貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用

趙克勤,趙森烽

（1.浙江大學(xué) 非傳統(tǒng)安全與和平發(fā)展研究中心集對分析研究所，浙江 杭州 310058； 2. 諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所， 浙江 諸暨311811； 3.浙江工業(yè)大學(xué) 之江學(xué)院，浙江 杭州 310024）

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貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用

趙克勤1,2,趙森烽3

（1.浙江大學(xué) 非傳統(tǒng)安全與和平發(fā)展研究中心集對分析研究所，浙江 杭州 310058； 2. 諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所， 浙江 諸暨311811； 3.浙江工業(yè)大學(xué) 之江學(xué)院，浙江 杭州 310024）

為研究貝葉斯概率與其后驗(yàn)概率的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化以及聯(lián)系數(shù)化后的貝葉斯推理，定義了貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率，其數(shù)學(xué)形式等同于古典概型、幾何概型、頻率概型的趙森烽-克勤概率，借助趙森烽-克勤概率中隨機(jī)轉(zhuǎn)換器i的作用，把貝葉斯概率的后驗(yàn)概率分為增益型、衰減型、維持型，在此基礎(chǔ)上給出貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率轉(zhuǎn)換定理與相應(yīng)算法，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率具有智腦思維的完整性、前瞻性和靈活性等特點(diǎn)，從而為人工智能和其他領(lǐng)域應(yīng)用貝葉斯推理開辟出一條新途徑。

貝葉斯概率；趙森烽-克勤概率; 聯(lián)系數(shù)； 后驗(yàn)值；智腦思維特性；集對分析

基于文獻(xiàn)[1-3]關(guān)于事物的確定性關(guān)系與不確定性關(guān)系組成一個(gè)不確定性子系統(tǒng)的集對分析（set pair analysis,SPA）理論，文獻(xiàn)[4-6]先后借助“白球+黑球”隨機(jī)試驗(yàn)，向指定區(qū)域隨機(jī)投針試驗(yàn)，擲分幣與擲骰子隨機(jī)試驗(yàn)，說明隨機(jī)性是事物相互聯(lián)系的一個(gè)屬性，隨機(jī)事件成對存在，在此基礎(chǔ)上提出聯(lián)系概率 （connection probability, CP）,（也稱“趙森烽-克勤概率” （Zhao Senfeng-Keqin probability,ZKP）；論證了無論是古典概型概率（classical probability, CP）,幾何概型概率 （geometric probability, GP）,還是頻率型概率 （frequency probability, FP），都可以化為趙森烽-克勤概率ZKP來補(bǔ)充伴隨事件的信息作新的研究；文獻(xiàn)[7-8]將趙森烽-克勤概率ZKP應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)決策研究得到了新的風(fēng)險(xiǎn)決策模型。習(xí)慣上，古典概型概率CP、幾何概型概率GP和頻率型概率FP統(tǒng)稱為“客觀概率”（objective probability, OP），因?yàn)檫@三類概率都能用客觀上可重復(fù)或可大量重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)證。但在現(xiàn)實(shí)世界中，有些隨機(jī)現(xiàn)象不能大量重復(fù)甚至不能重復(fù)，例如遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的精確打擊，航天器的成功升空，地外天體探索器的返回，粒子對撞機(jī)的建造和正常運(yùn)行，以及大地震、核泄漏、飛機(jī)失事、列車追尾相撞、商廈大火、山體滑坡等等非傳統(tǒng)安全問題，對于這類事件，又如何確定相應(yīng)的概率？在概率論的發(fā)展史上和概率的大量實(shí)際應(yīng)用中，人們已有相應(yīng)的解決辦法，這就是與上述“客觀概率”相對立的所謂“主觀概率（subjective probability, SP）”。歷史上，貝葉斯（Thomas Bayes）首先研究了此類概率，所以也稱“貝葉斯概率”（Bayes probability,BP），如今，“貝葉斯概率”已得到廣泛應(yīng)用，基于“貝葉斯概率”的不確定性推理已是人工智能的一項(xiàng)重要推理技術(shù)[9-13]。人們會問：對于貝葉斯概率，是否也存在著類似于文獻(xiàn)[4-6]所述的“趙森烽-克勤概率”，貝葉斯公式又能否采用趙森烽-克勤概率加以表達(dá)和運(yùn)算，以開辟出人工智能不確定性推理的新途徑，本文試對這一問題作出回答，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（Bayes probability-Zhao Senfeng-Keqin probability, BZKP）的應(yīng)用,并簡要討論貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP的智能化思維特性。

1 貝葉斯概率

1.1 貝葉斯

貝葉斯（1702-1763）是英國數(shù)學(xué)家，創(chuàng)立了著名的貝葉斯概率（BP）和貝葉斯理論（Bayes theory,BT），在統(tǒng)計(jì)決策、統(tǒng)計(jì)推斷和統(tǒng)計(jì)估算等方面有重要貢獻(xiàn)，促進(jìn)了現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的形成和發(fā)展。

1.2 貝葉斯定義的概率

貝葉斯把概率定義為人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識對一個(gè)命題的主觀信任程度的描述，這種描述用一個(gè)在[0，1]取值的信任函數(shù)-置信度表示，顯然，這樣的概率是一種“主觀概率”，在概率統(tǒng)計(jì)發(fā)展史上，人們把這種“主觀概率”稱為“貝葉斯概率”。

