堆石料縮尺方法的分形特性及縮尺效應(yīng)研究

趙婷婷，周 偉，常曉林，馬 剛，馬 幸

（1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072）

1 引言

堆石壩對(duì)地形地質(zhì)條件適應(yīng)性較強(qiáng)、設(shè)計(jì)理論成熟、具有經(jīng)濟(jì)效益好、施工方法簡(jiǎn)單且抗震性能好的特點(diǎn)。隨著我國(guó)水利資源開(kāi)發(fā)深度和廣度的提高，在壩型選擇方面，堆石壩經(jīng)常被優(yōu)先考慮。堆石料作為壩體填筑的主要材料，其工程特性參數(shù)的準(zhǔn)確性也引起了廣泛的關(guān)注。在實(shí)際工程中，壩體填筑材料的粒徑一般為600～800 mm，也有一些實(shí)際工程采用大粒徑填筑材料，粒徑可以達(dá)到800～1 200 mm[1]。為了研究堆石料的性質(zhì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的現(xiàn)場(chǎng)和室內(nèi)試驗(yàn)。受現(xiàn)有試驗(yàn)條件限制，室內(nèi)試驗(yàn)常用的三軸儀直徑只有300 mm，而土工試驗(yàn)規(guī)范規(guī)定試驗(yàn)土料顆粒粒徑應(yīng)小于1/5～1/6的試樣直徑[2]，也就是說(shuō)室內(nèi)試驗(yàn)的控制粒徑為60 mm，與現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際粒徑相差甚遠(yuǎn)。這種情況下，使得對(duì)實(shí)際堆石料級(jí)配進(jìn)行縮尺成為一種必然。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)縮尺效應(yīng)的影響因素進(jìn)行了研究，研究角度包括縮尺方法[3－4]、縮尺比例[5]、試樣尺寸大小[6－11]、顆粒自身性質(zhì)以及顆粒破碎[12]等；研究方法以室內(nèi)試驗(yàn)方法為主[4－14]。數(shù)值模擬方法可以在人力、物力和時(shí)間方面彌補(bǔ)室內(nèi)試驗(yàn)的不足，并且可以實(shí)時(shí)觀測(cè)堆石料細(xì)觀組構(gòu)的演化過(guò)程[15－19]，是以室內(nèi)試驗(yàn)為主的堆石料研究手段的有力補(bǔ)充。縱觀整個(gè)研究過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，采用數(shù)值方法對(duì)級(jí)配縮尺方法的縮尺效應(yīng)研究較少。

不同縮尺方法制得堆石料試樣的顆粒級(jí)配分布，具有幾何非線(xiàn)性和復(fù)雜性，其粒度組成難以用確定性的幾何方法進(jìn)行研究，而分形理論卻為自然界中復(fù)雜無(wú)序而又具有內(nèi)在規(guī)律的系統(tǒng)提供了定量描述的方法[20]。分形理論自1982年形成以來(lái)[21]，在巖石斷裂、堆石料顆粒破碎、巖石和土粒子表面孔隙率等方面取得了一定的進(jìn)展[22－24]。在堆石料級(jí)配特征方面，朱晟等[25]選取對(duì)級(jí)配性質(zhì)較為敏感的Talbot公式的指數(shù)n 以及反映顆粒形狀與粗糙度的因子作為分形指標(biāo)，解譯粗粒料密實(shí)度出現(xiàn)縮尺效應(yīng)的內(nèi)在原因，為粗粒料級(jí)配構(gòu)成對(duì)密實(shí)度影響的量化評(píng)價(jià)提供依據(jù)，克服以往只能利用不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)進(jìn)行模糊評(píng)價(jià)的缺點(diǎn)。整體而言，對(duì)堆石料級(jí)配特征的分形特性研究較少，并且在研究手段方面，多用Tyler提出的質(zhì)量分形模型[24]。而采用基于顆粒流理論的數(shù)值模擬方法可以方便地統(tǒng)計(jì)顆粒數(shù)量，從而可以采用數(shù)量-粒徑分形模型進(jìn)行研究。

