通過(guò)總結(jié)提高數(shù)學(xué)解題水平

周洪新

摘 要：布魯納認(rèn)為探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線，只有不斷的探索，才能有不斷的發(fā)現(xiàn)。作好解題總結(jié)對(duì)學(xué)生不懈探求精神的形成，解題水平的提高以及發(fā)散、定勢(shì)兩種思維品質(zhì)的培養(yǎng)都是大有益處的。

關(guān)鍵詞：總結(jié)；解題；思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）24-192-01

一個(gè)完整的解題方案一般而言應(yīng)分為四個(gè)步驟：1、審請(qǐng)題意；2、擬訂計(jì)劃；3、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；4、回顧。本文擬對(duì)第四個(gè)步驟，也就是解題后的總結(jié)談一點(diǎn)認(rèn)識(shí)以及做法。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何一道題是可以解決得十全十美的?？偸Ｏ滦┕ぷ饕觯?jīng)過(guò)充分的探討、總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平?！痹诂F(xiàn)代控制論中，好信息反饋視作整個(gè)系統(tǒng)工程中必不可少的一環(huán)，而解題總結(jié)就是一種很好的信息反饋，它是解題→提高解題水平→培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力→優(yōu)化思維品質(zhì)這一系統(tǒng)工程中不可缺少的重要一環(huán)。在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生缺乏對(duì)解題程序的理解，當(dāng)他們得到問(wèn)題的一種解是就立刻獲得了心理上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視了解題后的總結(jié)工作。殊不知，這與在解題過(guò)程中應(yīng)該得到的有效益的東西失之交臂了。

解完一道典型題后，對(duì)題目本身結(jié)構(gòu)及解題全過(guò)程進(jìn)行認(rèn)真地回顧，以期達(dá)到舉一反三、由題到發(fā)、由題及類(lèi)，從而擴(kuò)大解題效益的目的。一般可從以下四方面總結(jié)。

1、運(yùn)用了的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，易出錯(cuò)誤的原因何在？如何防止？

2、運(yùn)用的思維方法、數(shù)學(xué)思想、解法有無(wú)規(guī)律可循、其幾何解釋。

3、難點(diǎn)、關(guān)鍵突破的方法，其余方法擇優(yōu)選取。

4、題目的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。運(yùn)用這些特征是否可以將條件加以改變，結(jié)論加以引伸，題型加以更新，解法加以推廣？下面舉例說(shuō)明。

例 求數(shù)列：1，11，111，…， ，…前n項(xiàng)和。

解：這是一道常見(jiàn)題，對(duì)通項(xiàng)做變換得

這時(shí)教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)的引導(dǎo)學(xué)生做總結(jié)一如下：

解此題運(yùn)用了何種方法？運(yùn)用了哪些基礎(chǔ)知識(shí)？題目結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？你能否加以變化舉出一例？（問(wèn)題一）

這些富有啟發(fā)性的問(wèn)題提出后，學(xué)生紛紛動(dòng)手動(dòng)腦，積極思考，例子層出不窮，我選用了其中比較典型的一個(gè)。

求和：

問(wèn)題給出后立即有學(xué)生給出解法：

教師進(jìn)一步提問(wèn)：能否就此滿足，還有其他解法嗎？（問(wèn)題二）在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，師生共同給出總結(jié)二：

解法二：

解法三：（此法稱為補(bǔ)法）每一項(xiàng)加1得：

。

解法四：（此法稱為拆項(xiàng)法）

解后問(wèn)：四種解法中何種解法最優(yōu)？（問(wèn)題三）讓學(xué)生自由討論后，教師給出總結(jié)：從簡(jiǎn)潔性看，解法1最簡(jiǎn)，但思維價(jià)值不大；從創(chuàng)造性來(lái)看，解法3其思維價(jià)值高于解法1而又不失簡(jiǎn)捷，故解法3最優(yōu)。

解完題后，對(duì)題目做開(kāi)拓性思考，引申出新題和新解法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而開(kāi)啟創(chuàng)造力，提高解題能力的關(guān)鍵恰在于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。教師接著提出問(wèn)題四：

觀察前兩例各項(xiàng)有何特點(diǎn)？能否將其推廣？其一般形式是什么？其最簡(jiǎn)解法是什么？

問(wèn)題提出后，學(xué)生思維頓時(shí)活躍起來(lái)，交頭接耳，議論紛紛，教師因勢(shì)利導(dǎo)給出總結(jié)四：

各項(xiàng)位數(shù)上的數(shù)字相同，其一般形式是： ，其最簡(jiǎn)解法為：提取 后轉(zhuǎn)化為首例來(lái)解決。結(jié)果為： 。

接著將、思維再次發(fā)散，提出問(wèn)題五：各項(xiàng)位數(shù)上有兩個(gè)不同數(shù)字能否求解呢？

例求 前n項(xiàng)和。這時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生發(fā)揮定勢(shì)思維的作用，聯(lián)想舊發(fā)，設(shè)法轉(zhuǎn)化，容易得到三種不同解法。得到結(jié)果為： （過(guò)程略）。

“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”只有不斷的探索，才能有不斷的發(fā)現(xiàn)。

通過(guò)對(duì)一個(gè)例題縱橫兩方面的深入挖掘，步步總結(jié)，無(wú)論在題型變換上——一題多變，由題及類(lèi)，由特殊到一般；還是在思維訓(xùn)練上——先定勢(shì)，后發(fā)散，再定勢(shì)，都獲得了令人滿意的結(jié)果。使我們對(duì)這一類(lèi)求和問(wèn)題有了比較深刻、比較全面的了解和把握。有興趣，有余力的同學(xué)在此基礎(chǔ)上還可以繼續(xù)探索下去。當(dāng)你一旦成功時(shí)，便會(huì)享受到一種別人無(wú)法體會(huì)到的無(wú)窮樂(lè)趣。