培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)處理好四對關(guān)系

◎福建省寧德市蕉城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃榮楣

培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)處理好四對關(guān)系

◎福建省寧德市蕉城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃榮楣

培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力和習(xí)慣是學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)形成的有效途徑之一。教師在教學(xué)中要喚醒學(xué)生的畫圖意識，處理好“演示”與“操作”的關(guān)系；追求畫圖的本質(zhì)，處理好“精細(xì)”與“簡約”的關(guān)系；變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優(yōu)化”的關(guān)系；探尋邏輯關(guān)系，處理好“特殊”與“一般”的關(guān)系

幾何直觀；意識；本質(zhì)；方法；關(guān)系

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十大核心關(guān)鍵詞之一。培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力和習(xí)慣是學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)形成的有效途徑之一。在教學(xué)中，許多教師已經(jīng)十分重視畫圖策略的教學(xué)，但往往忽視了一些細(xì)節(jié)的處理，弱化了幾何直觀能力的培養(yǎng)。在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力時(shí)，應(yīng)科學(xué)處理以下四對關(guān)系。

一、“我要畫”——喚醒畫圖的意識，處理好“演示”與“操作”的關(guān)系

畫圖能夠變“抽象”為“具體”，符合小學(xué)生以形象思維為主的思維特點(diǎn)，在解決一些問題時(shí)，起到“四兩撥千斤”的效果。但在實(shí)際的操作過程中，有的學(xué)生往往有嫌麻煩和畏難心理，視畫圖為“累贅”。如何克服學(xué)生的畏難心理，充分凸顯畫圖的價(jià)值呢？

1.適時(shí)借助圖形，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到畫圖策略的價(jià)值

在解決一些數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題時(shí)，教師要讓學(xué)生充分體會到畫圖策略的獨(dú)到優(yōu)勢。以《解決問題的策略——倒推》一課中的習(xí)題為例：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？學(xué)生往往出現(xiàn)以下兩種解法：①（25+1）×2=52（張）；②25×2＋1=51（張）。到底哪種解法才是正確的呢？有的學(xué)生說可以把52代入原題來檢驗(yàn)，但仍有部分學(xué)習(xí)能力中下水平的學(xué)生并不理解算式中為何要“先加1再乘2”。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步完成線段圖（如圖1所示），學(xué)生觀察思考后明確：這里的25張并不是總數(shù)的一半，只有把25張加上1張，才是總數(shù)的一半。因此，借助圖形可以直觀的判斷方法①是正確的。在上述例子中，盡管畫圖只是該問題的輔助策略，教師的適時(shí)引導(dǎo)畫圖卻讓學(xué)生更好的理解題意，進(jìn)而得出答案。

圖1

2.讓畫圖成為一種解題的習(xí)慣

教師的示范畫圖固然能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)畫圖的優(yōu)越性，但有些教師為了節(jié)約課堂時(shí)間一味地演示，長此以往勢必越俎代庖，使學(xué)生產(chǎn)生對教師作圖的依賴，弱化其作圖能力。因此，教師更應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生主動地畫圖，從而實(shí)現(xiàn)對學(xué)生畫圖能力長效的培養(yǎng)。例如：“同底等積的圓柱體和圓錐體，圓錐體的高為48厘米，那么圓柱的高應(yīng)是（ ）。①16厘米②48厘米③144厘米?！睂W(xué)生的解題錯(cuò)誤率較高，選③的學(xué)生很多。學(xué)生在解答時(shí)，往往會假設(shè)出具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行舉例說明，此方法雖然可行，但過于繁瑣，也不利于發(fā)現(xiàn)圓柱高和圓錐高兩者之間的倍數(shù)關(guān)系。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生畫這三個(gè)答案的示意圖（如圖2所示）。