綜上所述，本文采用顆粒流程序PFC2D，建立以不同粒徑范圍內(nèi)顆粒數(shù)為測(cè)量數(shù)的分形模型，對(duì)堆石料級(jí)配縮尺方法的分形特性和縮尺效應(yīng)進(jìn)行了研究。采用6種縮尺方法制備試樣，分別研究了顆粒級(jí)配分布的分形特性和縮尺方法對(duì)試樣宏細(xì)觀力學(xué)特性的影響，并討論了數(shù)值試樣分形特性與力學(xué)特性之間的關(guān)系。

2 縮尺方法

根據(jù)文獻(xiàn)[2]規(guī)定，對(duì)粗粒料級(jí)配進(jìn)行縮尺，有以下4種處理方法可供選擇。

（1）剔除法：將超粒徑顆粒剔除。

（2）等量替代法：根據(jù)儀器允許的最大粒徑和粒徑大于5 mm的顆粒，按顆粒等質(zhì)量替換超粒徑顆粒。

（3）相似級(jí)配法：根據(jù)原級(jí)配曲線(xiàn)的粒徑，分別按照幾何相似等比例地將原樣粒徑縮小至儀器允許的粒徑，縮小后的土樣級(jí)配應(yīng)保持不均勻系數(shù)不變。

（4）混合法：同時(shí)采用（2）、（3）兩種方法，即先用適當(dāng)?shù)谋瘸呖s小，使小于5 mm粒徑顆粒的質(zhì)量不大于總質(zhì)量的30%，若仍有超粒徑顆粒再用等量替代法制樣。

以上幾種縮尺方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，剔除法使用簡(jiǎn)單方便，但在超徑顆粒含量較多時(shí)，很大程度改變了原級(jí)配堆石料的工程特性，該方法只宜在超徑料含量不大于10%的范圍內(nèi)使用；等量替代法保證了粗顆粒(≥5 mm)和細(xì)顆粒(≤5 mm)的含量不變，缺點(diǎn)是使粒徑縮小，均勻性增大；相似級(jí)配法的優(yōu)點(diǎn)在于保持顆粒級(jí)配的幾何形狀相似，不均勻系數(shù) Cu不變，但增加了小于5 mm的細(xì)顆粒含量，并且相似比尺M(jìn) 越大，這種現(xiàn)象越明顯；混合法綜合了等量替代法和相似級(jí)配法，資料表明，混合法取得的最大干密度與現(xiàn)場(chǎng)碾壓試驗(yàn)相接近。規(guī)范中對(duì)使用哪一種方法并沒(méi)有具體的規(guī)定，如何選擇合理的縮尺方法還需要進(jìn)一步研究。

為了研究不同縮尺方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，本文選用古水面板堆石壩的現(xiàn)場(chǎng)堆石料級(jí)配曲線(xiàn)作為原始級(jí)配曲線(xiàn)，堆石料最大粒徑為800 mm。采用6種方法對(duì)原級(jí)配料進(jìn)行縮尺，縮制成6條最大粒徑為600 mm的數(shù)值試驗(yàn)級(jí)配曲線(xiàn)?？s尺方法為等量替代法（DD）、相似級(jí)配法(SS)和不同相似比尺M(jìn)值的混合法（HH，M=3，5，7，10），其中M=3為室內(nèi)試驗(yàn)采用的級(jí)配縮尺方法，根據(jù)這條級(jí)配曲線(xiàn)生成數(shù)值試樣來(lái)標(biāo)定數(shù)值模擬需要的細(xì)觀參數(shù)。原始級(jí)配曲線(xiàn)與縮尺后的級(jí)配曲線(xiàn)如圖1所示。

