試論高中生數(shù)學(xué)解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成

王國軍

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，促進(jìn)以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)的解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成，能夠深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解，提高數(shù)學(xué)解題效率；促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考、分析、解決及歸納問題能力的逐步形成，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力；有效發(fā)展學(xué)生的思維能力與學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效性。本文簡要分析高中生數(shù)學(xué)解題習(xí)慣調(diào)研結(jié)果，對數(shù)學(xué)概念理解進(jìn)行了概敘，并主要從解題興趣、審題習(xí)慣以及反思習(xí)慣等方面試論高中生數(shù)學(xué)解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題習(xí)慣；數(shù)學(xué)概念理解；養(yǎng)成

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-064-02

著名作家薩克萊曾經(jīng)說過“播種行為，便能收獲習(xí)慣；播種習(xí)慣，便能收獲性格；播種性格，便能收獲命運(yùn)”。良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成對于學(xué)生學(xué)習(xí)具有重要、積極地促進(jìn)作用。作為一門抽象性與邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程既有趣又困難。而進(jìn)入高中階段后，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度不斷加大，數(shù)學(xué)學(xué)困生的比例日益增大，如何顯著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師們關(guān)注的焦點(diǎn)?；跀?shù)學(xué)能力的核心為思維能力，而數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)則為解題能力，要想有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，必須注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，注重良好解題習(xí)慣的養(yǎng)成。作為“數(shù)學(xué)理解”的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念理解是展開所有數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)與前提。促進(jìn)以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)的解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成，不僅能夠深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解，提高數(shù)學(xué)解題效率；還能夠促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考、分析、解決及歸納問題能力的逐步形成，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力；更能夠有效發(fā)展學(xué)生的思維能力與學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效性。

一、高中生數(shù)學(xué)解題習(xí)慣調(diào)研分析

受傳統(tǒng)定勢教學(xué)的影響，當(dāng)前許多教師仍沿襲“老師講、學(xué)生聽、老師問、學(xué)生答”的被動教學(xué)模式，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)過于形式化、表面化，學(xué)生養(yǎng)成眼高手低、淺嘗輒止、怕見生題、怕做難題等諸多不良解題習(xí)慣，缺乏自主思考、自主學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈意識與強(qiáng)勁動力，學(xué)生的思維能力得不到有效發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得不到有效提升。

以筆者所在高中為調(diào)研場所，從高一、高二及高三年級中各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（本文中調(diào)查數(shù)據(jù)未列出），然后匯總問卷、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、分析結(jié)果，從而得出結(jié)論。

1、解題興趣度。調(diào)查結(jié)果顯示，對數(shù)學(xué)解題具有濃厚興趣的學(xué)生為27%，興趣一般的學(xué)生為35%，余者對數(shù)學(xué)解題基本不感興趣。綜合而言，高中生對于數(shù)學(xué)解題的興趣度不夠濃厚，教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)解題興趣度的培養(yǎng)。

2、解題態(tài)度。調(diào)查結(jié)果顯示，只有19%的學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、獨(dú)立解答的良好解題態(tài)度；36%的學(xué)生的數(shù)學(xué)解題態(tài)度不太端正，習(xí)慣邊看答案邊解題；還有一些學(xué)生的解題態(tài)度不良，存在能解則解、不能解就棄之不理的隨意心理，該部分學(xué)生比例為22%；剩余的學(xué)生則養(yǎng)成十分惡劣的解題態(tài)度，在解答數(shù)學(xué)問題時完全不動腦筋思考，一味借鑒他人答案。總之，多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題態(tài)度不夠端正，必須引起充分重視。

3、解題需時。調(diào)查結(jié)果顯示，對于一道問答題，學(xué)生所需解題時間存在很大差異，需時30min左右的學(xué)生比例為13%，需時15min左右的學(xué)生比例為38%，需時10min左右的學(xué)生比例為41%，余者需時5min左右。根據(jù)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)前多數(shù)高中生的解題速度較慢，有待進(jìn)一步提高。