圖2

通過畫圖，學(xué)生清晰看到，如果答案是③，那么圓錐的高度只有圓柱的三分之一，體積就更不可能相等了。學(xué)生從圖中發(fā)現(xiàn)在等底的前提下，如果要兩種圖形等積，則要讓圓錐的高是圓柱的3倍，而不是三分之一。否則，圓錐看上去特別小，根本不可能和圓柱的體積相等。有了直觀圖后，教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考稍復(fù)雜的問題：在答案③中，圓錐的體積和圓柱的體積又有怎樣的關(guān)系？學(xué)生借助直觀圖，很快發(fā)現(xiàn)圓錐的體積圓柱的體積的九分之一。教師在最后引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)解題的過程，突出示意圖對解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題的重要作用，感受畫圖策略的價(jià)值。

在教學(xué)過程中，只要適時(shí)地把教師的演示和學(xué)生的動手畫圖相結(jié)合，并做到逐步放手，變“要我畫”為“我要畫”，使之內(nèi)化為利用圖形思考的意識和能力，學(xué)生的幾何直觀能力必定會逐步提升。

二、“我會畫”——追求畫圖的本質(zhì)，處理好“精細(xì)”與“簡約”的關(guān)系

畫圖作為常用的解決問題策略，分布在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，但在具體教學(xué)中，教師往往出現(xiàn)在處理上有失偏頗的現(xiàn)象：有的教師處理過粗，一開始就讓學(xué)生嘗試畫圖，缺乏必要的指導(dǎo)，學(xué)生或無從下手，或錯(cuò)誤百出，影響了課堂教學(xué)效率，畫出的圖形，有的比例嚴(yán)重失調(diào)，阻礙了對題意的理解；有的教師則過于精細(xì)，從作圖工具、細(xì)節(jié)要求甚至美觀上都有嚴(yán)格要求。畫圖的本質(zhì)是幫助學(xué)生理解問題、分析問題，教師的指導(dǎo)應(yīng)該從規(guī)范化作圖逐漸向畫草圖過渡，關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)本身的理解和內(nèi)化。以“用分?jǐn)?shù)乘法解決問題”為例進(jìn)行分析：“人的心臟跳動的次數(shù)隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多4/5，嬰兒每分鐘心跳多少次？”教師首先要讓學(xué)生弄清幾個(gè)小問題：①什么是單位“1”？②題目中的75次應(yīng)該標(biāo)在哪里？③應(yīng)該把單位“1”平均分成幾份，另一個(gè)量相當(dāng)于這樣的幾份？④多4/5應(yīng)該標(biāo)哪里？怎樣標(biāo)？⑤檢查一下，所有的與解題有關(guān)的條件和問題是否都在圖里標(biāo)上了等等。上述的問題可以讓學(xué)生先探究、討論并嘗試畫圖，再展示學(xué)生的作品進(jìn)行評價(jià)、修正。在這個(gè)過程中，可以討論一些細(xì)節(jié)上的要求，比如通常先畫出單位“1”，這樣便于畫出另一個(gè)量；平均分可以借助刻度尺準(zhǔn)確地分；畫出的兩條線段之間的左端點(diǎn)要對齊，多出的部分用豎線幫助對齊等。最后根據(jù)畫出的線段圖（如圖3所示），引導(dǎo)學(xué)生相互交流，說說各部分的意義。學(xué)生在把生活語言數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)語言符號化的過程中，不斷加深對畫圖策略的感悟。

圖3

學(xué)生能準(zhǔn)確規(guī)范地畫圖固然重要，但是如果過于精細(xì)化的要求，容易造成學(xué)生解題上的負(fù)擔(dān)，由此沖淡了他們對畫圖策略于解決此類問題獨(dú)特輔助價(jià)值的體悟，產(chǎn)生厭煩心理，反而棄之不用。因此，當(dāng)學(xué)生畫圖比較熟練時(shí)，教師要適時(shí)放寬要求，允許學(xué)生畫草圖，或者局部畫圖。例如一道百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題出現(xiàn)了“31%”“45%”這樣的兩個(gè)分率，此時(shí)，平均分顯得較為麻煩且無必要，就要允許學(xué)生用估計(jì)的方法，分別估計(jì)兩個(gè)分率的比例，較為合理地畫出草圖。再如，教學(xué)“環(huán)形的面積”一課時(shí)，出現(xiàn)了“在一個(gè)半徑為4.5米的圓形花壇周圍修一條寬2米的環(huán)形水泥路。這條水泥路的面積是多少平方米？”這一類的題目，此時(shí)學(xué)生最易錯(cuò)或誤解的地方就是這里的“寬2米”指的是什么？它與花壇的半徑有什么關(guān)系？教師可引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖并標(biāo)上數(shù)據(jù)，從而找出所需條件。而至于學(xué)生要不要用圓規(guī)畫,用什么工具畫圓，畫得如何，只要不影響對題意的理解，就無需做太多要求。