例如企業(yè)開發(fā)某新產(chǎn)品，需要預(yù)先對該產(chǎn)品在市場上的暢銷與否作出判斷，由于難以在開發(fā)前做大量的隨機(jī)試驗(yàn)，只能由企業(yè)家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和信念作出估計(jì)，例如認(rèn)為暢銷的概率是0.8；又如投資家認(rèn)為“購買某節(jié)能環(huán)保股票能獲得高收益”的概率是0.9；科技人員認(rèn)為“某課題獲得立項(xiàng)”的概率為0.95，腫瘤外科醫(yī)生根據(jù)自己多年的臨床經(jīng)驗(yàn)和一位腫瘤患者的病情估計(jì)該患者腫瘤的手術(shù)成功可能性是99%，乘坐某航班安全到達(dá)目的地的概率是99.999%等，都是人們憑經(jīng)驗(yàn)、知識或判斷能力對所關(guān)注事件發(fā)生可能性給出的一個(gè)信念的度量值，其“主觀色彩”昭然若揭，稱其為“主觀概率”名副其實(shí)。

1.3 貝葉斯概率的特性

特性1主觀性。貝葉斯概率的主觀性前文已述。歷史上，貝葉斯概率的主觀性曾遭到一些數(shù)學(xué)家的批評，認(rèn)為這種主觀的概率確定方法不可取，但貝葉斯概率的廣泛和深入應(yīng)用已經(jīng)表明貝葉斯概率有一定的客觀合理性，這種客觀合理性本質(zhì)上是因?yàn)樨惾~斯概率具有特性2。

特性2后驗(yàn)性。人們事先憑經(jīng)驗(yàn)、知識或判斷能力對所關(guān)注事件發(fā)生的可能性給出的貝葉斯概率，可以在事后得到驗(yàn)證。例如，事先認(rèn)為某新產(chǎn)品暢銷的概率是0.8，當(dāng)這一新產(chǎn)品投放市場后，究竟是否暢銷就有了客觀上的答案；課題立項(xiàng)一旦公布，申報(bào)的課題是否立項(xiàng)也明確無疑；航班在飛歷了預(yù)定的航程后安全到達(dá)目的地等。

特性3不確定性。貝葉斯概率的不確定性既來自其主觀性，如不同的企業(yè)家對同一個(gè)新產(chǎn)品的市場信任度會不同；也來自其后驗(yàn)結(jié)果的不確定性，誰能確切地事先知道一個(gè)貝葉斯概率的實(shí)際后驗(yàn)結(jié)果是必然還是偶然等。

人們會問：貝葉斯概率的不確定性和后驗(yàn)性以及后驗(yàn)值是否可以被一種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式（一種“新的貝葉斯概率”）蘊(yùn)含在其中，從而使得這種“新的貝葉斯概率”是一種“完整的概率”，借此體現(xiàn)出人腦思維的完整性；并進(jìn)一步借助一定的規(guī)則由原先的貝葉斯概率去推知其后驗(yàn)值，借此體現(xiàn)出人腦思維的前瞻性；并且還能用一定的數(shù)學(xué)形式對應(yīng)可能出現(xiàn)的各種后驗(yàn)結(jié)果，借此體現(xiàn)出人腦思維的靈活性；回答是肯定的，這就是：貝葉斯概率的聯(lián)系數(shù)化，由此引出貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率。

2 貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率

2.1 原理

認(rèn)識論和人類的社會實(shí)踐告訴我們，人們對客觀事物的認(rèn)識是一個(gè)從知之不多到知之較多、從知部分到全部認(rèn)知、從片面認(rèn)識到全面認(rèn)識、從現(xiàn)象性的表面認(rèn)識到本質(zhì)性的深層次認(rèn)識、從錯(cuò)誤認(rèn)識到正確認(rèn)識的過程；在這個(gè)過程中，對已知部分的認(rèn)識呈現(xiàn)出相對的確定性，對未知部分的認(rèn)識呈現(xiàn)相對不確定性；需要在“實(shí)踐—認(rèn)識—再實(shí)踐—再認(rèn)識”的過程中不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，據(jù)此來減少對于“未知”認(rèn)識的不確定性；因此，當(dāng)需要客觀地定量刻畫和系統(tǒng)地分析人們認(rèn)知一個(gè)事物的全過程時(shí)，既需要對已知的相對確定性部分知識作出可置信意義上的刻畫，也需要對未知的不確定性部分知識作出置信與否不確定意義上的刻畫;并把這兩方面的刻畫結(jié)果反映在同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式中，既體現(xiàn)出人腦思維的完整性和靈活性，又便于前瞻地根據(jù)“已知”對“未知”展開系統(tǒng)性的分析并作出預(yù)見，以體現(xiàn)出人腦思維的前瞻性。這一陳述稱之為貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化的基本原理，以下簡稱原理。

2.2 定義

基于以上原理和文獻(xiàn)[5]中給出的概率補(bǔ)數(shù)定理以及有關(guān)集對分析聯(lián)系數(shù)的知識，定義貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率如下：

（1）

貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率也簡稱貝葉斯概型聯(lián)系概率或聯(lián)系概率（contact probability,CP）；這是因?yàn)槭剑?）與古典概型聯(lián)系概率、幾何概型聯(lián)系概率、頻率概型聯(lián)系概率,具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有以下3條性質(zhì)：

（2）

性質(zhì)2 歸一性，也就是

（3）

性質(zhì)3 完備性，也就是

（4）

2.3 轉(zhuǎn)換定理

定理對任意的一個(gè)貝葉斯概率，都可以轉(zhuǎn)換為趙森烽-克勤概率ZKP。

證明根據(jù)定義1即可得證。

2.4 后驗(yàn)取值

類型1衰減型后驗(yàn)

