這么多學(xué)生做錯(cuò)，還能怪學(xué)生嗎？

包靜娟+++嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

五年級數(shù)學(xué)調(diào)測中有這樣一題：“小紅買了一本童話書，每2頁文字之間有3頁插圖。如果這本書有158頁，而第一頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？”教師在批改試卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，全年級有67%的學(xué)生是這樣解答的：

158÷5=31（組）……3（頁）

31×3+2=95（頁）

而此題的正確算式是“158÷4=39（組）……2（頁）39×3+1=118（頁）”。在批改中，許多教師唉聲嘆氣：“真不動(dòng)腦筋！”其實(shí)，這類錯(cuò)誤在往屆學(xué)生中也屢屢發(fā)生。為什么會(huì)有這么多學(xué)生出現(xiàn)上述錯(cuò)誤呢？這種錯(cuò)誤是否體現(xiàn)了學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念在心智模式的建構(gòu)方面存在著缺漏？錯(cuò)誤的產(chǎn)生是不是隱含著某些共性的原因呢？這么多學(xué)生做錯(cuò)，這能怪學(xué)生嗎？

【“問”：病歷記錄】

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是多方面的，但往往是由于小學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的表征、數(shù)學(xué)模式的識別以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控等理解過程中主客觀不一致的矛盾導(dǎo)致的。就本題而言，經(jīng)過對學(xué)生的訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因大致有以下幾個(gè)方面。

一是概念理解的模糊

學(xué)生在解答本題時(shí)紛紛除以“5”，產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因在于學(xué)生弄不清本題周期現(xiàn)象中的“組數(shù)”與周期“內(nèi)部構(gòu)造的序列”?；仡櫼酝慕虒W(xué)，蘇教版五年級上冊“找規(guī)律”一課，教材主題圖（如右圖）采用了兩個(gè)一組的節(jié)日盆花的情境。由于兩個(gè)一組的周期規(guī)律內(nèi)部構(gòu)造比較簡單，學(xué)生輕而易舉就得到了結(jié)果，注意心向根本不會(huì)聚焦到周期規(guī)律的“組”與“序”這兩個(gè)關(guān)鍵要素上來。雖然接下來教材由易到難，拓展到研究三個(gè)一組、四個(gè)一組的周期現(xiàn)象，但是學(xué)生對概念本質(zhì)的感悟體驗(yàn)始終浮于表面，不夠深刻。由于問題表征受個(gè)體數(shù)學(xué)知識背景的影響比較大，因此，一遇到稍有變化的問題，學(xué)生自然招架不住了。

二是思維定勢的局限

學(xué)生在以往四年多的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中得出的經(jīng)驗(yàn)，解題就是根據(jù)題目中已有的數(shù)字進(jìn)行加減乘除。《找規(guī)律》單元教材中所涉及的練習(xí)題，也是波瀾不驚，對于參與計(jì)算的被除數(shù)和除數(shù)，要么以直觀圖直接呈現(xiàn)，要么在文字信息中直接告知。缺乏挑戰(zhàn)性的機(jī)械化的單一訓(xùn)練封閉了學(xué)生思維的空間，最終導(dǎo)致“熟能生笨”的結(jié)果。本題脫離了直觀的素材圖，在解答過程中，學(xué)生一看到“每2頁文字之間有3頁插圖”這一信息，習(xí)慣性地把“2”和“3”相加作為周期數(shù)進(jìn)行錯(cuò)誤表征，缺乏透過數(shù)字表面去深究其背后真實(shí)含意的意識。

