。表2為通過數(shù)值擬合得到最優(yōu)模型擬合參數(shù)。

表2 最優(yōu)模型擬合參數(shù)Table 2 Fitting parameters for the optimal model

利用表2給出的模型參數(shù)計(jì)算得到了模型預(yù)測曲線，并與SHPB試驗(yàn)所測試得到的曲線進(jìn)行比較。圖3～5給出了部分試驗(yàn)測試曲線和模型預(yù)測曲線的比較，其中實(shí)線為理論預(yù)測曲線，虛線為試驗(yàn)曲線。

從圖3～5中不難發(fā)現(xiàn)，該模型可較好地描述節(jié)理巖體動(dòng)荷載下初始彈性變形階段、穩(wěn)態(tài)塑性變形階段和加速變形破壞階段。隨著沖擊速度的提高，節(jié)理巖體材料內(nèi)部產(chǎn)生了較大的塑性變形，模型曲線與實(shí)測結(jié)果相比略有偏低，這表明損傷型黏彈性本構(gòu)模型在描述強(qiáng)沖擊條件下節(jié)理巖體的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性方面略有不足。

圖3 不同傾角節(jié)理巖體試驗(yàn)與理論預(yù)測曲線比較Fig.3 Comparison between the theoretical and experimental curves of rock masses with joints of different inclination angles

圖4 不同貫通度節(jié)理巖體試驗(yàn)與理論預(yù)測曲線比較Fig.4 Comparison oftestand theoretical curves at different transfixion degrees of joint rock mass

圖5 不同應(yīng)變率節(jié)理巖體試驗(yàn)和理論預(yù)測曲線比較Fig.5 Comparison of theoretical and experimental curves of joint rock masses at different strain rates

在SHPB試驗(yàn)中，由于受到試驗(yàn)技術(shù)條件和數(shù)據(jù)選取主觀性的限制，動(dòng)態(tài)測試曲線與本構(gòu)模型曲線在塑形變形階段存在一定的偏差，這也造成了模型預(yù)測和試驗(yàn)結(jié)果的不符。通常認(rèn)為，測試曲線中的穩(wěn)定發(fā)展階段為材料的實(shí)體彈性模量，然而相近應(yīng)變率下，實(shí)體彈性模量的離散性仍然較大，這也造成了模型曲線與試驗(yàn)曲線在穩(wěn)定發(fā)展階段的偏差。不過，由于該模型參數(shù)較少，且相對(duì)容易確定，因而在工程實(shí)踐中仍有較大的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)論

（1）基于復(fù)合損傷力學(xué)的觀點(diǎn)，引入節(jié)理巖體各向異性損傷張量，加載時(shí)的損傷變量，綜合考慮不同應(yīng)變率、不同幾何特征等多種因素研究了節(jié)理巖體的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，構(gòu)造了一個(gè)能夠描述節(jié)理巖體材料在沖擊荷載下動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)的損傷型黏彈性本構(gòu)模型。

（2）由于該本構(gòu)模型所取得參數(shù)是采用SHPB試驗(yàn)裝置對(duì)節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)所得，所以建立的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系模型具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

（3）本文提出的本構(gòu)模型中需確定的材料參數(shù)較少，且不需要很復(fù)雜的試驗(yàn)即可確定。

（4）本文試驗(yàn)中考慮了長徑比的效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)長徑比對(duì)強(qiáng)度特性有一定影響影響，建立的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型中并沒有考慮長徑比的因素，建議后續(xù)加強(qiáng)這方面的研究。

（5）在建立的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型中，沒有考慮圍壓的影響，而自然界的巖體大多處于有圍壓狀態(tài)，建議在后續(xù)的節(jié)理巖體本構(gòu)關(guān)系研究中，考慮圍壓的因素，建立更符合工程實(shí)際的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。

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