圖1 級(jí)配曲線(xiàn)Fig.1 Grading curves

對(duì)圖1所示的級(jí)配曲線(xiàn)進(jìn)行分析，得到各條曲線(xiàn)的級(jí)配特征如表1所示。從表1可以看出，隨著級(jí)配縮尺方法從等量替代法到混合法再到相似級(jí)配法的轉(zhuǎn)變，粗顆粒含量不斷減少，不均勻系數(shù) Cu從5.52增加到20.39，曲率系數(shù) Cc從1.24增加到2.08。工程中規(guī)定級(jí)配良好的粗粒土多數(shù)粒徑分布曲線(xiàn)要呈光滑下凹的型式，坡度較緩，土粒大小連續(xù)，曲線(xiàn)主段粒徑之間有一定變化規(guī)律，能同時(shí)滿(mǎn)足Cu≥ 5及 Cc=1～3的條件[26]。由表1結(jié)果可知，不同縮尺方法得到的各級(jí)配堆石料試樣均能滿(mǎn)足這一條件，可用于進(jìn)一步的數(shù)值模擬。

表1 數(shù)值試樣級(jí)配曲線(xiàn)分析表Table 1 Analysis table of grading curve for numerical samples

3 縮尺方法的分形效應(yīng)

堆石料的級(jí)配分布從本質(zhì)上看是一個(gè)幾何問(wèn)題，但不同縮尺方法縮制得到試樣的粒度組成具有一定的幾何非線(xiàn)性和復(fù)雜性，難以用確定性的幾何方法進(jìn)行研究，而分形幾何為研究不規(guī)則幾何問(wèn)題提供了一種思路。

分形的基本定義如下：

式中：r為圖形的測(cè)度，即客體的特征尺度；N為對(duì)應(yīng)r 所得的測(cè)量數(shù)，即特征尺度r 的客體數(shù)目；D為該圖形的分維數(shù)。具體到堆石料級(jí)配分布的分形模型，可以認(rèn)為，堆石料顆粒級(jí)配分布是不同縮尺方法縮制形成試樣的一種量度，其粒度組成可以看作一種沒(méi)有特征長(zhǎng)度的結(jié)構(gòu)圖形。本文建立了一種不同于Turcotte[27]提出的分形模型，將粒徑在某一區(qū)間范圍內(nèi)顆粒數(shù)目占全體顆粒數(shù)目的比例yi(xi)作為測(cè)量數(shù)，對(duì)應(yīng)式（1）中的N，將該區(qū)間的上限粒徑xi作為測(cè)度，對(duì)應(yīng)式（1）中的r，研究顆粒級(jí)配分布的分形特性。

定義反映顆粒級(jí)配分布的函數(shù)為

式中：Ni為粒徑位于區(qū)間[ xi-1，xi]的顆粒數(shù)目；Nsum為試樣總顆粒數(shù)。如果顆粒級(jí)配分布具有分形結(jié)構(gòu)，由式（1）可得到如下關(guān)系

數(shù)值試驗(yàn)可以方便地統(tǒng)計(jì)不同粒徑區(qū)間的顆粒數(shù)目，不同縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣的顆粒數(shù)目分布如表2所示，數(shù)值試樣的生成方法見(jiàn)4.2節(jié)。

表2 試樣顆粒數(shù)目分布統(tǒng)計(jì)Table 2 Distribution statistics of the number of particles

由式（3）可知，如果lg(xi)和lg(yi)具有良好的線(xiàn)性關(guān)系，則說(shuō)明顆粒級(jí)配分布具有分形結(jié)構(gòu)，擬合直線(xiàn)的斜率則為分維數(shù)D 的相反數(shù)。圖2為lg(xi)和lg(yi)的線(xiàn)性擬合關(guān)系，表3為線(xiàn)性擬合結(jié)果的斜率及線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)。

