二維隨機場下邊坡穩(wěn)定性的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡分析法

舒蘇荀，龔文惠

（華中科技大學 土木工程與力學學院，湖北 武漢 430074）

1 引 言

安全系數(shù)法無法考慮邊坡工程中的各種主觀和客觀不確定因素；可靠度分析方法雖然能對這些不確定性分別加以某種形式的定量考慮，但相關的行業(yè)標準和規(guī)范尚不健全[1]。采用安全系數(shù)和可靠度相結合的評價標準，可以準確和全面地衡量邊坡在各種不確定因素影響下的穩(wěn)定性。

受巖土體內(nèi)部物質(zhì)成分、結構構造以及外部環(huán)境條件的影響，土的性質(zhì)具有空間變異性：即土層中任意兩點的土性特征既差別又相關，且相關性隨著兩點間距離的增加而減小[2]。采用隨機變量模型的傳統(tǒng)可靠度分析方法并未充分考慮這種空間變異性[3]。為此，Griffiths[4]、潘健[5]、吳振君[6]、楊繼紅[7]等將Vanmarcke的隨機場模型[8]引入邊坡的可靠度分析，利用一維隨機場或各向同性隨機場模擬土性參數(shù)的空間變異性。實際上，土的層狀結構導致土性參數(shù)在水平方向和豎向上的空間變異性顯著不同，用二維隨機場模擬土性參數(shù)的空間分布更為合理。但二維隨機場模型下邊坡可靠度的計算較為復雜耗時，如果能建立邊坡參數(shù)與失效概率、安全系數(shù)之間的映射，根據(jù)邊坡參數(shù)由映射直接得到失效概率和安全系數(shù)，將能極大地提高邊坡穩(wěn)定性分析效率。

基于以上考慮，本文利用徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡良好的非線性映射和函數(shù)逼近能力，建立二維隨機場模型下邊坡失效概率和安全系數(shù)的預測模型，用于對邊坡進行穩(wěn)定性分析。

2 隨機場和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡理論

2.1 隨機場理論

視土層為統(tǒng)計均勻的前提下，土性參數(shù)的空間分布特征可以用隨機場來描述：土層中相距為τ 的任意兩點的土性特征是否相關，由τ 與土體波動范圍δ 的大小關系決定，τ >δ 時，兩點的土性特征基本不相關；τ <δ 時，兩點土性特征的相關程度由相關函數(shù) ρ (τ) 表征。

不同于隨機變量模型描述土性參數(shù)的點特征，隨機場模型描述的是土性參數(shù)的空間平均特征[8]。考慮圖1中二維隨機場S (t1，t2)的兩個矩形單元D和D′，它們的面積分別為 T1× T2和，形心坐標分別為（t1i，t2i）和（）。

采用局部平均法[9]對隨機場進行離散時，S (t1，t2)在D 和D′內(nèi)的局部平均分別為

式中：T1m和 T2n（m，n=0，1，2，3）的幾何意義見圖1；Γ2(T1m，T2n)是以 T1m和 T2n為邊長的矩形單元的方差折減函數(shù)，它表征由于空間平均而使該單元的點方差向空間平均方差縮減的程度。

通過對每個單元進行局部平均，土性參數(shù)的隨機場被離散成各個單元上的隨機變量。對于相關函數(shù)為指數(shù)余弦型函數(shù)或高斯函數(shù)的隨機場，還可以通過降維的方法將二維隨機場簡化為兩個方向上的一維隨機場[10]。

圖1 二維單元的局部平均Fig.1 Local average of two-dimensional element

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡理論

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡是一種基于徑向基函數(shù)的前向型人工神經(jīng)網(wǎng)絡，它的學習能力與映射能力均強于巖土工程中常用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，且不會陷入局部極小[11-12]。圖2為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的一種典型結構，它由輸入層、隱含層和輸出層組成；各層包含若干神經(jīng)元，神經(jīng)元在層間通過激勵函數(shù)傳遞信息。

設輸入層神經(jīng)元為X=(x1，x2，…，xo)T，隱含層神經(jīng)元為U=(u1，u2，…，up)T，輸出層神經(jīng)元為Y=(y1，y2，…，yq)T。采用高斯徑向基函數(shù)時，隱含層神經(jīng)元可以表示為

式中：Cj=（c1，c2，…，co）T為 uj的徑向基函數(shù)中心向量；σj為 uj的徑向基函數(shù)寬度；為X 與Cj之間的徑向距離。

輸出層神經(jīng)元可以表示為

式中： wjk為 uj與 yk之間的連接權值，由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡在訓練過程中自行調(diào)整。