三是策略教學(xué)的割裂

數(shù)學(xué)問題解決的成功與否，與學(xué)生的解題策略有很大的關(guān)系。在平時(shí)教學(xué)中，重結(jié)果而不重過程，重結(jié)論而不重方法的現(xiàn)象依然存在。教師習(xí)慣于讓學(xué)生追求“是什么的知識”，對于“為什么”和“怎么辦”的知識比較忽略。筆者在與學(xué)生的訪談中得知，許多學(xué)生一拿到題，完全沒有考慮使用策略，或者采用了相對無效的策略，正是這樣漫不經(jīng)心、不假思索的想當(dāng)然導(dǎo)致了錯(cuò)誤的發(fā)生。雖然這道題目屬于《找規(guī)律》單元知識，但與《解決問題的策略》單元知識脫不了關(guān)系，而教師的畫地為牢、就事論事的教學(xué)方式使學(xué)生不太注意或不太在意不同領(lǐng)域或不同板塊知識之間的聯(lián)系和聯(lián)合，例如對這道題目，學(xué)生就沒能夠想到之前學(xué)過的“畫圖”這種解決問題的策略，把文述轉(zhuǎn)變成圖解，尋找到支撐來事先進(jìn)行求解或事后進(jìn)行檢驗(yàn)。

【“切”：病理診治】

從全年級有67%的學(xué)生發(fā)生相同的錯(cuò)誤，反映了小學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的表征、數(shù)學(xué)模式的識別以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控等理解過程中出錯(cuò)機(jī)制的共性規(guī)律，教師應(yīng)該引起足夠的重視，從而全盤考慮應(yīng)對措施，積極改進(jìn)教學(xué)方式，幫助學(xué)生防錯(cuò)糾錯(cuò)。為此，我們提出如下教學(xué)建議。

一是概念教學(xué)凸顯核心

教師要認(rèn)真解讀教材，新課教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展的過程，對于學(xué)生中的典型錯(cuò)例，要建立錯(cuò)題檔案，并結(jié)合教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行前期控制，讓學(xué)生認(rèn)識概念的不同特征和不同側(cè)面，根據(jù)具體問題改變認(rèn)識角度，突出本質(zhì)并進(jìn)行重點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

周期規(guī)律這一單元的教學(xué)一般分為兩課時(shí)進(jìn)行。第一課時(shí)主要根據(jù)余數(shù)對周期規(guī)律第幾個(gè)作出判斷；第二課時(shí)研究各類圖形的總個(gè)數(shù)。要研究周期現(xiàn)象中的規(guī)律，關(guān)鍵是要實(shí)現(xiàn)算法化，即把要研究的總個(gè)數(shù)、周期的“組數(shù)”、“內(nèi)部構(gòu)造序”這部分要素與除法算式中的被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)一一對應(yīng)，建立意義上的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。為縮小情境與本質(zhì)之間的縫隙，新授課探微環(huán)節(jié)，不妨直接從幾何圖形入手，先選擇具有代表性的三個(gè)一組的周期現(xiàn)象入手，讓這類現(xiàn)象的材料并聯(lián)呈現(xiàn)，在同與不同的體驗(yàn)中充分感知“所求的個(gè)數(shù)不同，為什么都除以3？”“總個(gè)數(shù)相同，除數(shù)也相同，為什么最后一個(gè)圖形卻不同？”……讓學(xué)生在現(xiàn)象與算法間來回穿梭，凝練概括出周期現(xiàn)象的核心要素“組”與“序”。在此基礎(chǔ)上類比遷移到研究其他周期現(xiàn)象。探究規(guī)律時(shí)，圍繞“第幾組的第幾個(gè)”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生精確定位，深入體會(huì)，并實(shí)踐驗(yàn)證，把邏輯推理與直觀印證緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

二是練習(xí)設(shè)計(jì)加強(qiáng)變式

思維定勢的消極影響具有持久性，很難在新授課后完全消除，要想真正克服其消極影響，需要持續(xù)的強(qiáng)刺激。教師可根據(jù)學(xué)生思維和認(rèn)知發(fā)展的變化，即時(shí)地、有目的地、有側(cè)重點(diǎn)地設(shè)置動(dòng)態(tài)變化的外部情境，通過追溯概念的內(nèi)在知識脈絡(luò)的方法，讓學(xué)生連貫性地反思自己理解上的特征與不足，不斷推動(dòng)理解向縱深發(fā)展。