由圖2和表3的擬合結(jié)果可以看出，除了等量替代法縮制試樣對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性相關(guān)程度較差（線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為0.87）以外，其余縮尺方法對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果線(xiàn)性程度均較好，說(shuō)明分維數(shù)D 能基本概括不同縮尺方法得到顆粒級(jí)配分布的變化趨勢(shì)特性，而等量替代法對(duì)顆粒級(jí)配各粒組的比例產(chǎn)生較大的擾動(dòng)。分維數(shù)的計(jì)算結(jié)果同樣列于表3。認(rèn)為等量替代法的相似比尺M(jìn)=1，相似級(jí)配法的相似比尺M(jìn)=1，由分維數(shù)D 的變化規(guī)律可知，隨著M 的增大，分維數(shù)從1.463增加到1.783。

4 數(shù)值試樣制備

4.1 數(shù)值試樣的密實(shí)程度

由于粗粒含量、顆粒大小、不均勻系數(shù)等原因都會(huì)影響堆石料的密度，所以堆石料的密實(shí)程度不能用某一密度或某一孔隙率來(lái)表示，而是采用相對(duì)密度Dr。

圖2 lg(xi)和lg(yi)的線(xiàn)性擬合Fig.2 Linear fitting between lg(xi)and lg(yi)

表3 線(xiàn)性擬合結(jié)果及分維數(shù)計(jì)算Table 3 Linear fitting results and fractal dimension calculation

首先需要確定不同縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣所對(duì)應(yīng)的最大孔隙率 nmax和最小孔隙率 nmin。參照相對(duì)密度試驗(yàn)獲取最小干密度時(shí)采用的松填法（固定體積法），可認(rèn)為，試樣顆粒在自重作用下落達(dá)到自然穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的孔隙率即為 nmax。采用PFC2D程序模擬這一過(guò)程，可以獲得不同縮尺方法對(duì)應(yīng)的nmax及換算得到的 emax列于表4。參照文獻(xiàn)[28]提出的方法，通過(guò)兩次改變顆粒的摩擦系數(shù)，使顆粒模型在圍壓為500 kPa下達(dá)到平衡，得到試樣的 nmin。不同縮尺方法對(duì)應(yīng)的 nmin及 emin同樣列于表4中。圖3為密實(shí)程度指標(biāo)與縮制試樣時(shí)所采用相似比尺M(jìn) 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢钥闯?，隨著M 的增大，各密實(shí)程度指標(biāo)均有一定程度的減小。

表4 不同縮尺方法對(duì)應(yīng)的密實(shí)程度Table 4 Dense degrees corresponding to different scale methods

圖3 密實(shí)程度指標(biāo)與縮尺方法的關(guān)系Fig.3 Relationship between dense degree index and scale method

古水面板堆石壩現(xiàn)場(chǎng)堆石料的相對(duì)壓實(shí)密度為0.85，所以取數(shù)值試樣的相對(duì)密度為0.85。Dr與孔隙率n 之間有如下關(guān)系：

由式（5）可以計(jì)算得到，采用不同縮尺方法生成數(shù)值試樣時(shí)所需的孔隙率如表5所示?？梢钥闯?，隨著M 值的增大，試樣的孔隙率逐漸減小。

表5 數(shù)值試樣的孔隙率Table 5 Porosities of numerical samples

4.2 數(shù)值試樣的細(xì)觀參數(shù)

為了得到雙軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ退璧募?xì)觀參數(shù)，對(duì)古水堆石料三軸剪切試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬。首先建立模型，生成四面墻體（300 mm×600 mm），頂墻和底墻模擬加載板，左、右墻模擬試樣側(cè)限圍壓。采用與室內(nèi)試驗(yàn)相同的縮尺方法（M=3的混合法）得到級(jí)配曲線(xiàn)生成顆粒試樣，為了防止生成顆粒數(shù)量過(guò)大，影響計(jì)算效率，對(duì)級(jí)配曲線(xiàn)進(jìn)行截?cái)嗵幚?，將粒徑小? mm的顆粒用粒徑為5 mm的顆粒進(jìn)行等體積替換。隨后進(jìn)行顆粒平衡達(dá)到初始平衡狀態(tài)。顆粒流模型的細(xì)觀與宏觀參數(shù)沒(méi)有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系[29－30]，只能通過(guò)不斷調(diào)整細(xì)觀參數(shù)，直至數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果與堆石料的宏觀性質(zhì)大體一致。本文選取如表6所示的細(xì)觀參數(shù)，能較好地模擬室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果。數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖4。