衰減型后驗(yàn)可以用以下的不等式表示：

（5）

顯然，根據(jù)趙森烽-克勤概率的性質(zhì)3可知不等式（5）的左邊有可能是負(fù)值。例如，設(shè)

類型2增益型后驗(yàn)

例如投資獲得超預(yù)期收益、申報(bào)的項(xiàng)目獲特批，開發(fā)的新產(chǎn)品意外地暢銷，這時(shí)的i在[0，1]取值。

增益型后驗(yàn)可以用以下不等式表示：

（6）

顯然，根據(jù)趙森烽-克勤概率的性質(zhì)3可知不等式（6）的左邊有可能是接近于1的值。例如，設(shè)

類型3一致型后驗(yàn)

后驗(yàn)值與前期給出的貝葉斯概率一致。一致型后驗(yàn)公式為

（7）

例如，設(shè)

另一方面看，上面所說的“衰減”，“增益”，“一致”，其實(shí)質(zhì)都是一種“后驗(yàn)”，即由后來的事實(shí)驗(yàn)證先前給出的貝葉斯概率，由此可見，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率是蘊(yùn)含了后驗(yàn)結(jié)果和后驗(yàn)值及其不確定性的一種新型概率，是能體現(xiàn)貝葉斯概率后驗(yàn)性和后驗(yàn)結(jié)果及其不確定性的一種良好的數(shù)學(xué)模型。所謂“良好”，是指既滿足式（2）所示的歸一化要求，又借助隨機(jī)轉(zhuǎn)換器i在i∈[-,1]的不同取值預(yù)設(shè)了不同方向的后驗(yàn)和后驗(yàn)的不同結(jié)果；例如可以是對前期主觀概率的一次“簡單衰減”，也可以是一次“復(fù)合衰減”（計(jì)及趙森烽-克勤概率中2個(gè)概率相互作用的“衰減”（見本節(jié)開頭和后面的例2），甚至是“多階段隨機(jī)過程的多次簡單或多次復(fù)合衰減”的后驗(yàn)；也可以是對前期主觀概率的一種“增益”性的后驗(yàn)，還可以是對前期主觀概率的“一致”性后驗(yàn)。

雖然由已知的貝葉斯概率得出貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率簡便容易，但采用趙森烽-克勤概率進(jìn)行貝葉斯公式的計(jì)算不是易事，因?yàn)樯婕暗节w森烽-克勤概率的條件概率計(jì)算。

3 基于趙森烽-克勤概率的條件概率

條件概率的計(jì)算公式為

（6）

例如，某公司從甲、乙2個(gè)生產(chǎn)廠家采購了N個(gè)節(jié)能燈泡，其中有不合格品，假定情況如表1。

表1 采購結(jié)果Table 1 The result of procurement

現(xiàn)從N個(gè)節(jié)能燈泡中任意取一個(gè)，考察以下事件：A為“取到次品”，B為“取到甲廠的”，不難得到事件A、B以及AB（取到甲廠生產(chǎn)的次品）的概率如下：

（7）

（8）

（9）

現(xiàn)在考慮B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率：由于所有可能發(fā)生的基本事件僅限于甲廠中的a+b,這當(dāng)中事件A包含的基本事件為B,因此在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率為

（10）

省略式（10）中間的式子后就得到條件概率定義：

定義2設(shè)A、B為兩事件，已知P（B）?0,則在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率為

（11）

式（11）為A對B的條件概率，簡稱條件概率。

（12）

顯然，第2種算法簡單。但是由第1種算法可以導(dǎo)出用趙森烽-克勤概率表示的條件概率計(jì)算公式，并展現(xiàn)出條件概率所蘊(yùn)含的二次不確定性，說明如下：

（13）

C[P（AB）]=Pc（AB）=P（AB）+[1-P（AB）]i

（14）

C[P（B）]=Pc（B）=P（B）+[1-P（B）]i

（15）

由此得趙森烽-克勤概率意義下的條件概率計(jì)算公式：

（16）

式（16）也稱為貝葉斯概型的趙森烽--克勤定理。

整理式（16）得

P（AB）+[1-P（AB）]i

（17）

4 貝葉斯公式的趙森烽-克勤定理

4.1 貝葉斯公式

貝葉斯公式也稱貝葉斯定理，是概率論中的一個(gè)重要公式，其表述如下：

設(shè)A1A2…An,…是兩兩互不相容的事件，且有

（18）

證明從略。

4.2 基于聯(lián)系數(shù)的貝葉斯公式

（19）

或

（20）

或

（21）

根據(jù)第3節(jié)，可以稱式（18）是貝葉斯公式聯(lián)系數(shù)化的第1種形式，或簡稱為一次式；式（19）和式（20）是貝葉斯公式聯(lián)系數(shù)化的第2種形式，或簡稱為二次式；在實(shí)際計(jì)算中采用何種形式，則根據(jù)問題求解需要選取。

5 實(shí)例應(yīng)用

例1 患病診斷應(yīng)用[11]

已知某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.000 4，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是有錯(cuò)誤的，已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性（有?。?，而沒患肝癌的人化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無?。?，現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽性，問1）他真的患肝癌的概率是多少？2）他真的患肝癌的趙森烽-克勤概率是多少？