在此，教學(xué)中不妨設(shè)計(jì)“打祖瑪游戲珠子”的環(huán)節(jié)：第一層次，珠子以2顆紅珠3顆綠珠順序呈現(xiàn)（如圖1）；第二層次，打掉開頭的2顆紅珠后，剩下的珠子以3顆綠珠2顆紅珠順序呈現(xiàn)（如圖2）；第三層次，以打出一顆綠珠，卡在兩顆紅珠中間呈現(xiàn)（如圖3）。

圖1 圖2 圖3

雖然游戲分三個(gè)層次展開，但是在每一個(gè)層次的研究上都提出同一個(gè)問題：“第25顆是什么顏色的珠子？”學(xué)生在變與不變中，深刻理解周期規(guī)律不僅和每組的個(gè)數(shù)有關(guān)，而且和內(nèi)部構(gòu)造的序有關(guān)。第三層次的問題，讓學(xué)生的解答具有了開放性：①（如圖4）25-6=19（顆），19÷5=3（組）……4（顆）；②（如圖5）25-5=20（顆），20÷5=4（組）；③（如圖6）25-1=24（顆），24÷5=4（組）……4（顆）。條條大路通羅馬，構(gòu)造不同的周期，得出結(jié)論一致。

圖4 圖5 圖6

教學(xué)實(shí)踐表明，對那些容易受思維定勢干擾的題目進(jìn)行多角度的變式組合，并將其中定勢源題目組合在一起，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對性、比較性練習(xí)，就能夠?qū)崿F(xiàn)既促進(jìn)正向遷移，開闊解題思路，防止思維呆板，又排除負(fù)向干擾的目的。

三是思考問題注重序列

在主體面對問題時(shí)，一般總是通過觀察弄清問題，抓住事物的特征進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，檢索信息和回憶已儲存的信息，即憑借已有的知識經(jīng)驗(yàn)，作出直覺性的理解和判斷，來選擇總體思路或切入的方向。這時(shí)，解決問題的策略對信息的正確表征將起到十分重要的作用。

如在這道“找規(guī)律”題目的解答中，要凸現(xiàn)“找”這一策略，而要能夠正確找出隱藏其中的排列規(guī)律，很多時(shí)候離不開“畫一畫”和“圈一圈”等解決問題的策略，而不是看到幾個(gè)數(shù)字就只想到“算一算”這條解答問題的捷徑。要使學(xué)生做到策略意識的自動(dòng)勾連，就需要教師在平時(shí)“找規(guī)律”的教學(xué)中，放慢“找”的步伐，突出“找”的策略，讓找規(guī)律思考程序的三部曲能夠在學(xué)生頭腦中格式化——

“一畫”，如：文圖圖圖文圖圖圖文……

“二圈”，如：……

“三算”，用除法確定它是第幾組第幾個(gè)，最后算出插圖的總頁數(shù)是118頁。

有圖有真相。上述“一畫、二圈、三算”思考程序，使問題變隱性為顯性，十分有利于學(xué)生明白事情的“真相”，洞察事物的正確構(gòu)造，從而避免出錯(cuò)，同時(shí)還可以彌補(bǔ)學(xué)習(xí)中的知識漏洞，培養(yǎng)了運(yùn)用多種知識“聯(lián)合作戰(zhàn)”的能力。經(jīng)常進(jìn)行這樣程序性知識的培養(yǎng)訓(xùn)練，學(xué)生能夠形成有效的智慧技能，進(jìn)入自主學(xué)習(xí)的狀態(tài)，能獨(dú)立按照一定的程序，有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)和解決問題。葉瀾主持的新基礎(chǔ)教育實(shí)驗(yàn)研究非常注重讓學(xué)生形成學(xué)習(xí)活動(dòng)程序，尤其是課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)程序。學(xué)生一旦掌握了課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的程序，便能主動(dòng)地投入課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，教和學(xué)的融合很大程度上在這一過程中得以實(shí)現(xiàn)。

總之，上述這道試題的出錯(cuò)，不能都怪學(xué)生，我們首先要問一問學(xué)生，從學(xué)生身上找原因，然后也要問一問教師，從教師身上找原因，只有教師的優(yōu)教才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的優(yōu)學(xué)。

（江蘇省江陰市城西小學(xué) 214400

江蘇省無錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214101）endprint