如何利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

于海青

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，而利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是近幾年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，也是學(xué)生感到比較棘手的一類問(wèn)題.該類問(wèn)題主要有兩種類型：一是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;二是由函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.

類型一 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

解決此類問(wèn)題的依據(jù)是：設(shè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f ′（x） ， 則

（1）若f ′（x）>0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增;

（2）若f ′（x）<0， 則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞減;

（3）若f ′（x）=0， 則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

例1 已知函數(shù)f（x）=x-（1+a）lnx-ax，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

解析 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

f ′（x）=1-1+ax+ax2=x2-（1+a）x+ax2

=（x-a）（x-1）x2.

（1）當(dāng)a<0時(shí)，由f ′（x）>0得x>1; 由f ′（x）<0得0

所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)00得x>1或0

由f ′（x）<0得a

所以f（x）在區(qū)間（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，1）上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)a=1時(shí)，f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（4）當(dāng)a>1時(shí)，由f ′（x）>0得x>a或0

所以f（x）在區(qū)間（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，a）上單調(diào)遞減.

變式 已知函數(shù)f（x）=x-lnx-ax（a≠0）， 試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

解析 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

f ′（x）=1-1x+ax2=x2-x+ax2.

由于Δ=1 - 4a， 所以

（1）當(dāng)1- 4a≤0即a≥14時(shí)，f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)1-4a>0即a<14時(shí)，

令f ′（x）=0，

得x1=1-1-4a2;x2=1+1-4a2.

若a<0，則由f ′（x）>0得x>x2;由f ′（x）<0得0

所以f（x）在區(qū)間（0，x2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x2，+∞）上單調(diào)遞增.

若00得0x2; 由f ′（x）<0得x1

所以f（x）在區(qū)間（0， x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增;在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞減.

由以上兩題可以看出，在判斷含參函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需要注意兩點(diǎn)：1.函數(shù)的定義域.2.如何分類討論.若方程f ′（x）=0的根可通過(guò)分解因式法求出，則可以根據(jù)方程f ′（x）=0的根是否在定義域內(nèi)及根與根之間的大小關(guān)系來(lái)分類討論;若方程f ′（x）=0的根不能通過(guò)分解因式法求出，則要根據(jù)方程f ′（x）=0（一元二次方程）的判別式及根是否在定義域內(nèi)來(lái)分類討論.

類型二 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

解決此類問(wèn)題的依據(jù)是：

一般地，可導(dǎo)函數(shù)f（x） ）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充要條件是

（1）對(duì)x∈（a，b）， 都有f ′（x）≥0;

（2）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的任何子區(qū)間上f ′（x）不恒為0 .

例2 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 f ′（x）=3x2+2a+1.

因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)是減函數(shù)

所以f ′（x）=3x2+2ax+1≤0對(duì)x∈（-23，-13）恒成立.

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，有

f ′（-23）≤0，

f ′（-13）≤0.

解得a≥2.

而a=2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)不是常數(shù)函數(shù)，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2.

本題還有其它解法，但轉(zhuǎn)化為不等式恒成立更易于理解，且運(yùn)算量小，需注意的是要對(duì)等號(hào)驗(yàn)證，否則易產(chǎn)生錯(cuò)解.

變式1 函數(shù)f（x）=ax+1x+2（a∈R）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 f ′（x）=a（x+2）-（ax+1）（x+2）2=2a-1（x+2）2.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，

所以f ′（x）=2a-1（x+2）2在區(qū)間（-2，+∞）恒成立

所以a≥12.

而當(dāng)a=12時(shí)， f（x）=12x+1x+2=12為常數(shù)函數(shù)，故a=12舍去.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>12.

變式2 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 f ′（x）=3x2+2ax+1.

因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，

所以f ′（x）=3x2+2ax+1<0對(duì)x∈（-23，-13）有解，

即不等式a>-32x-12x， 對(duì)x∈（-23，-13）有解.

令g（x）=-32x-12x，x∈（-23，-13），

則g′（x）=-23+12x2=1-3x22x2.

所以g（x）在區(qū)間（-23，-33）內(nèi)遞減，在區(qū)間（-33，-13）內(nèi)遞增，

故g（x）min=g（-33）=3.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>3.

由函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將其轉(zhuǎn)化為“不等式恒成立”問(wèn)題，也可以利用函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，將其轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖象的交點(diǎn)”問(wèn)題.