4、一題多解。調(diào)查結(jié)果顯示，多數(shù)學(xué)生（72%）在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時具有一題多解的良好意識，其中26%的學(xué)生能夠主動思考問題、積極嘗試多種解法；而46%的學(xué)生雖然有一題多解的意識，但常常由于信心不足而難以繼續(xù)。還有28%的學(xué)生則缺乏一題多解的探究意識，在實(shí)際解題過程中很少努力尋找多種解法。

5、錯題集。調(diào)查結(jié)果顯示，養(yǎng)成寫錯題集這一良好解題習(xí)慣的學(xué)生比例為17%，人數(shù)較少；51%的學(xué)生會偶爾寫一下錯題集，余者則從來沒有整理過錯題集。

6、做記號。調(diào)查結(jié)果顯示，少數(shù)學(xué)生在實(shí)際解題過程中養(yǎng)成遇到不懂、難以理解的地方就做記號的良好習(xí)慣，其比例為21%；偶爾做一下記號的學(xué)生比例為40%；還有高達(dá)39%的學(xué)生從不曾做記號。

7、解題過程反思。調(diào)查結(jié)果顯示，在完成解題過程后，僅有少數(shù)學(xué)生（10%）養(yǎng)成認(rèn)真反思、及時總結(jié)的良好習(xí)慣；偶爾進(jìn)行反思總結(jié)的學(xué)生占據(jù)多數(shù)，其比例為54%；從來不曾進(jìn)行反思總結(jié)的學(xué)生比例仍然高達(dá)36%。

綜上所述，當(dāng)前多數(shù)高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中尚未養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，廣大高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)善加引導(dǎo)，有效糾正學(xué)生的不良解題習(xí)慣。

二、數(shù)學(xué)概念理解概敘

所謂數(shù)學(xué)概念，通常認(rèn)為是數(shù)學(xué)思維的一種基本形式，同時也是判斷和推理數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，具有抽象性、多元性、層次性、系統(tǒng)性等特征。而所謂數(shù)學(xué)概念理解，從字面上來看就是對“數(shù)學(xué)概念”的理解，其不僅是“數(shù)學(xué)理解”的基礎(chǔ)，更是展開所有數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)與前提。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確要求：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)?！被诋?dāng)前高中數(shù)學(xué)教材中含有大量密集、繁多且抽象的數(shù)學(xué)概念，給高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)帶來沉重的理解負(fù)擔(dān)。因此，要想促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成，廣大高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)前高中生解題過程中存在的一些陋習(xí)，積極采取措施來培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣。

三、以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)的解題習(xí)慣的養(yǎng)成策略

結(jié)合問卷調(diào)查研究結(jié)果和多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為，應(yīng)主要從以下幾方面促進(jìn)學(xué)生以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)的解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成。

1、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題興趣。眾所皆知，興趣是學(xué)生最好的導(dǎo)師。只有學(xué)生自己覺得數(shù)學(xué)解題過程有意思、有趣，學(xué)生才會主動、積極地投入解題過程中，進(jìn)而生成積極探索、深入研究數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在動力，為數(shù)學(xué)解題習(xí)慣的良好養(yǎng)成打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。那么，如何以數(shù)學(xué)概念為基點(diǎn)，顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題興趣呢？

第一，應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)解題的重要性。學(xué)會解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之所在，數(shù)學(xué)解題過程不單單是對結(jié)果的正確求解，更是對學(xué)生思維能力的考察，對各數(shù)學(xué)概念、各知識點(diǎn)以及各問題之間的聯(lián)系與區(qū)別的反思。進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，能夠幫助學(xué)生鞏固新知、復(fù)習(xí)舊知、掌握學(xué)習(xí)方法與技巧，真正啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

第二，應(yīng)努力揭示數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在美?；跀?shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)密的自然學(xué)科，其數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密化，其數(shù)學(xué)公式的簡潔性，其推理過程的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，其圖形結(jié)構(gòu)的對稱性、排列性，很好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在美。