表6 數(shù)值試驗(yàn)細(xì)觀參數(shù)取值Table 6 Mecro-parameters of numerical experiment

圖4 數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)比圖Fig.4 Comparison between numerical experiment results and indoor test data

5 數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果分析

5.1 強(qiáng)度特性

根據(jù)模擬得到的細(xì)觀參數(shù)可基本反映堆石料的宏觀力學(xué)性質(zhì)，采用這些細(xì)觀參數(shù)和不同縮尺方法得到的級(jí)配曲線(xiàn)建立不同的雙軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，每一條級(jí)配曲線(xiàn)采用3種不同的圍壓0.5、1.0、1.5 MPa進(jìn)行3組雙軸壓縮試驗(yàn)。圍壓為0.5 MPa時(shí)得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)及體變曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 不同縮尺方法對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和體變曲線(xiàn)Fig.5 Relationship curves of stress vs.volume strain and axial strain based on different scale methods

由圖5可以看出，不同縮尺方法對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)趨勢(shì)大致相似，但隨著M 值的增大，試樣的峰值強(qiáng)度不斷增大，曲線(xiàn)初始階段的斜率也不斷增大，圍壓為1.0、1.5 MPa時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)也反映出了相似的規(guī)律。進(jìn)一步分析數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果，繪制出采用等量替代法縮制試樣在不同圍壓下破壞時(shí)的摩爾圓，如圖6所示，采用其他方法縮制試樣進(jìn)行雙軸試驗(yàn)，也可以得到相似的試驗(yàn)結(jié)果。分別采用摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度理論和鄧肯非線(xiàn)性強(qiáng)度理論[1]分析這一試驗(yàn)結(jié)果。

圖6 等量替代法對(duì)應(yīng)的莫爾圓及強(qiáng)度包線(xiàn)Fig.6 Mohr circles at failure and strength envelops of samples based on equivalent replacement method

（1）摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度理論

式中：τ為抗剪強(qiáng)度；c為黏聚力；σ為法向應(yīng)力；φ為內(nèi)摩擦角。堆石料為無(wú)黏性土，不存在嚴(yán)格意義上的黏聚力，但在密實(shí)情況下，顆粒間相互咬合，具有一定的表觀黏聚力，所以可以按照式（6）整理出顆粒試樣的強(qiáng)度指標(biāo)黏聚力c 和內(nèi)摩擦角φ，如表7所示。

表7 強(qiáng)度指標(biāo)Table 7 Strength indicators

結(jié)合表1、5、7進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，在不同的圍壓下，隨著級(jí)配縮尺方法從等量替代法到混合法再到相似級(jí)配法的轉(zhuǎn)變，細(xì)顆粒含量所占比例逐漸增加，各項(xiàng)強(qiáng)度指標(biāo)均有一定程度提高。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因在于不同的級(jí)配縮尺方法使得粗細(xì)顆粒的充填關(guān)系發(fā)生變化，隨著M 的增大，級(jí)配不均勻系數(shù) Cu越大，顆粒間的咬合作用越顯著。直接使用等量替代法縮尺，粒徑小于5 mm的顆粒含量很少，細(xì)顆粒不能很好地填充粗顆粒之間的孔隙，試樣孔隙率較大，粗細(xì)顆粒無(wú)法很好地咬合在一起。使用混合法時(shí)，隨著相似比的增大，細(xì)顆粒含量不斷增多，粗細(xì)顆粒之間的充填關(guān)系得到改善，試樣孔隙率不斷減小，抗剪強(qiáng)度也不斷提高，c、φ 都逐漸增大。使用相似級(jí)配法縮制得到的試樣c、φ 值最大。需要說(shuō)明的是，實(shí)際工程中堆石料細(xì)粒含量增加會(huì)導(dǎo)致堆石料強(qiáng)度降低，這是因?yàn)橥凉ぴ囼?yàn)規(guī)程[2]規(guī)定粒徑小于0.1 mm的土顆粒為細(xì)粒，該粒組多為黏粒，這種細(xì)粒越多，對(duì)顆粒集合體的潤(rùn)滑作用越明顯，導(dǎo)致土體的強(qiáng)度降低。而本文中的細(xì)顆粒是指粒徑小于5 mm的顆粒，這種粒徑相對(duì)較小顆粒的性質(zhì)和作用與黏粒截然不同，在堆石體中可以起到改善顆粒填充關(guān)系的作用，所以試樣的強(qiáng)度指標(biāo)有了一定程度的提高。

