淺談小學(xué)生方程思想的有序培養(yǎng)

張金元

方程是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的主要內(nèi)容，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。人教版教材把“方程”的教學(xué)安排在五年級(jí)上冊(cè)，在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主動(dòng)選擇用方程解決問(wèn)題的人數(shù)并不多。究其原因，一是學(xué)生算術(shù)思維根深蒂固。學(xué)生從一年級(jí)開(kāi)始一直學(xué)習(xí)的都是用算術(shù)方法解決問(wèn)題，“算術(shù)法”在學(xué)生頭腦中已經(jīng)根深蒂固，形成了思維定勢(shì)。二是學(xué)生嫌方程的書寫步驟煩瑣。三是學(xué)生的方程思想尚未形成。用方程解決問(wèn)題需要學(xué)生在感知問(wèn)題情境的基礎(chǔ)上，將日常語(yǔ)言“翻譯”成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再把數(shù)學(xué)語(yǔ)言直接翻譯為含有未知數(shù)的等量關(guān)系，對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)沒(méi)有這樣的習(xí)慣和意識(shí)，因而不選擇方程解決問(wèn)題也在情理之中。

方程思想是一個(gè)建模和化歸過(guò)程，它必須經(jīng)歷由簡(jiǎn)入繁、由易變難、循序漸進(jìn)的過(guò)程，不可能一蹴而就。那么如何在小學(xué)階段有序地培養(yǎng)學(xué)生的方程思想呢？筆者針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了探索。

一、早期滲透

一至四年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)生主要運(yùn)用的是算術(shù)思維，如果在算術(shù)思維中適當(dāng)滲透代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)五年級(jí)方程的學(xué)習(xí)就能水到渠成。其實(shí)翻閱各版本教材，不難發(fā)現(xiàn)，在第一學(xué)段甚至是第一冊(cè)教材中就有許多方程的雛形，在很多練習(xí)中也能找到滲透“方程思想”的素材。

（一）早期滲透等式性質(zhì)

學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的最大困難在于受等號(hào)是“輸出結(jié)果”的影響，如4+5=9，從左往右運(yùn)算，始終拘泥于具體運(yùn)算，而不會(huì)把“4+5”看成是一個(gè)結(jié)果，學(xué)生始終認(rèn)為“4+5”是一個(gè)算式，一個(gè)式子，必須要寫出9才是答案。因此，在學(xué)生的頭腦中只有實(shí)現(xiàn)“=”由“輸出結(jié)果”向“相等關(guān)系”的轉(zhuǎn)變，其對(duì)方程的認(rèn)識(shí)水平才能發(fā)展。在小學(xué)低年級(jí)日常教學(xué)中要加強(qiáng)等式性質(zhì)的滲透，將方程思想貫穿于問(wèn)題解決之中，為今后的方程教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。如一上計(jì)算5+（ ）=12時(shí)，教師可結(jié)合天平稱物體的具體情境（左邊5個(gè)壘球，右邊12個(gè)壘球，天平的左邊應(yīng)增添幾個(gè)壘球，天平才平衡），通過(guò)演示來(lái)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟到左邊必須加上7個(gè)壘球，這時(shí)天平才會(huì)平衡，即括號(hào)里的數(shù)填7。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行變式：寫出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后轉(zhuǎn)化為圖形算式：5+7=□+2，讓學(xué)生在操作天平的同時(shí)，體驗(yàn)“代入”思路，構(gòu)造圖形等式，推算結(jié)果，體驗(yàn)等式性質(zhì)。

（二）早期滲透方程思想

一年級(jí)的教材中有這樣的習(xí)題：桌子上有5本書，書包里還有一些書，一共有12本書，書包里有多少本書？學(xué)生也會(huì)列成：5+7=12（本），答：書包里有7本書。很多教師都不會(huì)去思考學(xué)生的想法，直接判學(xué)生錯(cuò)。學(xué)生對(duì)這種算法形成的原因到底是什么呢？一年級(jí)學(xué)生在解題時(shí)并未意識(shí)到未知數(shù)和已知數(shù)的不平等，他們更關(guān)注事情的發(fā)展順序。因此，當(dāng)題目的敘述與事情的發(fā)展順序相反時(shí)，由于缺少“從結(jié)果推算出原有條件”的能力，往往將未知數(shù)與已知數(shù)混在一起，按照事情的發(fā)展順序列出算式。這一根據(jù)題目敘述“直陳直寫”的列式方式卻恰恰是小學(xué)中高年級(jí)方程思想的核心，是學(xué)生必須掌握的基本方法。

在教學(xué)中教師應(yīng)該呵護(hù)學(xué)生這種同等看待已知數(shù)和未知數(shù)的想法，這是方程思維的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引導(dǎo)學(xué)生用◆、（ ）代替未知數(shù)進(jìn)行列式：5+◆=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），從而讓學(xué)生分清什么是已知的，什么是未知的。這樣的教學(xué)能使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物素材抽象到圖形素材，為從圖形素材抽象到字母符號(hào)素材的思維發(fā)展奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，這樣的安排不僅符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，而且促進(jìn)了學(xué)生對(duì)減法意義的理解，最重要的是保護(hù)了學(xué)生與生俱來(lái)的方程意識(shí)。