解：先答（1）：記B為事件“被檢查者患有肝癌”。A為事件“檢查結(jié)果呈陽性”，由題設(shè)知

這一結(jié)果表明：在檢查結(jié)果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%，這個(gè)結(jié)果使人吃驚，但仔細(xì)分析后可以理解，因?yàn)楦伟┌l(fā)病率很低，在10 000個(gè)人中約有4人，同時(shí)有9 996個(gè)人不患肝癌。對10 000個(gè)人用甲胎蛋白法進(jìn)行檢查，按其錯(cuò)檢的概率可知，9 996個(gè)不患肝癌者中約有9 996×0.001=9.996（=10）個(gè)呈陽性；另外4個(gè)真患肝癌的檢查報(bào)告中約有4×0.99=3.96個(gè)呈陽性，僅從13.96個(gè)呈陽性中看，真患肝癌的3.96人約占28.4%。

進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵。但在實(shí)際中，由于技術(shù)和操作上的種種原因降低錯(cuò)檢的概率又很困難，通常采用復(fù)查的方法來減少錯(cuò)誤率。比如，對首次檢查為陽性的人群再進(jìn)行復(fù)查，這時(shí)p（B）=0.284,再用貝葉斯公式計(jì)算得

這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率。

以上是文獻(xiàn)[11]中依據(jù)經(jīng)典概率論貝葉斯公式所做的計(jì)算。下面答（2）。

由第3節(jié)知，要計(jì)算該人真的患肝癌的趙森烽-克勤概率有2種思路：

于是可以作以下分析：

；事實(shí)上，我們在文獻(xiàn)[6]中就指出，對于聯(lián)系概率（趙森烽-克勤概率）中的i,應(yīng)該把其看作是不確定性系統(tǒng)的特征參數(shù)，因其如此，當(dāng)需要確定一個(gè)聯(lián)系概率（趙森烽-克勤概率中i的數(shù)值時(shí)，需要對i所表征的不確定性系統(tǒng)作具體的物理分析。

但事物總是一分為二的。在某些情況下，關(guān)于聯(lián)系概率CP中的i僅按定義域取值也有實(shí)際意義，見后面的例2。

2）根據(jù)式（18）～（20），先把貝葉斯公式中的各個(gè)概率聯(lián)系數(shù)化，也就是按概率補(bǔ)數(shù)定理進(jìn)行“C運(yùn)算”，根據(jù)前面給出的題設(shè)條件，得

C（p（B））=pc（B）=0.000 4+0.999 6i

于是有

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的計(jì)算方法，可以解得

也就是

這一結(jié)果與前面利用式（17）所示貝葉斯公式得到結(jié)果聯(lián)系數(shù)化一致，但等式左邊卻顯示出0.284+0.716i其實(shí)是一個(gè)二次聯(lián)系數(shù)，也就是說，上述計(jì)算過程是一個(gè)含有二次不確定（i2）的計(jì)算過程。結(jié)合題意可知，第一次不確定對應(yīng)于某地區(qū)居民以往的肝癌發(fā)病率為0.000 4的不確定性，第2次不確定對應(yīng)于化驗(yàn)結(jié)果存有錯(cuò)誤的不確定性，由于某人的這次含有不確定性的檢驗(yàn)結(jié)果要在以往含有不確定性的醫(yī)學(xué)研究數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上才能作出結(jié)論，因此該結(jié)論具有二次不確定性不足為奇。

由此可見，面對某個(gè)隨機(jī)事件的趙森烽-克勤概率，不僅要對這個(gè)概率作“表面分析”（表面上的“數(shù)量分析”），還要作“由來分析”，（數(shù)字后面的“成因分析”），也就是這個(gè)森烽-克勤概率是如何計(jì)算得來的分析，經(jīng)過這二道分析后，才可以判定這個(gè)趙森烽-克勤概率是一次（冪）概率還是二次（冪）概率，原因在于趙森烽-克勤概率在計(jì)算過程中會應(yīng)用集對分析理論中給出的以下簡化公式：

i=i2=i3=…=in

從另一方面看，本例中，同一問題用2種不同的方法（直接把貝葉斯概率公式算得的結(jié)果聯(lián)系數(shù)化，與把貝葉斯公式中各概率聯(lián)系數(shù)化后再作運(yùn)算）求得相同的趙森烽-克勤概率這件事本身也說明上述化簡公式的合理性。

貝葉斯公式聯(lián)系數(shù)化所揭示的趙森烽-克勤概率具有二次不確定（i2）還可以從以下的例2得到說明。

例2伊索寓言中孩子與狼的故事。故事梗概是：一個(gè)小孩每天到有狼出沒的山上放羊，一天，他在山上喊“狼來了、狼來了”，山下的村民聞聲去打狼，到了山上，發(fā)現(xiàn)狼并沒有來；第2天仍是如此，第3天，狼真的來了，可以任憑牧羊的孩子怎么喊叫，也沒有人去救他，因?yàn)榍?次他撒了謊，村民們不再相信他。

現(xiàn)問：1）如何用貝葉斯公式來分析這個(gè)寓言中的村民對牧羊孩可信度的下降;2）如何用貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率來分析這個(gè)寓言中的村民對牧羊孩可信度的下降;3）分析以上2種思路的異同。

解：首先，記事件A為“孩子說謊”，記事件B為“孩子可信”，不妨設(shè)村民們以前對這個(gè)孩子的印象為

第1次村民上山打狼，狼沒來，即孩子說了謊（A），村民根據(jù)這個(gè)信息，對這個(gè)孩子的可信程度改變?yōu)椋ㄓ秘惾~斯公式計(jì)算得）

這表明村民上了一次當(dāng)后，對這個(gè)孩子的可信程度由原來的0.8調(diào)整為

這表明村民經(jīng)2次上當(dāng)，對這個(gè)孩子的可信程度已經(jīng)從0.8下降到0.138，如此低的可信度，村民們在聽到這個(gè)孩子的第3次呼叫時(shí)，怎么會再次上山打狼？

