關(guān)于積分上限函數(shù)的若干探討

甄晨光 齊曉東

摘要：討論積分上限函數(shù)的確定性，并用它討論原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等，補充證明變限函數(shù)的積分的求導(dǎo)公式。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性 連續(xù)性

積分上限函數(shù)是積分學(xué)中的重要概念之一，它的重要作用就是引出微積分的兩個基本定理，一是原函數(shù)的存在定理，二是證明牛頓-萊布尼茲公式。然而我們往往把教學(xué)重點放在如何應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式進行有關(guān)的計算，而忽視了對原函數(shù)存在定理的進一步探討，這也是本文討論的內(nèi)容：積分上限函數(shù)的確定性，并用它討論并用它討論原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、連續(xù)性等，證明變限函數(shù)的積分的求導(dǎo)公式?，F(xiàn)在首先回顧原函數(shù)存在定理：

定理1 （原函數(shù)存在定理）設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)？椎（x）= f（t）dt是f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)，即？椎′（x）=f（x），x∈[a，b]

大部分教材只介紹上面求導(dǎo)的式子，說明積分上限函數(shù)？椎（x）= f（t）dt的導(dǎo)數(shù)是f（x），但沒有強調(diào)另一個關(guān)鍵的式子： f（x）dx= f（t）dt+C（1）

要注意的是不定積分 f（x）dx只能作為運算符號，或者說它表示一類函數(shù)的集合，不能表示f（x）的一個具體的原函數(shù)，特別當(dāng)f（x）作為一個抽象的函數(shù)時，無法用 f（x）dx來討論它的某一個原函數(shù)的性質(zhì)；而 f（t）dt的最大優(yōu)點在于它的確定性，表示的是f（x）的某一確定的原函數(shù)，并利用它來討論f（x）原函數(shù)的性質(zhì)：如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值等。以下我們舉例說明變上限積分函數(shù) f（t）dt的應(yīng)用以及重要性。

例1 設(shè)F（x）= e dt，則正確的是：（A）F（x）是單調(diào)遞增的；（B）F（x）是單調(diào)遞減的；（C）無法判斷F（x）的單調(diào)性。

本題顯然無法計算F（x）的具體表達式，我們根據(jù)積分上限函數(shù)F（x）的確定性，通過定積分的幾何意義進行判斷，也可以運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷其單調(diào)性。

解：方法（一）因為被積函數(shù)e 大于0，故F（x）= e dt表示的是由x軸，y軸，曲線e 所圍成的曲邊梯形的面積，進而可以得知，隨著x的增大，函數(shù)值F（x）也增大，所以（A）是正確的選項。

方法（二）根據(jù)定理1得知：F′（x）=（ e ）′=e ，又因為e >0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性定理得到：函數(shù)F（x）是單調(diào)遞增的。

例2 設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)（x）是f（x）的原函數(shù)，則（A）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，F(xiàn)（x）是偶函數(shù)；（B）當(dāng)f（x）偶函數(shù)時，F(xiàn)（x）是奇函數(shù)；（C）當(dāng)f（x）是周期函數(shù)時，F(xiàn)（x）是周期函數(shù)；（D）當(dāng)f（x）是單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn)（x）是單調(diào)增函數(shù)。

解：現(xiàn)用變上限定積分表示f（x）的一個原函數(shù)，記？椎（x）= f（t）dt，并設(shè)其中f（x）為連續(xù)的奇函數(shù)，則

所以F（x）為偶函數(shù)，應(yīng)選（A）。從上面的例子可以看出，變上限積分函數(shù)比不定積分的最大優(yōu)越性在于函數(shù)形式的確定性。我們再來看一道類似的題目：

例3 討論下列函數(shù)的連續(xù)性

所以，函數(shù)在x=0點不連續(xù)，但是右連續(xù)的。

例4 設(shè)

證明：變量x不僅是積分上限，還出現(xiàn)在被積函數(shù)中，由于這個定積分是對t積分，x與t無關(guān)，故計算積分時，把x看作常數(shù)即可。

例5 證明變限函數(shù)的求導(dǎo)法則

證明：把變限積分函數(shù)記為？椎（x），即有？椎（x）= f（t）dt

根據(jù)積分區(qū)間的可加性有：？椎（x）= f（t）dt- f（t）

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和定理1，有：

從以上討論中可以看出積分上限函數(shù)的確定性在判斷函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性等）中的重要作用，通過推導(dǎo)變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，有助于學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和原函數(shù)存在定理。筆者認(rèn)為在教學(xué)中，有必要通過一兩個例題加強學(xué)生在這方面的理解。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].第四版.北京：高等教育出版社，1993：288-291.

[2]工程類數(shù)學(xué)教材編寫組.高等數(shù)學(xué)[M].第一版.北京：高等數(shù)學(xué)出版社，2003.5.

[3]孫海娜.從一類考研題看不定積分與變項定積分的關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10（3）：31-33.

課題項目：

本文為河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題2013年度立項課題《以崗位需求為主線，構(gòu)建與財會專業(yè)結(jié)合的高職數(shù)學(xué)課程體系》成果之一（課題編號：13051420）。

河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院2012年度院級高等教育教學(xué)改革立項課題《構(gòu)建與財會專業(yè)結(jié)合的經(jīng)濟數(shù)學(xué)課程體系的探索和實踐》成果之一（課題編號：2012103）。

作者簡介：

甄晨光（1980-），男，河北石家莊人，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)，講師。

齊曉東（1973-），女，河北石家莊人，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)， 副教授。