圓的性質(zhì)在雙曲線中的推廣及簡單應用

王新宏 陳雪蓮

在科學創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明中，類比有著十分廣泛的應用.本文借助圓中我們熟悉的5個性質(zhì)出發(fā)，類比出雙曲線的5個類似性質(zhì)，以期拋磚引玉，激發(fā)起同學們的創(chuàng)造熱情和類比發(fā)現(xiàn)意識.

定理1 點P（x0，y0）為圓x2+y2=1上任意一點，則過點P（x0，y0）的圓的切線方程為x0x+y0y=1.

推廣定理1 點P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任意一點，則過點P（x0，y0）的雙曲線的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.

證明 （Ⅰ）不妨假定y≥0，則由x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）得

y=bax2-a2，所以y′=ba·xx2-a2，k=y′|x=x0=ba·x0a2b2y20=b2a2·x0y0.

由點斜式得y-y0=b2x0a2y0（x-x0），b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，即x0xa2-y0yb2=1.

（Ⅱ）當y≤0時， y=-bax2-a2，同理可證切線為 x0xa2-y0yb2=1.

定理2 直線l切⊙O于T，且OT，l都存在非零斜率kOT，kl，則kOTkl=-1.

推廣定理2 直線l切雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）于T，且OT，l都存在非零斜率kOT，kl，則kOTkl=b2a2.

證明 設(shè)切點T（x0，y0），則切線l的方程為x0xa2-y0yb2=1，進而有kl=b2x0a2y0.又因為kOT=

y0x0，所以，kOTkl=b2a2.

定理3 AB是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，則kPAkPB=-1.

推廣定理3 AB是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的過坐標原點的線段，點P是其上異于A，B的任意一點，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，則kPAkPB=b2a2.

證明 如圖1，設(shè)A（asecθ，btanθ），P（asecφ，btanφ），則B（-asecθ，-btanθ）.

kPA=b（tanθ-tanφ）a（secθ-secφ）

=2bsinθ-φ2cosθ-φ2-2asinφ+θ2sinθ-φ2

=bacosθ-φ2sinφ+θ2，

kPB=b（tanθ+tanφ）a（secθ+secφ）

=2bsinθ+φ2cosθ+φ22asinφ+θ2cosθ-φ2

=basinθ+φ2cosθ-φ2.

所以kPAkPB=b2a2.

定理4 AB是⊙O的弦，M是AB的中點，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，則kABkOM=-1.

推廣定理4 AB是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的弦，M是AB的中點，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，則kABkOM=b2a2.

證明 如圖2，過B作雙曲線的經(jīng)過坐標原點的弦BC，連結(jié)AC，則OM∥AC.由上述推廣定理3可知kABkOM=kABkAC=b2a2.

定理5 AB，CD是⊙O的兩條弦，直線AB，CD相交于點P，則PA·PB=PC·PD.

推廣定理5 AB，CD是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條弦，

直線AB，CD相交于點P，且直線AB與CD的傾斜角互補，則PA·PB=PC·PD.

證明 如圖3，設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為θ，φ， 設(shè)點P的坐標為（x0，y0）， 則弦AB的參數(shù)方程為x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ （t為參數(shù)）.將其代入雙曲線的方程，化簡得（b2cos2θ-a2sin2θ）t2+（b2x0cosθ-a2y0sinθ）t+（b2x20-a2y20-a2b2）=0.

由參數(shù)t的幾何意義可知， |PA|·|PB|=|t1t2|=|b2x20-a2y20-a2b2||b2cos2θ-a2sin2θ|.同理可得|PC|·|PD|=|b2x20-a2y20-a2b2||b2cos2φ-a2sin2φ|.

又因為θ+φ=π，所以sin2θ=sin2φ，cos2θ=cos2φ.

所以PA·PB=PC·PD.

類比是科學研究中常用的一種思維方法，是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理. 盡管類比推理只是一個合情推理（即類比得到的結(jié)果未必正確），但因其具有創(chuàng)造性的特點，而被廣泛應用于科學研究之中. 有興趣的同學不妨試一試，看看你是否能用類比的方法推出某個新的定理.