以上對試問（1）的解答是文獻(xiàn)[11]中給出的，以下是對試問（2）的解答。

pc（B）=0.8+0.2i

根據(jù)第2節(jié)中的“八二模型”和集對分析關(guān)于聯(lián)系數(shù)中確定性（聯(lián)系分量）與不確定性（聯(lián)系分量）相互作用理論，上述聯(lián)系概率中的可信度0.8與不可信度0.2存在相互作用，其相互作用值為0.8×0.2=0.16,此0.16在“最壞情況下”可以看作是“不可信度”在“可信度”中所起的“潛在作用值”，換言之，可信度0.8在此假設(shè)下實(shí)際上只有0.8-0.16=0.64是可信的，在此基礎(chǔ)上再考慮不可信度0.2對可信度0.8的“顯在負(fù)面作用”，于是得到以下算式及結(jié)果：

也就是說，在充分考慮村民對孩子的不信任度0.2對可信度的“直接負(fù)面影響”和“潛在負(fù)面影響后”，村民們對該孩子的“潛在核心可信度”其實(shí)只有0.44。

此0.44與用貝葉斯公式計(jì)算得到的0.444僅相差0.004,0.44≈0.444,因?yàn)榘础八纳嵛迦搿狈ǎ?.444可以簡寫為0.44。

村民們在第一次上當(dāng)后，這種“潛在的核心可信度”得到了一種“證實(shí)”和“顯化”；也就是有

根據(jù)概率的補(bǔ)數(shù)定理知

還可以再聯(lián)系數(shù)化，得

此聯(lián)系概率（趙森烽-克勤概率ZKP）反映出這時(shí)村民們對該孩子的潛在核心可信度其實(shí)為0.44+0.56i|i=-1=-0.12,當(dāng)村民們第2次上當(dāng)后，上述潛在核心可信度得到一種“證實(shí)”和“顯化”。根據(jù)文獻(xiàn)[3-4]中給出的負(fù)概率定義可知，當(dāng)取B（孩子可信）為參考事件時(shí)，pcc（B）可信度=-0.12的物理意義是孩子的話已在0.12程度上判定為是謊言，既然是謊言，村民們在聽到這個(gè)孩子的第3次呼叫時(shí)，自然就不會上山打狼。

以上是“簡單衰減”分析，還可以作“復(fù)合衰減”分析如下：

首先是仿照本文第2節(jié)思路中的“八二模型”，把pc（B）=0.8+0.2i改寫成

pc（B）=0.64+0.16i1+0.2i

并取i=-1,i1=-1,后者是從“二次不信任”的角度考慮，也就是再一次把0.16i1這部分也看成對0.64存在“負(fù)面作用”，由此得

pc（B）=0.64-0.16i-0.2=0.28

也就是說，在充分考慮村民對孩子的不信任度0.2對可信度的“直接負(fù)面作用”和“不信任度與信任度相互作用值0.16的“潛在負(fù)面作用后”，村民們對該孩子的“潛在核心可信度”其實(shí)只有0.28；顯然，這個(gè)0.28比用貝葉斯公式計(jì)算得到的0.444還要小。

村民們在第一次上當(dāng)后，這種“潛在的核心可信度”得到了“證實(shí)”和“顯化”；也就是有

類似于前面的分析和做法，把0.28+0.72i改寫為

令i=-1,i1=-1,得結(jié)果為-0.84。

當(dāng)村民們第2次上當(dāng)后，上述“潛在核心可信度”得到“證實(shí)”和“顯化”。根據(jù)文獻(xiàn)[3-4]中的負(fù)概率定義可知，當(dāng)取B（孩子可信）為參考事件時(shí)，pcc（B）可信度-0.84≈-1的物理意義是孩子的話已被判定為是謊言，既然是謊言，村民們在聽到這個(gè)孩子的第3次呼叫時(shí)，當(dāng)然就不會上山打狼。

對應(yīng)于村民們在聽到這個(gè)孩子的第3次呼叫時(shí)沒有上山打狼這一事實(shí)，這里的“復(fù)合衰減”分析比前面的“簡單衰減”分析更接近事實(shí)。