通過式（4）、（5），RBF神經(jīng)網(wǎng)絡可以建立由輸入層到隱含層，再到輸出層的映射。

3 邊坡穩(wěn)定性分析方法

本文的邊坡穩(wěn)定性分析方法主要由3個部分組成：生成邊坡參數(shù)的隨機樣本、求解各組樣本的安全系數(shù)和失效概率、訓練并建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型。分析流程如圖3所示。

3.1 邊坡參數(shù)樣本的生成

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練效果與樣本容量有關，在一定的范圍內(nèi)，樣本容量越大，訓練效果越好。由于難以同時收集到大量工程實例的數(shù)據(jù)，且土體波動范圍的資料經(jīng)常缺失，本文根據(jù)表1中歸納的邊坡土性參數(shù)常用分布范圍[13-18]及算例的幾何參數(shù)采用拉丁超立方抽樣（Latin hypercube sampling，LHS）方法產(chǎn)生參數(shù)的隨機樣本。

LHS方法是一種高效的分層多維抽樣方法，其基本原理詳見文獻[1]，具體的抽樣過程可以在Matlab中利用相關的函數(shù)實現(xiàn)。

圖3 邊坡穩(wěn)定性分析流程Fig.3 Flow chart of slope stability analysis

表1 邊坡土性參數(shù)分布范圍Table 1 Distribution ranges of soil parameters

3.2 樣本的邊坡穩(wěn)定性分析

3.2.1 安全系數(shù)的計算

確定性的邊坡穩(wěn)定性分析方法主要有極限平衡法、極限分析法和有限元強度折減法。由于在二維隨機場模型下求解失效概率需要對邊坡劃分網(wǎng)格，為保持一致，此處采用有限元強度折減法計算各組參數(shù)樣本對應的安全系數(shù)。計算過程中視邊坡土體為理想彈塑性材料，服從摩爾-庫侖強度準則。通過用強度折減系數(shù)Ft對土體的抗剪強度參數(shù)c 和φ 進行折減

得到一組新的抗剪強度參數(shù)c′和φ′。用c′和φ′進行有限元分析，通過改變Ft調(diào)整c′和φ′的數(shù)值，使邊坡達到臨界狀態(tài)（以有限元計算不收斂作為判據(jù)），取此時的強度折減系數(shù)為邊坡的安全系數(shù)Fs。

3.2.2 可靠度計算

在土性參數(shù)的二維隨機場模型下，將蒙特卡羅模擬和有限元法結合求解各組參數(shù)樣本對應的邊坡可靠度，步驟如下：

（1）根據(jù)應力梯度劃分邊坡模型的有限元網(wǎng)格。

（2）生成土性參數(shù)的隨機場，并采用局部平均法離散。為方便下一步的操作，令局部平均單元的尺寸與有限元網(wǎng)格的尺寸相同。

（3）將離散后的隨機場疊加到有限元網(wǎng)格上（見圖4），用強度折減法分析邊坡是否失穩(wěn)。圖中有限單元的顏色越深，表示該單元的抗剪強度越高。

圖4 隨機場疊加到有限元網(wǎng)格Fig.4 Ramdom field mapping onto finite element mesh

（4）重復步驟（2）～（3）M（M為蒙特卡羅模擬的次數(shù)）次。雖然每次土性參數(shù)的均值和標準差、土體的水平波動范圍和豎向波動范圍均相同，但由于生成的隨機場不同，土性參數(shù)的空間分布是不同的。當M 足夠大時，設其中邊坡失穩(wěn)發(fā)生了M′次，則邊坡失效概率Pf可以近似為

進而得到邊坡的可靠度指標為

3.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的建模

從分析后的參數(shù)樣本中隨機抽取20組作為測試樣本，用余下的樣本對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練。分開訓練用于預測安全系數(shù)和失效概率的神經(jīng)網(wǎng)絡。其中，預測安全系數(shù)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入變量為c 和φ 的均值、坡角α 和坡高H（γ 和υ 對計算精度影響相對較小[19]，可視其為常數(shù)，分別取值為20 kN/m3和0.3）。而預測失效概率的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入變量除上述參數(shù)外，還包括c 和φ 的變異系數(shù)以及δh和δv。

采用正交最小二乘法對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練，當預測精度滿足要求時，即可停止訓練。為避免訓練樣本中各變量的分布范圍差異過大影響神經(jīng)網(wǎng)絡的預測效果，訓練前先用下式將各變量的分布范圍歸一化到0～1內(nèi)。

