例談幾何概型中“區(qū)間長度”的定位

何軍海

一、問題出在哪里？

這是一節(jié)關(guān)于幾何概型（人教社高中數(shù)學(xué)必修3）的習(xí)題課，在回顧了幾何概型的概念和幾何概型中事件A的概率的計(jì)算公式之后，作為課堂探究與研討，我在黑板上寫下這樣一道題：

（2011·湖南高考改編）已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25.

（1）求圓C的圓心到直線l的距離;

（2）求圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離不大于2的概率.

六個(gè)小組經(jīng)過積極研討后，有一個(gè)小組未能得出完整結(jié)果，其余五個(gè)提交了各自的解答.其中有兩個(gè)小組的解答如下：首先直接用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算出圓心C到直線l的距離為5，而圓的半徑為2 ，因此圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離d∈[5-23，5+23]，而題目要求點(diǎn)A到直線l的距離不大于2，即滿足條件的d ∈[5-23，2]，因此：P（A）=2-5+235+23-5+23=23-343.

另外三個(gè)小組的解答如下：第一步與前面兩個(gè)小組

一樣，容易求得圓心C到直線l的距離為5，然后作一條平行于直線l，并且圓心到其距離為3的直線，與圓

C相交，將圓分成優(yōu)弧與劣弧兩部分.由半徑為23，圓心到直線l的距離為3可知劣弧所對圓心角為π3，從而所求的概率為：P（A）=π32π=16.（如圖）

出現(xiàn)這樣的結(jié)果，作為老師，預(yù)先還真沒有想到，備課時(shí)，只是考慮如何將正確的解答給學(xué)生講清楚，沒想到“半路會殺出程咬金”，第一種結(jié)果的出現(xiàn)，必須要求老師快速做出反應(yīng)：問題出在哪了？而作為學(xué)生，同一問題，出現(xiàn)兩種不同的解答，并且結(jié)果也大相徑庭，按照常規(guī)的數(shù)理邏輯，至少有一個(gè)是錯(cuò)的，那自然會積極思考：問題出在哪了？

二、真相浮出水面

理不辨不明.新課程教學(xué)提倡學(xué)生自主探究，兩種不同的結(jié)果出現(xiàn)，正是學(xué)生思維火花碰撞的時(shí)刻，所謂機(jī)不可失，老師一定不能急于作出評價(jià)，而是要激發(fā)他們思辨的熱情，真正做到“讓學(xué)生去想”.他們討論也好，爭論也好，只要能找到問題的癥結(jié)，那便是極好的！在一番理論之后，第一種解法的一位同學(xué)代表發(fā)言了：老師，我們的解法是錯(cuò)誤的，主要是對于幾何概型公式中“區(qū)間長度”的定位不準(zhǔn)確，換句話說，就是沒有找準(zhǔn)這個(gè)問題中以誰作為測度的對象.我一看時(shí)機(jī)已到，就順勢請剛才做出正確答案的一位同學(xué)說說他的想法，這位同學(xué)說：我們認(rèn)為，這道題研究的是“圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離不大于2的概率”，那我們就得形象地思考這樣一個(gè)問題：圓周上共有多少個(gè)點(diǎn)？，而到直線l的距離不大于2的點(diǎn)又有多少個(gè)？很顯然幾何概型中不能用“多少個(gè)點(diǎn)”來描述，因?yàn)辄c(diǎn)是稠密的，那就要關(guān)注“到直線l的距離不大于2的點(diǎn)”在整個(gè)圓周上的分布，很自然弧長或者弧所對的圓心角便是最好的測度.而第一種解法則是將幾何形態(tài)盲目代數(shù)化，就區(qū)間論區(qū)間，拿距離談距離，所謂A到直線l的距離d∈[5-2π3，5+2π3]，而滿足條件的d∈[5-2π3，2]，實(shí)際上就是沒有搞清楚我們在研究“誰”的概率，是“距離”還是“距離限制之下的圓周上的點(diǎn)”.這位同學(xué)的分析，相當(dāng)于揭開了問題的真相， 實(shí)際上就是對幾何概型中研究的對象產(chǎn)生了錯(cuò)位，這道題中，“距離”是對圓周上的點(diǎn)的描述，而研究的對象則是符合距離要求的“點(diǎn)”，套用當(dāng)下一句時(shí)髦的話：我的概率我做主.

三、還需舉一反三

通過對問題的分析和研討，同學(xué)們認(rèn)識到，產(chǎn)生以上錯(cuò)誤的主要原因，實(shí)際上是幾何概型中“區(qū)間長度”的定位出現(xiàn)了偏差，而這種偏差在處理幾何概型問題中，恰好是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，僅有明白是不夠的.教學(xué)中要舉一反三，通過一些典型例題的訓(xùn)練，提高學(xué)生判斷研究“誰”概率的能力，準(zhǔn)確定位幾何概型計(jì)算概率時(shí)的“區(qū)間長度”.例如下面兩道例題：

例1 如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，求AM

例2 如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與斜邊AB交于點(diǎn)M.求AM

我們看到，這兩個(gè)問題不僅有著相同的入口，即“在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB上有一點(diǎn)M”，而且有著相同的出口，即“求AM

在例1中，直接是“在斜邊AB上取一點(diǎn)M”，那就意味著幾何概型中基本事件的“區(qū)間長度”就是線段AB的長度，只需找到滿足條件AM

解 在斜邊AB上取一點(diǎn)D，使得AC=AD，（圖略）

設(shè)AC=1，則AB=2，而AD=1，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，AM

那么使得AM

在例2中，“過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與斜邊AB交于點(diǎn)M”主要表達(dá)的是射線CM在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，而“點(diǎn)M”則是旋轉(zhuǎn)過程中的“附屬產(chǎn)品”，那就意味著幾何概型中基本事件的“區(qū)間長度”是∠ACB的大小，只需找到滿足條件AM

解 過C點(diǎn)作一條射線交AB于D，使得AC=AD.（圖略）

在等腰三角形ACD中，由于A=45°，所以∠ACD=（180-452）°=67.5°.當(dāng)射線CM在∠ACD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM

那么使得AM

羅增儒教授在他的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中說：“分析典型例題的解題過程是學(xué)會解題的有效途徑，至少在沒有找到更好的途徑之前，這是一個(gè)無可替代的好主意.”通過上面典型例題的思辨，讓學(xué)生感受到準(zhǔn)確定位“區(qū)間長度”，是幾何概型問題得以正確解決之關(guān)鍵，這就要求解題中正確把握問題的切入點(diǎn)，特別是搞清楚在當(dāng)下的問題模型中，誰是真正的做主的.