二是對貝葉斯公式中的每一個(gè)概率聯(lián)系數(shù)化后再進(jìn)行運(yùn)算，由于篇幅原因，在此略去，有興趣的讀者可以自行試算和分析。

答（3），由上可見，答（1）和答（2）是對孩子與狼的故事從不同角度給出的2種解答，這2種解答的基本假定數(shù)據(jù)完全相同，但數(shù)學(xué)處理過程不同，前者純粹地應(yīng)用概率論中的貝葉斯公式，后者主要應(yīng)用趙森烽-克勤概率；所得的計(jì)算結(jié)果也不同，前者對于村民2次上當(dāng)后，對孩子的可信度還有0.138，由于0.138>0,根據(jù)概率的本義，村民第3次上山打狼的可能依然存在，只是這種可能性已較?。?.138），但這種可能實(shí)際上沒有出現(xiàn)，村民沒有第3次上山打狼；由此看出，答（2）計(jì)算得到的負(fù)概率=-0.12更符合村民沒有第3次上山打狼這個(gè)事實(shí)，而其整個(gè)計(jì)算過程僅涉及到趙森烽-克勤概率中i的2次取負(fù)值（i=-1），比起答（1）中的運(yùn)算簡便得多；而從村民沒有第3次上山打狼這個(gè)事實(shí)看，對該問題中的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率作“復(fù)合衰減”分析比“簡單衰減”分析更接近實(shí)際。當(dāng)然，從貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化的角度看，本問題中的趙森烽-克勤概率就是把孩子的3次呼喊結(jié)果都預(yù)先蘊(yùn)含在根據(jù)初始條件確定的聯(lián)系概率pc（B）=0.8+0.2i中，每次呼喊結(jié)果無非是對這個(gè)聯(lián)系概率中i每次取i=-1結(jié)果的一種驗(yàn)證而已；當(dāng)然，對于驗(yàn)證結(jié)果與實(shí)際情況的差異還可以作具體分析，對于同一個(gè)問題中的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率是作“簡單衰減”分析還是作“復(fù)合衰減”分析，也是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的問題。

要順便指出的是，這個(gè)故事及其分析在金融界的意義是貸款信用分析，試問，某人向銀行貸款，連續(xù)2次不還，銀行還會第3次貸款給他？在人工智能不確定性推理中的意義是推理結(jié)果的可信性分析，試問，某個(gè)問題讓機(jī)器推理，連續(xù)2次推理的結(jié)果都不可信，還會讓機(jī)器作第3次推理？如此等等。

6 討論

1）從人工智能的角度看，貝葉斯概率（BP）在本質(zhì)上是人們利用先前儲存在大腦中的經(jīng)驗(yàn)和知識對隨機(jī)事件概率的一種推斷和估計(jì)，這種推斷和估計(jì)的正確性由隨后的客觀實(shí)踐加以驗(yàn)證。本文通過把貝葉斯概率轉(zhuǎn)換為基于集對分析聯(lián)系數(shù)的趙森烽-克勤概率，所得到的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP，其主要的優(yōu)越性是把貝葉斯概率的后驗(yàn)可能值預(yù)先蘊(yùn)含在聯(lián)系數(shù)化了的貝葉斯概率（貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP中，借助ZKP中隨機(jī)轉(zhuǎn)換器i的取值分析，把可能的后驗(yàn)結(jié)果分成大于、等于、小于原先給出的貝葉斯概率3種情況，從而把人腦對于一個(gè)客觀事物從“已知”到“未知”的認(rèn)識“飛躍”轉(zhuǎn)換成了一個(gè)具體的數(shù)學(xué)公式，既保留了貝葉斯概率的“合理性”，也使貝葉斯概率從“主觀”向“客觀”的“飛躍”有了“合法性”；“合理性”是指人腦對以往的經(jīng)驗(yàn)和通過學(xué)習(xí)得到的知識作出概括并加以量化表述符合情理；“合法性”是指人腦在已有經(jīng)驗(yàn)和知識的基礎(chǔ)上，對“未知”作出帶有不確定性的推斷分析并加以量化表述符合辯證法關(guān)于確定性與不確定性既對立統(tǒng)一又可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的法則；顯而易見，這種“合法性”事實(shí)上還涵蓋了人腦科學(xué)地認(rèn)知一個(gè)客觀事物所需要的整體性、前瞻性、靈活性，從而提示貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP實(shí)質(zhì)上是一種智能型概率（intelligence probability,IP）。至于如何對這種智能型概率IP展開具體計(jì)算和分析，乃至調(diào)控“i”，則是一個(gè)有待深入研究的課題。

2） 可以認(rèn)為：人腦之所以具有“智能”或者“智慧”，一是由于人腦的思維具有整體性，“人無遠(yuǎn)慮，必有近憂”、“居安思?！?、“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”等成語，就是說人腦思維具有整體性的特點(diǎn)；特別是訓(xùn)練有素的人腦思維，其思維的整體性尤為顯著。二是人腦的思維具有前瞻性，所謂“舉一反三”、“深謀遠(yuǎn)慮”、“一葉知秋”、 “見微知著”、“以此類推”等等，就是說人腦能夠依據(jù)已有的知識自動地對“未知”進(jìn)行前瞻性推理。三是人腦的思維具有靈活性，正是靈活性，才使得人們能夠不斷適應(yīng)環(huán)境的變化，原始人隨著環(huán)境的變化而進(jìn)化，現(xiàn)代人也同樣如此；這種靈活性也可以稱為不確定性。由于迄今為止對人腦思維的物理機(jī)制和化學(xué)機(jī)制還沒有完全搞清，因此，從數(shù)學(xué)的角度給出人腦思維的模型不失為是一種經(jīng)濟(jì)且有效的途徑，也是人工智能的題中之義。換言之，人腦一旦就某事物的“已知”部分作出量化表達(dá)，如貝葉斯概率，需要同時(shí)對“未知”部分也作出量化表達(dá)，正是在這一個(gè)意義上，貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化成為必要。由于“未知”部分對于“已知”部分通常具有不確定性，因此對于“未知”部分作出量化表達(dá)時(shí)需要有不確定性標(biāo)記，趙森烽-克勤概率中的i擔(dān)當(dāng)了這一角色。這也是我們把貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化，轉(zhuǎn)換成趙森烽-克勤概率的一個(gè)初衷。