（2）鄧肯非線(xiàn)性強(qiáng)度理論

式中：φ0為圍壓為 Pa時(shí)的φ；Δφ為φ-lg(σ3/ Pa)關(guān)系曲線(xiàn)上的斜率，反映了強(qiáng)度隨著圍壓的降低；Pa為大氣壓。該理論認(rèn)為，堆石料顆粒之間沒(méi)有黏聚力，過(guò)原點(diǎn)作一個(gè)應(yīng)力圓的切線(xiàn)，獲得φ，不同的圍壓σ3對(duì)應(yīng)不同的φ，如圖6所示。整理得到兩個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)φ0和 Δφ，列于表7中。

分析表7中數(shù)據(jù)可知，隨著相似比尺M(jìn) 值的增大，φ0也有一定程度增大，表明圍壓為Pa時(shí)的內(nèi)摩擦角不斷增大；而反映強(qiáng)度隨圍壓降低程度的指標(biāo)Δφ 則不斷減小。以上強(qiáng)度指標(biāo)的變化可以說(shuō)明，在使用等量替代法進(jìn)行縮尺時(shí)，由于顆粒之間的充填關(guān)系不好，試樣的抗剪強(qiáng)度較低，增大圍壓會(huì)更大程度上影響試樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使抗剪強(qiáng)度產(chǎn)生更明顯的變化。使用混合法和相似級(jí)配法縮制的試樣，顆粒間充填關(guān)系變好，顆粒模型結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定，試樣抗剪強(qiáng)度逐漸增大，受?chē)鷫旱挠绊懗潭纫仓饾u減弱。此外，由表7中的數(shù)據(jù)可以看出，數(shù)值模擬得到的強(qiáng)度指標(biāo)比實(shí)際堆石料物理試驗(yàn)得到的強(qiáng)度指標(biāo)偏大，尤其是φ0明顯偏高，造成這一結(jié)果的原因可能是，數(shù)值模擬中堆石料為剛性顆粒，無(wú)法模擬實(shí)際堆石料的顆粒破碎行為。如何使離散元的數(shù)值模型更真實(shí)地模擬實(shí)際堆石體的力學(xué)行為是在今后的工作中需要深入研究的問(wèn)題。

5.2 變形特性

由圖5中等量替代法、相似級(jí)配法及M=5的混合法3種方法在圍壓為500 kPa時(shí)的體變曲線(xiàn)可以看出，在剪切過(guò)程中，顆粒模型均先發(fā)生剪縮再發(fā)生剪脹，但不同縮尺方法獲得的試樣剪縮及剪脹程度不同。由于粗細(xì)顆粒的充填關(guān)系不同，由等量替代法得到的模型細(xì)顆粒較少，在加壓過(guò)程中，沒(méi)有足夠的細(xì)顆粒填充粗顆粒之間的孔隙，以致剪縮程度較小，剪脹效應(yīng)明顯。而相似級(jí)配法生成的模型，細(xì)顆粒含量較多，在加壓過(guò)程中，細(xì)顆粒能夠更好地填充粗顆粒的孔隙，剪縮現(xiàn)象較明顯，混合法制備模型的體變曲線(xiàn)居中。