二、現(xiàn)期調(diào)整

（一）重組教材，整合框架

人教版實(shí)驗(yàn)教材正式進(jìn)入方程學(xué)習(xí)是在五年級(jí)上冊(cè)第四單元，教材編排主線是先用字母表示數(shù)，然后在天平的演示下構(gòu)建方程意義，接著是在具體情境中進(jìn)行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教學(xué)，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三類稍復(fù)雜方程的教學(xué)。教材將方程的解法融入具體情境中，算用結(jié)合，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。學(xué)生一邊要在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中收集分析有用的數(shù)學(xué)信息，將它們抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，同時(shí)又要關(guān)注方程解法技能的習(xí)得，往往會(huì)顧此失彼。所以在實(shí)際教學(xué)中，筆者在教學(xué)了方程意義后，先教學(xué)“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各類方程的解法，最后教學(xué)用方程解決實(shí)際問(wèn)題。在教學(xué)稍復(fù)雜方程解法時(shí)，筆者有意不使用新的問(wèn)題情境，而是用學(xué)生熟悉和已掌握的問(wèn)題類型來(lái)幫助學(xué)生理解算理，讓學(xué)生從“以算促用”自然地過(guò)渡到“以用引算”。用新方法解決舊問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)問(wèn)題是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，無(wú)形中降低了學(xué)習(xí)的難度，找到學(xué)生學(xué)習(xí)方程的新的發(fā)展點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)、使用方程的動(dòng)力。

（二）重構(gòu)教學(xué)，建立模型

有許多教師在教學(xué)時(shí)總是將目標(biāo)落在“知識(shí)與技能”這一維度上，把方程意義的學(xué)習(xí)等同于讓學(xué)生記憶“含有未知數(shù)的等式”這句話，在解方程中只重視結(jié)果，注重單純的技能訓(xùn)練，沒(méi)有“建?！焙汀坝媚！钡暮圹E。

1.以“質(zhì)變”為認(rèn)知核心，識(shí)別“序”的架構(gòu)

方程的實(shí)質(zhì)是用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立起來(lái)，而小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律是從實(shí)物到半抽象的圖形再到字母符號(hào)的過(guò)程。學(xué)生在低段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了實(shí)物到圖形的過(guò)程，在課堂教學(xué)中教師要把方程的本質(zhì)作為學(xué)生認(rèn)知的核心，注重實(shí)質(zhì)，逐步建立方程思想。在教學(xué)“簡(jiǎn)易方程”時(shí)不僅要讓學(xué)生理解“=”表示左右兩邊的相等關(guān)系，讓學(xué)生從“象形方程”到“簡(jiǎn)寫方程”再到“符號(hào)方程”，幫助學(xué)生體驗(yàn)符號(hào)代替數(shù)的簡(jiǎn)潔，體會(huì)方程的意義，從而讓學(xué)生理解方程是關(guān)于已知數(shù)和未知數(shù)相等關(guān)系的“天平”，促進(jìn)對(duì)方程實(shí)質(zhì)的理解和領(lǐng)悟。

2.以“聯(lián)系”為思維路徑，洞察“聯(lián)”的因果

要讓學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)方程思想，不能就題論題，而應(yīng)當(dāng)從方程的視角抓住眾多事物的共同普遍性的本質(zhì)，以實(shí)質(zhì)上具有同類關(guān)系的問(wèn)題為主線突出相應(yīng)的解法要點(diǎn)，達(dá)到觸類旁通、體驗(yàn)方程的思想和價(jià)值。如稍復(fù)雜方程以“王阿姨到水果店買蘋果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，蘋果每千克多少元？”為切入口，讓學(xué)生形成“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”的兩積之和模型。教師還可以將例題進(jìn)行變式，把“王阿姨到水果店買蘋果2千克，梨每千克2.8元，買了3千克，梨比蘋果多付3.6元，蘋果每千克多少元？”變式為ax+m=bc的總量相等的模式，還可以變?yōu)槠渌恍┬问健ndprint

學(xué)生在此類問(wèn)題的分析、討論、驗(yàn)證中可以逐步發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題的共性，從而將本質(zhì)屬性抽取出來(lái)：只有一個(gè)量作為未知數(shù)，不管如何變化，都是總量相等。同時(shí)，也在辨析中突破了“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”兩積之和的基本型，從而打破了例題界限，在眾多形態(tài)各異的表象背后蘊(yùn)藏著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系和高度概括意義的數(shù)學(xué)思想方法，催化了兩積之和方程模型的建構(gòu)，提升了方程建模的理性高度。