第三，應(yīng)注重因材施教。基于學(xué)生之間存在很大的個體差異性（如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、性格愛好、知識接受能力、思維能力等），在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)注重因材施教。

例如，在進(jìn)行《圓錐曲線》第一課時教學(xué)時，該課時涉及橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義與性質(zhì)，理解難度較大。為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，筆者首先讓學(xué)生回憶此前學(xué)過有關(guān)橢圓的定義，并運(yùn)用一根細(xì)繩、一支筆及一張白紙，兩兩組合完成曲線的繪制工作。這一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容較為基礎(chǔ)，即便是基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生也能很好完成。隨后拋出若干問題，深化教學(xué)內(nèi)容：“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？倘若PF1+PF2=定值、PF1-PF2=定值、PF1×PF2=定值及PF1÷PF2=定值，則又是什么曲線？”這部分內(nèi)容具有一定難度，基礎(chǔ)中等的學(xué)生借助幾何畫板的幫忙，能夠很好的解決上述問題。然后，基礎(chǔ)良好的學(xué)生歸納總結(jié)出有關(guān)圓錐曲線的軌跡、定義、圖形及性質(zhì)。通過這樣一種因材施教的教學(xué)過程，給予每一位學(xué)生參與課堂教學(xué)活動、體驗(yàn)成功的機(jī)會，很好調(diào)動了學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念問題探究熱情。

第四，應(yīng)注重增強(qiáng)課堂教學(xué)藝術(shù)?；跀?shù)學(xué)概念通常較為抽象、概括，學(xué)生理解難度較大。為了幫助學(xué)生更加充分地理解數(shù)學(xué)概念、更加深刻地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重增強(qiáng)課堂教學(xué)的藝術(shù)性。

例如，在學(xué)習(xí)極值概念時，教師應(yīng)抓住圖像的核心特征，將其與過高山車時的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)、股票大盤的曲線緊密聯(lián)系在一起，從而順利引出極值概念。將原本枯燥、難懂、抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動、形象和生活化。

2、培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣。一般而言，數(shù)學(xué)解題過程主要分為“審題、分析、求解及反思”四大步驟。作為解題的起點(diǎn)與關(guān)鍵，審題的正確與否將會直接影響解題速度與解題質(zhì)量。因此，在實(shí)際解題過程中，應(yīng)注重學(xué)生良好審題習(xí)慣的培養(yǎng)。所謂審題，實(shí)際上是一種在感知問題的基礎(chǔ)上，認(rèn)真分析問題的數(shù)學(xué)特征，從而在頭腦中清晰形成問題解決方案的思維活動。敏銳化、準(zhǔn)確化且深入化的審題，將有助于學(xué)生正確分析問題、準(zhǔn)確把握問題實(shí)質(zhì)、快速獲取解題思路，從而顯著提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。在實(shí)際解題過程中，考慮到數(shù)學(xué)題多由文字、符號及圖形語言所構(gòu)成，學(xué)生在拿到題目后，應(yīng)秉承“寧停三分、不搶一秒”的原則，結(jié)合已有知識基礎(chǔ)與解題經(jīng)驗(yàn)，對題目進(jìn)行逐字逐句詳讀，認(rèn)真審題、仔細(xì)推敲，嚴(yán)禁尚未辨清題意，就惶急慌忙的上陣?；陬}型的千變?nèi)f化，學(xué)生應(yīng)根據(jù)具體情況采取不同的審題策略：對于文字簡練的，可逐句進(jìn)行“翻譯”，從而徹底弄清題意；對于條件含糊不清的，應(yīng)認(rèn)真找出題中的隱性條件，將其轉(zhuǎn)化為顯性條件；對于從題設(shè)中難以找出突破點(diǎn)的，可將題設(shè)與結(jié)論聯(lián)系起來，搭建題設(shè)與目標(biāo)之間的溝通橋梁，從而獲取解題思路。