3）貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP雖然從數(shù)學(xué)形式上保持了與客觀概型聯(lián)系概率OP（古典概型概率聯(lián)系概率CP、幾何概型概率聯(lián)系概率GP、頻率型概率聯(lián)系概率FP）的一致性，但兩者仍有不同之處：3種客觀概型的趙森烽-克勤概率OZKP側(cè)重從空間的維度補(bǔ)充了經(jīng)典概率的即或概率信息，也就是非第一關(guān)注事件的信息；貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP側(cè)重從時(shí)間的維度補(bǔ)充貝葉斯概率的即或概率信息（也就是非第一關(guān)注事件的信息，也可以說是第一關(guān)注事件的后驗(yàn)信息），但其時(shí)長要大大超過客觀概率OP的即或概率的信息時(shí)長，這一點(diǎn)也有待深入研究；由于客觀事物的動態(tài)不確定性通常寄寓在時(shí)間中，空間的遍歷通常無法抵消由時(shí)間流逝帶來的不確定性，因此，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP是一種比客觀概型趙森烽-克勤概率OZKP更為復(fù)雜的一種聯(lián)系概率CP，本文中的2個(gè)應(yīng)用實(shí)例已從應(yīng)用層面上揭示出這種復(fù)雜性，例如其中含有二次不確定或者多次不確定以及不同次不確定的遷移或遞進(jìn)，這也是可以稱其為是智能型概率IP的一個(gè)理由；由于貝葉斯推理是現(xiàn)有人工智能進(jìn)行不確定性推理的一項(xiàng)重要推理技術(shù)，如何把已有的基于貝葉斯概率（BP）的不確定性推理擴(kuò)展為基于趙森烽-克勤概率（ZKP）的不確定性推理，因此是一項(xiàng)復(fù)雜和困難的工作，也是令人感興趣和內(nèi)容豐富的工作。

4）本文基于人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性假設(shè)，研究貝葉斯概率的后驗(yàn)值與貝葉斯概率的關(guān)系，得到的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（BZKP）在數(shù)學(xué)形式上與古典概型的趙森烽-克勤概率（CZKP）、幾何概型的趙森烽-克勤概率（GZKP）和頻率型趙森烽-克勤概率（FZKP）完全一致，這一點(diǎn)令人驚訝；它從一個(gè)側(cè)面說明了在文獻(xiàn)[4-6]中提出的新的隨機(jī)摸球試驗(yàn)、新的隨機(jī)投針試驗(yàn)、新的擲硬幣與擲骰子試驗(yàn)，不僅僅是一種客觀上的可演示的數(shù)學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，其實(shí)還是一種如本文所說的智能思維實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)物理模型；也不僅僅說明本文給出的人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性假設(shè)可以有相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)作為其數(shù)學(xué)物理背景，有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，也從一個(gè)側(cè)面說明了集對分析聯(lián)系數(shù)思想內(nèi)涵的深刻性。特別要指出的是：人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性不是每一個(gè)個(gè)體人腦所必定具有，一般說來，只有經(jīng)過特定教育和訓(xùn)練的特殊個(gè)體人腦，或者是某個(gè)群體的人腦之和才具有；為此，需要引進(jìn)智腦的概念，不妨定義智腦是同時(shí)具有思維整體性、思維前瞻性、思維靈活性以及思維現(xiàn)實(shí)性、思維經(jīng)濟(jì)性等諸多優(yōu)良特性的智能腦（intelligent brain,IB），貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP則是智腦IB的一個(gè)特征參數(shù)；有關(guān)趙森烽-克勤概率與智腦思維現(xiàn)實(shí)性、經(jīng)濟(jì)性等方面的關(guān)系，也有待進(jìn)一步研究。

5）本文把聯(lián)系數(shù)化后的貝葉斯概率定義為趙森烽-克勤概率，而不再簡稱為聯(lián)系概率CP，原因之一是為了在形式上與貝葉斯概率BP這個(gè)名詞術(shù)語相對應(yīng)，但又作明顯區(qū)別；原因之二是概率論有用新概念（新算法、新定理）提出者命名這個(gè)新概念（新算法、新定理）的習(xí)慣做法，如貝努利試驗(yàn)、契比雪夫不等式、馬爾可夫鏈、高斯分布、等等（其中馬爾可夫鏈就是當(dāng)年的馬爾可夫在碩士論文中自己命名的）；原因之三是貝葉斯概率聯(lián)系化得到的聯(lián)系概率BZKP與古典概型CP、幾何概型GP、頻率概型FP聯(lián)系數(shù)化得到的聯(lián)系概率形式相同但實(shí)質(zhì)內(nèi)容不同。概而言之，在涉及到古典概型概率CP、幾何概型概率GP和頻率型概率FP聯(lián)系化的情況下采用聯(lián)系概率CP這個(gè)稱謂，但在把貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化時(shí)，采用趙森烽-克勤概率這個(gè)稱謂較為貼切；在不需要特別說明的情況下，把古典概型聯(lián)系概率CCP、幾何概型聯(lián)系概率GCP、頻率概型聯(lián)系概率FCP、貝葉斯概型聯(lián)系概率BCP統(tǒng)稱為趙森烽-克勤概率符合概率論的習(xí)慣，也便于應(yīng)用。原因之四是在漢語中,“聯(lián)系”一般作動詞用,但根據(jù)“聯(lián)系概率”的定義,它是一個(gè)專用的名詞,把聯(lián)系概率稱為趙森烽-克勤概率就自然地避免了上述誤解;原因之五也是提出者對于概率論創(chuàng)新可能引起非議的一種擔(dān)當(dāng)和承受（歷史上,貝葉斯概率在提出時(shí)也曾受到人們的批評和非議）；由于概率論已有300多年的發(fā)展史，概率是概率論中最為基礎(chǔ)性的一個(gè)概念，但在文獻(xiàn)[4-7]中，基于集對分析理論（SPT）和對一系列新的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果作客觀而深入的思考后引入聯(lián)系概率CP的概念，無疑是對于概率概念的一個(gè)創(chuàng)新，由此引出的一些新概念已為構(gòu)建一個(gè)新的概率論提供了必要的準(zhǔn)備。