三、“我巧畫”——變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優(yōu)化”的關(guān)系

在絕大部分教師常用的解決問題的輔助方法中，線段圖是占主導(dǎo)地位的。新教材把畫圖作為一種策略，方式可以不僅僅局限于線段圖，還可以是畫平面圖、立體圖、分析圖、線段圖、思路圖等多種示意圖,甚至可以是非標(biāo)準(zhǔn)的原生態(tài)圖示。隨著學(xué)生對畫圖策略的逐步領(lǐng)悟、內(nèi)化，畫圖水平的逐步提升，教師適時(shí)關(guān)注畫圖方法多樣化，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行優(yōu)化。

仍以“小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？”這道題為例，有位教師在教學(xué)時(shí)，用長方形圖代替線段圖來表示題中的數(shù)量關(guān)系（如圖4所示）。這樣數(shù)量關(guān)系更為直觀清晰。在線段圖中，由于分段較多，“多1張”很容易讓學(xué)生錯(cuò)看成是“送走的那一半”中的一部分。而長方形中“多1張”這個(gè)數(shù)量能讓人一眼就看出是屬于另一半的。此時(shí)，教師再追問：那么，你們看看，能否修改算式25×2＋1=51（張），使它正確？學(xué)生借助圖，發(fā)現(xiàn)25×2求出的是兩邊各缺1張時(shí)的畫片數(shù)量之和，于是列出了這樣的算式25×2＋1×2=52（張）。同時(shí)，也加深了對之前錯(cuò)題的錯(cuò)誤原因的理解。

圖4

四、“我懂畫外音”——探尋邏輯關(guān)系，處理好“特殊”與“一般”的關(guān)系

在解決問題時(shí)，幾何直觀不僅能幫助學(xué)生理解題意，還能有效地培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家徐利治先生曾指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！币虼?，在教學(xué)時(shí)，有時(shí)學(xué)生能借助直觀圖，跳躍性地思考問題，從而得出結(jié)果。例如：修一段長80千米的公路，已經(jīng)修了1/8，剩下的甲乙兩隊(duì)分別按3：4修完。乙隊(duì)修了多少千米？通過畫圖，有的學(xué)生直接把80÷2=40（千米）求出答案，而解釋算式時(shí)則說是“從圖上（如圖5）直接看出來的”。當(dāng)教師讓學(xué)生介紹別的解法，這部分學(xué)生卻認(rèn)為已經(jīng)解決問題了，不需要再花時(shí)間去明確數(shù)量關(guān)系。此時(shí)，解決問題成了學(xué)生的唯一目的，而本題的數(shù)量關(guān)系的分析，卻被學(xué)生所忽視。面對這樣的情況，教師在肯定學(xué)生的創(chuàng)新思維和直覺水平的基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生體驗(yàn)到，這道題的快速解決和數(shù)據(jù)的巧合也有一定的關(guān)系。此時(shí)，教師可適時(shí)修改題中的數(shù)據(jù)（例如3：4改為2：3），讓學(xué)生去思考常規(guī)的解題方法，讓學(xué)生體驗(yàn)到該方法的巧妙靈活，但又十分局限。解題時(shí)，既要關(guān)注畫圖帶來的特殊作用，又要真正地掌握一般的解題方法。

圖5

對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，需要教師在教學(xué)中用心關(guān)注每個(gè)細(xì)節(jié)問題，科學(xué)處理好以上四對關(guān)系，辯證施教。

陳志華）