顆粒試樣變形特性可以通過(guò)變形模量E 和泊松比ν 來(lái)反映。E為偏應(yīng)力達(dá)到峰值強(qiáng)度1/2時(shí)的割線(xiàn)模量，ν為該點(diǎn)的徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值，在二維雙軸壓縮試驗(yàn)情況下，可以由下式計(jì)算得到。

式中：Δεx為徑向應(yīng)變；Δεy為軸向應(yīng)變；ΔεV為體積應(yīng)變。圍壓為500 kPa時(shí)，E 和ν 與縮制試樣時(shí)采用的M 的關(guān)系如圖7所示。由圖7可見(jiàn)，E 隨著M 值的增大而逐漸增大，ν 隨著M 的增大而減小。E 的變化規(guī)律可以說(shuō)明，由相似級(jí)配法縮制的顆粒試樣粗細(xì)顆粒間充填關(guān)系好，形成了更為穩(wěn)定密實(shí)的結(jié)構(gòu)，受到初始階段的剪切作用發(fā)生較小的軸向變形，隨著相似比尺M(jìn) 的減小，這種影響逐漸減弱，所以E 增大。ν 的變化規(guī)律可以說(shuō)明，隨著M 的增大，顆粒間咬合作用顯著，使得試樣的側(cè)向變形能力減弱，所以ν 減小。

圖7 變形模量E 和泊松比ν 與縮尺方法的關(guān)系Fig.7 Relationship between deformation modulus E and poisson’s ratio ν with scale method

5.3 細(xì)觀響應(yīng)

采用基于顆粒流方法的數(shù)值試驗(yàn)研究堆石料的力學(xué)特性，為從細(xì)觀角度分析試樣的力學(xué)行為提供了可能，數(shù)值模擬可以實(shí)時(shí)觀測(cè)堆石料細(xì)觀組構(gòu)的演化過(guò)程。堆石料顆粒之間的接觸作用可以通過(guò)顆粒模型的配位數(shù)、平均法向接觸力、平均切向接觸力等細(xì)觀響應(yīng)的演化過(guò)程進(jìn)行研究。配位數(shù)的演化曲線(xiàn)如圖8所示，平均法向接觸力、平均切向接觸力的演化曲線(xiàn)如圖9所示。

圖8 配位數(shù)演化曲線(xiàn)Fig.8 Evolution curves of coordination number

圖9 平均法向接觸力和平均切向接觸力演化曲線(xiàn)Fig.9 Evolution curves of average normal contact force and average tangential contact force

配位數(shù)指試樣中顆粒的平均接觸點(diǎn)數(shù)，配位數(shù)越大，說(shuō)明顆粒結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定。由圖8可以看出，6種縮尺方法對(duì)應(yīng)試樣的配位數(shù)變化規(guī)律相似，在剪切試驗(yàn)的開(kāi)始階段，試樣產(chǎn)生一定的剪縮，顆粒模型更加密實(shí)，配位數(shù)略有上升，隨后由于試樣發(fā)生剪脹，配位數(shù)開(kāi)始不斷減小。其中采用相似級(jí)配法縮制的試樣配位數(shù)最大，采用等量替代法縮制的試樣配位數(shù)最小，采用混合法縮制的試樣配位數(shù)居中，并且M 越大，配位數(shù)越大。這就從細(xì)觀角度解釋了各組試樣宏觀抗剪強(qiáng)度不同的原因，由相似級(jí)配法縮制的試樣顆粒充填關(guān)系好，形成更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出了更高的強(qiáng)度。

由圖9可以看出，在同一個(gè)試樣中，平均法向接觸力要比平均切向接觸力大很多。平均法向接觸力和切向接觸力具有相同的演化規(guī)律，隨著雙軸壓縮試驗(yàn)的進(jìn)行，各接觸力逐漸增大，在軸向應(yīng)變2%附近，各接觸力達(dá)到峰值，隨后開(kāi)始減小，變化幅度不大。對(duì)比不同縮尺方法縮制試樣的接觸力可以發(fā)現(xiàn)，隨著M 值的增大，顆粒間各接觸力不斷減小。結(jié)合圖8配位數(shù)的演化曲線(xiàn)，可以解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，配位數(shù)大，說(shuō)明顆粒接觸數(shù)較多，使得平均接觸力較小。

