用平面向量解決三角形四心問(wèn)題

郭曉輝

向量本身是一個(gè)幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合，而且向量問(wèn)題在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合時(shí)具有新形式、新特點(diǎn)，因此可稱(chēng)為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)交匯點(diǎn).三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關(guān)的一些特殊點(diǎn)，各自有一些特殊的性質(zhì).在高考中，往往將“向量作為載體”對(duì)三角形的“四心”進(jìn)行考查.這就需要我們?cè)谑煜は蛄康拇鷶?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義.下面舉例說(shuō)明.

一、用向量方法求解重心問(wèn)題

重心：三角形“重心”是三角形三條中線的交點(diǎn)，所以“重心”必在中線上.

例1 已知O是平面內(nèi)一 定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿(mǎn)足：OP=OA+λ（AB+AC），則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的 （ ）.

A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心

解析 如圖1，以AB，AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDC，E為對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)向量平行四邊形法則AB+AC=AD，因?yàn)锳D=2AE，所以，上式可化為AP=λAE，所以點(diǎn)E在直線AP上.因?yàn)锳E為△ABC的中線，所以選C.

二、用向量方法求解垂心問(wèn)題

垂心：三角形“垂心”是三角形三條高的交點(diǎn)，所以“垂心”必在高線上.

例2 （2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果OA·OB=OB·OC=OC·OA，則O必為△ABC的（ ）.

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析 事實(shí)上OA·OB=OB·OC（OA-OC）·OB=0CA·OB=0OB⊥CA. 故選答案D.

例3 已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，則點(diǎn)O是三角形ABC的（ ）.

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析 事實(shí)上由條件可推出OA·OB=OB·OC=OC·OA， 故選答案D.

三、用向量方法求解內(nèi)心問(wèn)題

內(nèi)心：三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以“內(nèi)心”必在內(nèi)角平分線上.

例4 （2003年全國(guó)高考題）O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈（0，+∞），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）.

A.外心 B.內(nèi)心

C.重心 D.垂心

解析 事實(shí)上如圖設(shè)AE=AB|AB|，AF=AC|AC|，都是單位向量，易知四邊形AETF是菱形故選答案B.

四、用向量方法求解外心問(wèn)題

外心：三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以“外心”必在垂直平分線上.

例5 已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA2=OB2=OC2，則O是△ABC的（ ）.

A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

解析 OA2=|OA|2，OB2=|OB|2，

OC2=|OC|2，所以|OA|=|OB|=|OC|.由向量模的定義知O到△ABC的三頂點(diǎn)距離相等，故O是△ABC的外心.故選C.

點(diǎn)評(píng) 求解向量問(wèn)題時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量的加減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積來(lái)求解.

五、總結(jié)

從以上例題中可以看出，用向量解決四心問(wèn)題，無(wú)論題目怎樣變化都在圍繞著三角形四心的定義來(lái)出題，它們都在無(wú)規(guī)律中出現(xiàn)規(guī)律，如出現(xiàn)AB|AB|+AC|AC|就要往內(nèi)心上考慮，出現(xiàn)|OA|=|OC|等模相等時(shí)要考慮外心，出現(xiàn)OA·OB=OB·OC=OC·OA時(shí)要考慮垂心，△ABC中AB+AC一定過(guò)BC的中點(diǎn)，通過(guò)△ABC的重心等.所以只要對(duì)于這方面的知識(shí)準(zhǔn)備充分，就能應(yīng)付自如.