3.以“矛盾”為探究理念，豐富“探”的內(nèi)涵

在方程教學(xué)中一直以來(lái)爭(zhēng)議最大的就是解方程是依據(jù)等式基本性質(zhì)還是四則運(yùn)算的關(guān)系？或者是兩者兼顧？到底哪一種好，眾說(shuō)紛紜。在人教版教材中四則運(yùn)算的方法只在解方程的起始課中出現(xiàn)了一次，教材的意圖是突出用等式的性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。針對(duì)這一“矛盾”，筆者在平行班中進(jìn)行了對(duì)比教學(xué)：班級(jí)①先學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程，然后學(xué)習(xí)用四則運(yùn)算的關(guān)系解方程；班級(jí)②以等式基本性質(zhì)為主，以四則運(yùn)算的關(guān)系為輔；班級(jí)③只學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)，對(duì)四則運(yùn)算的關(guān)系只在第一課時(shí)一筆帶過(guò)。教學(xué)之后，對(duì)三個(gè)班級(jí)進(jìn)行了檢測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：班級(jí)③的正確率最高，學(xué)生解題基本上不受各部分關(guān)系的影響；但是班級(jí)③的學(xué)生雖然正確率高，而速度明顯要比其他班級(jí)慢得多。

在后續(xù)教學(xué)中，為了提高學(xué)生的書寫速度，筆者在教學(xué)列方程解決問(wèn)題時(shí)先要求學(xué)生用完整、規(guī)范的步驟書寫。在學(xué)生熟悉步驟后，讓學(xué)生簡(jiǎn)化書寫程序，可以將題目中表示未知數(shù)的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。檢驗(yàn)時(shí)運(yùn)用直接代入法進(jìn)行檢驗(yàn)。這樣就大大提高了解答的速度，同時(shí)也提高了學(xué)生主動(dòng)選擇用列方程解決問(wèn)題的自覺(jué)性。

4.以“發(fā)展”為關(guān)注視角，追蹤“發(fā)”的軌跡

在實(shí)際教學(xué)中，教師要站在系統(tǒng)的高度來(lái)處理方程教學(xué)內(nèi)容，以初中代數(shù)教學(xué)視角來(lái)統(tǒng)領(lǐng)小學(xué)方程教學(xué)，以發(fā)展的眼光看待學(xué)生方程思想的形成過(guò)程。

如在教學(xué)ax=b中，教師呈現(xiàn)了以下的題組：

① 一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是60厘米，它的邊長(zhǎng)是多少？

② 某人騎自行車4小時(shí)行了60千米，平均每小時(shí)行了多少千米？

③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？

學(xué)生通過(guò)分析都很快列出方程：4x=60。然后教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“4x”在以上三題中分別表示了什么含義？以上題組創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境簡(jiǎn)單易懂，易于讓學(xué)生找出基本的等量關(guān)系，當(dāng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)等量事實(shí)進(jìn)行清楚的描述與概括后，教師讓學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)編一道用方程“4x=60”解答的實(shí)際問(wèn)題。在教學(xué)中教師用“發(fā)展”的視角利用問(wèn)題情境的變式，而保持基本數(shù)學(xué)模型的不變，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生在簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)情境中感受數(shù)學(xué)建模思想。

三、后期延展

正如前文所述，學(xué)生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一個(gè)由易到難、由簡(jiǎn)到繁不斷螺旋上升的過(guò)程。學(xué)生雖然經(jīng)歷了從文字方程到圖形方程，再?gòu)膱D形方程到字母方程的過(guò)程，初步建立了方程思想，但要想讓方程思想在學(xué)生腦海里深深烙上印記，就必須在后續(xù)的教學(xué)中結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)素材不斷反復(fù)地加以強(qiáng)化。比如在學(xué)習(xí)人教版“簡(jiǎn)易方程”后，教材緊接著安排了“多邊形面積”的內(nèi)容，那么多邊形面積計(jì)算公式的推理過(guò)程，多邊形面積的等積變形，也可以與方程教學(xué)有機(jī)結(jié)合。如：一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)是52厘米，腰長(zhǎng)為6厘米，如果下底縮短4厘米，面積就要減少9平方厘米。求這個(gè)梯形的面積。在分析解題時(shí)要讓學(xué)生建立“原梯形面積=現(xiàn)梯形面積+9”的加法模型，利用加法模型讓學(xué)生用方程思想解答平面幾何題。這一過(guò)程實(shí)質(zhì)上是把幾何中的“形”的問(wèn)題，借助于代數(shù)中的“數(shù)”去揭示幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。還有六年級(jí)的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、正反比例等知識(shí)的學(xué)習(xí)，教師都應(yīng)有意識(shí)地和方程教學(xué)相聯(lián)系。

總而言之，我們的教師要有“大方程教學(xué)觀”，在第一學(xué)段有意識(shí)地滲透“文字方程”“圖形方程”，讓學(xué)生從“方程思想直覺(jué)階段”有效地過(guò)渡到“方程思想形成階段”的“字母方程”，然后走向“方程思想的應(yīng)用階段”，最終達(dá)到學(xué)生方程思想的有序構(gòu)建。

（浙江省建德市三河小學(xué) 311600）endprint