例如，在實(shí)際審題過程中，常常會出現(xiàn)學(xué)生因?qū)γ}中的數(shù)學(xué)概念含混不清、數(shù)學(xué)術(shù)語似是而非而出現(xiàn)概念張冠李戴或者沒有思路的現(xiàn)象。歸根究底，是因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)概念知識基礎(chǔ)較為薄弱，數(shù)學(xué)概念理解不夠透徹。

例1：函數(shù)y=f（x）的圖象與一條直線x=a有交點(diǎn)個數(shù)是（ ）

（A）至少有一個 （B）至多有一個 （C）必有一個 （D）有一個或兩個

【錯解】選A、C或D

【分析】不理解函數(shù)的定義（函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，故定義域內(nèi)的一個x值只能對應(yīng)一個y值

【正解】正確答案為：B

例2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) 的圖象關(guān)于（ ）

（A）原點(diǎn)對稱（B）x軸對稱（C）y軸對稱（D）y=x對稱

【錯解】沒有思路，隨意亂選

【分析】要知道 兩函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

【正解x】 的圖象由的圖象向左平移1個單位而得到， = 的圖象由 的圖象向右平移一個單位而得到，故選C。

由以上兩例可知，在數(shù)學(xué)審題過程中，如若學(xué)生不能透徹?cái)?shù)學(xué)定義，極易出現(xiàn)審題錯誤。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注重一些易混淆、易出錯的數(shù)學(xué)概念的日常鞏固，通過進(jìn)行專題練習(xí)來不斷深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解。此外，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視概念建立的條件，幫助學(xué)生高效掌握數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式及數(shù)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用技巧。

3、培養(yǎng)良好的反思習(xí)慣。所謂解題反思，就是在解完數(shù)學(xué)題之后，對整個解題過程進(jìn)行回顧與深究。作為解題的最終歸宿與進(jìn)一步延深，反思在高中數(shù)學(xué)解題過程具有至關(guān)重要的作用。培養(yǎng)良好的解題反思習(xí)慣，不僅有助于學(xué)生查漏補(bǔ)缺，全面了解自身學(xué)習(xí)狀況，還有助于舉一反三，顯著提升學(xué)習(xí)效率，更有助于學(xué)生獨(dú)立思考、分析、解決及歸納問題能力的有效形成，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。在解完題目后，學(xué)生應(yīng)養(yǎng)成及時回顧的良好習(xí)慣，捫心自問：“我是如何獲取該題的解題途徑的？該題的解決關(guān)鍵在哪？在解題過程中我遇到哪些困難？我又是如何克服這些困難的？該題是否還有更簡單的解法？”通過內(nèi)心的自我提問與答疑，學(xué)生能夠快且準(zhǔn)地掌握解題關(guān)鍵，有效提煉出屬于自己的數(shù)學(xué)思想與方法。

例1：已知 ，求 的取值范圍

【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足 這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。

【解析】

[反思]解答此類函數(shù)問題時，學(xué)生極易忽略函數(shù)的定義域，而這是由于對函數(shù)本質(zhì)理解不夠透徹、全面所造成的。而對該解題方法做進(jìn)一步探究，我們發(fā)現(xiàn)，可以從解析幾何的角度來理解條件 對x、y的限制，該方程顯然可以表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，-2≤y≤2。此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解

通過上例可知，合理、正確的反思解答，能夠幫助學(xué)生更加全面、深刻地理解數(shù)學(xué)知識點(diǎn)本質(zhì)，科學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來高效解題。因此，在解完數(shù)學(xué)題后，學(xué)生應(yīng)經(jīng)常反思解題過程、及時總結(jié)解題方法及規(guī)律，透徹理解數(shù)學(xué)概念，從而“站得高、看得遠(yuǎn)、統(tǒng)全局”。

總而言之，廣大高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)以數(shù)學(xué)概念理解為基點(diǎn)，在日常教學(xué)中大力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題興趣、培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣以及培養(yǎng)良好的反思習(xí)慣，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，從而促進(jìn)良好數(shù)學(xué)解題習(xí)慣的養(yǎng)成，顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與思維能力，最終有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)會學(xué)、樂學(xué)與愛學(xué)。

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