6 分維數(shù)與力學(xué)特性指標(biāo)的關(guān)系

由上述數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可知，數(shù)值試樣的力學(xué)特性受到縮尺方法的影響，而分維數(shù)D 能概括不同縮尺方法得到的顆粒級(jí)配分布的變化趨勢(shì)特性，所以有必要對(duì)D與堆石料力學(xué)特性指標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步研究。數(shù)值試樣密實(shí)程度指標(biāo)與D 的關(guān)系如圖10所示，強(qiáng)度及變形特性指標(biāo)與D 的關(guān)系如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，除了等量替代法以外，其余各縮尺方法所對(duì)應(yīng)的D與各指標(biāo)間的關(guān)系可以用直線(xiàn)進(jìn)行擬合，根據(jù)這一擬合關(guān)系可以認(rèn)為，等量替代法對(duì)原始堆石料的顆粒級(jí)配擾動(dòng)較大。除等量替代法以外各級(jí)配縮尺方法D與力學(xué)特性指標(biāo)的擬合結(jié)果列于表8，該擬合關(guān)系為根據(jù)堆石料的級(jí)配特性曲線(xiàn)確定堆石料的力學(xué)特性指標(biāo)提供了一種思路。

圖10 密實(shí)程度指標(biāo)與分維數(shù)關(guān)系Fig.10 Relationship between dense degree index and fractal dimension

圖11 強(qiáng)度特性及變形特性指標(biāo)與分維數(shù)關(guān)系Fig.11 Relationship between index of strength and deformation characteristics with fractal dimension

表8 分維數(shù)與力學(xué)特性指標(biāo)擬合結(jié)果Table 8 Fitting results of fractal dimension and mechanical properties index

7 結(jié)論

（1）通過(guò)6種不同縮尺方法得到不同的顆粒級(jí)配分布曲線(xiàn)，隨著相似比尺M(jìn) 的增大，粗顆粒含量不斷減小，不均勻系數(shù) Cu及曲率系數(shù) Cc逐漸增大。

（2）建立以顆粒數(shù)目為測(cè)量數(shù)的分形模型，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值試樣的顆粒級(jí)配分布具有分形特性，隨著相似比尺M(jìn) 由1增加到13，顆粒級(jí)配分布的分維數(shù)D 由1.463增加到1.783。

（3）顆粒級(jí)配分布的變化導(dǎo)致數(shù)值試樣力學(xué)特性產(chǎn)生相應(yīng)的改變。宏觀響應(yīng)方面，隨著M 的增大，密實(shí)程度指標(biāo) nmax、nmin、emax、emin不斷減??；強(qiáng)度特性指標(biāo)c、φ、φ0逐漸增大， Δφ 逐漸減小；變形特性指標(biāo)E 逐漸增大，ν 逐漸減小。細(xì)觀響應(yīng)方面，隨著M 的增大，配位數(shù)逐漸增大，顆粒間的平均法向接觸力和切向接觸力不斷減小。

（4）等量替代法對(duì)原始堆石料的顆粒級(jí)配擾動(dòng)較大，除等量替代法之外的其余縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣的顆粒級(jí)配分布分維數(shù)D與力學(xué)特性指標(biāo)nmax、nmin、emax、emin、c、φ、φ0、Δφ、E、ν之間存在較好的線(xiàn)性關(guān)系。這一擬合關(guān)系為根據(jù)堆石料的級(jí)配特征曲線(xiàn)確定堆石料的力學(xué)特性指標(biāo)提供了一種思路，在以后的研究中，可以將顆粒級(jí)配分布的D 作為力學(xué)特性指標(biāo)的量化參數(shù)。

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