解析高考對抽象函數(shù)的考查，探究求解此問題的策略

李偉

抽象函數(shù)是高考考查的熱點之一.解決抽象函數(shù)最大的困難是在沒有具體函數(shù)表達式的情景下，如何通過轉化、變形（式）、構造、考察特殊情形等實現(xiàn)問題的解決，顯然對技巧性要求比較高，對變式、構造等能力要求比較強，所以了解和掌握轉化、變形（式）技巧方法，培養(yǎng)這方面的能力就顯得十分重要.本文的目的是通過對近年高考試題對抽象函數(shù)考查的分析，介紹幾種解決抽象函數(shù)問題的技巧方法和策略，以期提升考生解決這類問題的能力.

一、直接利用復合函數(shù)的定義解決問題

對于復合函數(shù)f（g（x））而言，g（x）的值域應受f（x）定義域的約束，據(jù)此求復合函數(shù)定義域往往要借助f（x）的定義域構造關于g（x）的不等式，通過解不等式來解決.

例1 （2013年全國卷數(shù)學理）已知函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（ ）.

A.（-1，1） B.（-1，-12） C.（-1，0） D.（12，1）

分析 依據(jù)上述思想，構造不等式-1<2x+1<0，解之即可，答案為B .

二、運用函數(shù)的性質，借助轉化、變形（式）等方法解決問題

函數(shù)的性質包括奇偶性、單調性、周期性、對稱性、互為反函數(shù)等函數(shù)性質.這些性質反映了函數(shù)值、自變量值之間的某種特定關系，是解決抽象函數(shù)問題中最常見、最基本的方法.下面問題的解決就是來源于這種思考.

例2 （2010年安徽高考試題）若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（3）-f（4）=（ ）.

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

分析 問題的解決顯然要用到條件中已知f（1）=1， f（2）=2， 所以將f（3）、f（4）轉化為f（1）、 f（2）的形式是問題解決的關鍵.注意到條件中有f（x）是周期為5的奇函數(shù)，借助于奇函數(shù)與周期函數(shù)的性質，知f（3）=f（5-2）=f（-2）=-f（2）=-2; 同理f（4）= -1，問題即可解決.答案為A.

例3 （2013年高考上海卷）對區(qū)間Ⅰ上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}，已知定義域為[0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f -1（x），且f -1（[0，1））=[1，2），f -1（（2，4]=[0，1），若方程f（x）-x=0有解x0，則x0=______.

分析 因為g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f -1（[0，1））=[1，2）， f -1（2，4]）=[0，1）， 所以對于函數(shù)f（x）， 當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解; 當x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解; 所以當x∈[0，2）時方程f（x）-x=0即f（x）=x無解.又因為方程f（x）-x=0有解x0，且定義域為[0，3]， 故當x∈[2，3]時，f（x）的取值應屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞）， 故若f（x0）=x0，只有x0=2， 故答案為2.

三、構造抽象函數(shù)方程（組）實施轉化、變形（式）解決抽象函數(shù)問題

把不同的抽象函數(shù)式符號化，即看做是新的未知變量U、V，以此構造關于新變量U、V的方程組，借助于解方程組的辦法求出f（x）的具體表達式，實現(xiàn)問題的解決.下面這個問題就是來源于這種思考.

例4 （2009年安徽高考試題）函數(shù)f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（ ）.

A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3

分析 注意到f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8.設U= f（x），V= f（2-x），則有U=2V-x2+8x-8，V=2U+4-4x-x2.聯(lián)立二元方程組并解之得U=f（x）=x2.所以答案為A.

四、充分挖掘已知條件中抽象函數(shù)所具有的性質，借助運用性質，通過實施轉化、變形（式）等方式解決抽象函數(shù)問題

周期函數(shù)、奇偶函數(shù)、單調函數(shù)等概念都是通過抽象函數(shù)的形式給出的，反之給出抽象函數(shù)的關系式也同樣可能包含該抽象函數(shù)本身所具有的、有待挖掘的特殊性質，所以通過挖掘抽象函數(shù)自身的特殊性質，并應用這些性質去解決問題也是解決抽象函數(shù)問題的方法之一.下面這個問題的解決就是來源于這種思考.

例5 （2009年山東高考試題）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m （m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=______.

分析 由條件得f（x+8）=-f（x+4）= f（x），這樣就挖掘出抽象函數(shù)f（x）是以8為周期的周期函數(shù).再注意到f（x-4）=- f（x），所以f（x）的圖象是以直線x=-2為對稱軸.綜合挖掘出的兩個性質及條件得到f（x）在區(qū)間[-8，8]上的圖象增減性變化形式，再由方程f（x）=m （m>0）在區(qū)間[-8，8]上的四個不同根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=-8.

五、通過考察特殊情形，解決抽象函數(shù)問題

考察特殊情形是解決數(shù)學問題中常見的解題方法，對于解決抽象函數(shù)問題仍然有效.根據(jù)條件和結論的特點，適當取特殊值，在解決抽象函數(shù)問題中同樣可以使用.下面這個問題的解決就是來源于這種思考.

例6 （2006年重慶高考試題）已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x +x） = f（x）-x2+x，若f（2）=3，求f（1）;又若f（0）=a，求f（a）.

分析 在取特殊值時要基于兩點考慮，一是要出現(xiàn)f（2），以此處理掉f（f（x）-x2+x）中的f（x）.二是要出現(xiàn)f（1），便于問題的求解.基于上述考慮，取x=2，得f（f（2）-22+2） = f（2）-22+2，由于f（2） =3，∴f（1）=1.同理：取x=0， 得f（a）=a.

六、通過構造數(shù)列實施轉化、變形（式）

數(shù)列是特殊的函數(shù)，對于給出的抽象函數(shù)關系式，當自變量賦予自然數(shù)值n時，其就是數(shù)列遞推式.對于這類問題，可以借助于解決數(shù)列問題的辦法.

例7 （2010年重慶高考試題）

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y） （x，y∈R），則f（2010）=______.

分析 在條件式中，令x、y取適當整數(shù)值，構成遞推數(shù)列，就可以借助數(shù)列知識進行求解.

所以，取x=n，y=1，得f（n）=f（n+1）+f（n-1），由此可推得f（n+3）= -f（n），即f（n+6）=f（n），所以{f（n）}是以6為周期的周期數(shù)列.

∵2010=335×6， ∴f（2010）=f（0）.再取x=1，y=0，得f（0）=12， ∴f（2010）=12.

七、視抽象函數(shù)為符號，含抽象函數(shù)進行運算

視抽象函數(shù)為符號，含抽象函數(shù)進行運算，通過變形等方式，實現(xiàn)問題的解決.下面問題就來源于這樣的思考.

例8 （2013年遼寧高考題）設函數(shù)f（x）滿足x2f ′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，則x>0時，f（x）（ ）.

A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值也無極小值

分析 如果x>0時，有f ′（x）≥0，即可得到答案D.由條

件的f ′（x）=ex-2x2f（x）x3， 設g（x）=ex-2x2f（x），只需判斷g（x）>0（個別點可以等于0）即可.求導后，再由已知條件知g（x）最小值為0.所以f ′（x）≥0（x=2時取等號）， 所以f（x）為增函數(shù)，所以選D.

以上是對近幾年來抽象函數(shù)在高考中的考查類型和解決方法做了系統(tǒng)的分析歸納，供大家在學習中參考.