6）從聯(lián)系數(shù)的角度看，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP也是一種概率意義下的聯(lián)系數(shù)，這從一個(gè)側(cè)面說明了聯(lián)系數(shù)內(nèi)涵的豐富性，有關(guān)聯(lián)系數(shù)方面的知識可以參考文獻(xiàn)[14-16]等。

7）從集對的角度看，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP是人們已有知識（集）與未知知識（集）組成的一個(gè)集對，對于這個(gè)概率的全部分析，也因此是一種集對分析，如何把集對分析的已有理論方法應(yīng)用到趙森烽-克勤概率的計(jì)算和分析上，也是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的課題。

8）從辯證法和聯(lián)系科學(xué)的角度看, 貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP把已知與未知聯(lián)系,主觀與客觀聯(lián)系、確定與不確定聯(lián)系、歷史與未來聯(lián)系、簡單與復(fù)雜聯(lián)系、局部與整體聯(lián)系、靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系,因此也是關(guān)于事物聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)模型,是辯證法和聯(lián)系科學(xué)研究的一項(xiàng)內(nèi)容[17-18],對此也需要深入研究。

7 結(jié)束語

本文基于集對分析和聯(lián)系數(shù)理論以及作者已有工作基礎(chǔ)上，研究貝葉斯概率與其后驗(yàn)值的關(guān)系及其聯(lián)系數(shù)表述，定義了貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP，給出了貝葉斯概率BP向聯(lián)系概率CP轉(zhuǎn)換定理，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（BZKP的實(shí)際應(yīng)用，通過討論貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP與古典概型聯(lián)系概率CCP，幾何概型聯(lián)系概率GCP，頻率型概率聯(lián)系概率FCP的形式一致性和內(nèi)涵差異性，指出了貝葉斯概率聯(lián)系數(shù)化的重要意義不僅把主-客觀概率統(tǒng)一起來,更在于給出了人腦從已知推導(dǎo)未知思維的一種數(shù)學(xué)模型和給出智腦IB的概念：智腦IB是具有思維整體性、思緒前瞻性、思維靈活性、以及思維現(xiàn)實(shí)性、思維經(jīng)濟(jì)性、等優(yōu)良特性的智能腦，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP則是這種智腦的一個(gè)特征參數(shù)，從而為腦科學(xué)研究和人工智能中的貝葉斯推理研究開辟了新的途徑……;所有這些工作，都有大量需要進(jìn)一步研究的問題，我們將在后續(xù)論文中繼續(xù)討論相關(guān)問題, 也期待有興趣的專家學(xué)者與我們共同致力于這方面的探索和研究.

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趙克勤，男，1950年生，浙江省諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所研究員，浙江大學(xué)非傳統(tǒng)安全與和平發(fā)展中心集對分析研究所所長，中國人工智能學(xué)會理事，人工智能基礎(chǔ)專業(yè)委員會副主任，集對分析聯(lián)系數(shù)學(xué)專業(yè)籌備委員會主任，1989年提出集對分析（聯(lián)系數(shù)學(xué)），已出版《集對分析及其初步應(yīng)用》專著一部，發(fā)表學(xué)術(shù)論文90余篇。

趙森烽，男，1993年生，主要研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)、集對分析聯(lián)系數(shù)學(xué)等，發(fā)表學(xué)術(shù)論文5篇。

Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application

ZHAO Keqin1，2， ZHAO Senfeng3

（1.Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies, Zhejiang University, Hangzhou 310058 ,China；2.Zhuji Institute of Connection Mathematics, Zhuji 311811；3.School of zhi jiang, Zhejiang Technology University, Hangzhou,310024，China）

In order to study the Bayesian probability and posterior Bayesian inference relation and transformation as well as the number of contact probability after，The definition of Zhao Senfeng-Keqin probability of Bayes probability model，Zhao Senfeng-Keqin probability of its mathematical form equivalent to classical subscheme, geometric probability, frequency probability model，With the help of Zhao Senfeng-Keqin probability random converter I effect，The Bayesian posterior probability for gain, attenuation, maintenance，Based on this Bayesian probability transformation theorem and the corresponding algorithm to Zhao Senfeng-Keqin probability，To illustrate the characteristics of Bayesian probability model Zhao Senfeng Keqin probability with zhinao thinking integrity, foresight and flexibility etc，open up a new way for the application of artificial intelligence and other areas of Bayesian reasoning.

Bayes probability; Zhao Senfeng-Keqin probability;connection number;posterior values;wisdom brain thinking characteristics; set pair analysis

2014-05-18.

日期：2015-01-13.

國家社會科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（08ASH006）；教育部哲學(xué)社會科學(xué)研究重大課題攻關(guān)項(xiàng)目（08JZD0021-D）.

趙克勤.E-mail: zjzhaok@sohu.com.

10.3969/j.issn.1673-4785.201405022

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201405022.html

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-4785（2015）01-0051-11

趙克勤,趙森烽. 貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2015, 10（1）: 51-61.

英文引用格式：ZHAO Keqin，ZHAO Senfeng. Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10（1）: 51-61.