式中：xil為第l 組樣本中變量 xi的原始值；min{ xi}和max{ xi}分別為所有樣本中參數(shù) xi的最小值和最大值。

在訓練結束后，再用下式將各變量還原到原始的分布范圍。

4 算例分析

采用圖5中的邊坡模型，為使建立的模型對參數(shù)在一定范圍內(nèi)的邊坡均可適用，考慮坡角α 的范圍為14°～45°，坡高H 的范圍為5～30 m。結合表1中土性參數(shù)的分布特征，利用拉丁超立方抽樣法生成500（由試算法確定）組邊坡參數(shù)的隨機樣本，按本文方法建立邊坡穩(wěn)定性分析的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型。所建模型對測試樣本的預測效果見表2，預測值和計算值的對比見圖6。

圖5 邊坡計算剖面Fig.5 Slope profile

表2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型預測效果Table 2 Prediction performance of RBF neural network model

表2中，有限元強度折減法與Morgenstern-Price極限平衡法[20]得到的安全系數(shù)計算結果基本一致，最大誤差不超過0.094，這表明本文利用有限元強度折減法計算均質(zhì)土坡的安全系數(shù)是可靠的。20組測試樣本安全系數(shù)計算值與預測值的最大絕對誤差為0.047，平均絕對誤差為0.011，可見所建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型對安全系數(shù)具有較好的預測效果。

圖6 計算值與預測值對比Fig.6 Comparisons between calculated and predicted results

雖然第5、7、10、15組測試樣本失效概率預測值與計算值之間的絕對誤差均大于0.02，但兩者之間的差異是可以接受的：（1）這幾組測試樣本失效概率的相對誤差較?。ǚ謩e為2.26%、3.73%、4.83%和10.34%）；（2）第5、7、10組測試樣本的安全系數(shù)均小于1，失效概率均大于0.8，表明邊坡已經(jīng)破壞，第15組測試樣本的安全系數(shù)在1.1和1.2之間，失效概率大于0.19，表明邊坡有較大的失穩(wěn)可能性，需采取相應措施，這兩種情況下，表中失效概率的絕對誤差并不會影響對邊坡穩(wěn)定性的判斷。綜合考慮所有的測試樣本，失效概率的平均絕對誤差為0.009，這表明，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型對失效概率同樣具有良好的預測精度。此外，對比表中二維隨機場模型與各向同性隨機場模型下的失效概率計算結果，可以發(fā)現(xiàn)：采用各向同性隨機場模型得到的計算結果大部分偏高，小部分偏低，這表明采用二維隨機場模型得到的計算結果會更為精確。

圖6中，安全系數(shù)的預測值與計算值幾乎完全吻合。除了第5、7、10、15組測試樣本，失效概率的預測值與計算值均能較好擬合。這表明，建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型可以用于邊坡的穩(wěn)定性分析。

從計算時間來看，雖然直接用有限元強度折減法計算邊坡的安全系數(shù)較為快捷，但在土性參數(shù)二維隨機場模型下計算邊坡的可靠度需要耗費一定的時間（測試樣本的平均耗時為41.5 min）。而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型一旦建成，可以同時對多個邊坡進行分析，且對安全系數(shù)和失效概率的預測耗時不到1 min。

5 結 論

（1）基于二維隨機場模型的邊坡可靠度分析方法比基于隨機變量的邊坡可靠度分析方法更能合理描述土性參數(shù)的空間變異性，得到相對精確的結果。

（2）根據(jù)邊坡參數(shù)的分布特征，采用拉丁超立方抽樣產(chǎn)生參數(shù)樣本，將經(jīng)過確定性分析和可靠度分析后的樣本數(shù)據(jù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練樣本。這樣既可以通過增加訓練樣本數(shù)目來提高RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度，又避免了實際工程中難以尋找大量邊坡參數(shù)數(shù)據(jù)的難題。且本文所建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡邊坡穩(wěn)定性分析模型對土性參數(shù)和幾何參數(shù)在本文考慮范圍內(nèi)的均質(zhì)邊坡均可適用。

（3）通過用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡建立邊坡參數(shù)與安全系數(shù)和失效概率的映射，省略了繁瑣的計算過程，可由邊坡參數(shù)直接得到安全系數(shù)和失效概率的計算結果，極大地提高了邊坡穩(wěn)定性分析的效率。

本文所建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡分析模型適用于均質(zhì)邊坡，對于非均質(zhì)邊坡，亦可依照本文方法建立其穩(wěn)定性分析模型。但由于現(xiàn)階段在二維隨機場模型下計算非均質(zhì)邊坡的失效概率較為復雜，建議采用一維隨機場或各向同性隨機場進行近似處理，隨機場的模擬方法也可由局部平均法替換為方差折減法等相對簡單的隨機場離散方法，具體工作將在今后繼續(xù)展開。

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