用向量模型說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學(xué) 柯賢力

用向量模型說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學(xué) 柯賢力

怎樣說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”？什么樣的說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型是最好的模型？不少專(zhuān)家同行對(duì)此做了比較深入的研究，但到目前為止也沒(méi)有一個(gè)最好的答案.下面是筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)實(shí)踐對(duì)說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型教學(xué)的一點(diǎn)淺顯看法和做法.

一、背景分析

1.說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的必要性

“負(fù)負(fù)得正”的說(shuō)明是“有理數(shù)的乘法”這一課時(shí)的難點(diǎn)，注意到“負(fù)負(fù)得正”是有理數(shù)四則運(yùn)算的一項(xiàng)重要規(guī)定，遵守規(guī)則，運(yùn)算就能夠順利進(jìn)行，這節(jié)課把側(cè)重點(diǎn)放在法則的運(yùn)用上無(wú)可厚非.但如果我們不講為什么，對(duì)這一難點(diǎn)問(wèn)題避而不談，只說(shuō)“負(fù)負(fù)得正”是一種規(guī)定，讓學(xué)生記住并能運(yùn)用就可以了，這種講法明顯不太符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.前一節(jié)剛剛在水平數(shù)軸上用向東、向西來(lái)學(xué)習(xí)加法法則，似乎頭頭是道，而乘法法則卻說(shuō)是硬性規(guī)定，這樣一來(lái)學(xué)生肯定就不好接受了.“雜交水稻之父”袁隆平院士說(shuō)過(guò)：“我最喜歡外語(yǔ)、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樵趯W(xué)正、負(fù)數(shù)的時(shí)候，我搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問(wèn)老師，老師說(shuō)‘你記得就是’；學(xué)幾何時(shí)，對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問(wèn)，還是一樣的回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，成績(jī)不好.”數(shù)學(xué)原本就是這樣？還是我們的數(shù)學(xué)教學(xué)使之然？作為數(shù)學(xué)老師，我們是要好好的反思.我們還是要對(duì)“負(fù)負(fù)得正”有些“說(shuō)明”，用一些實(shí)際事例和實(shí)踐模型來(lái)幫助學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”的規(guī)律是符合實(shí)際的，只有這樣學(xué)生才會(huì)真正對(duì)之認(rèn)同和信服，這樣的課才是一節(jié)真正的數(shù)學(xué)課.

2.說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”要注意的四個(gè)問(wèn)題

（1）說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型不能離開(kāi)實(shí)際問(wèn)題背景，任何憑空高談闊論或者是一味的數(shù)學(xué)推理的處理方式都是初一學(xué)生最不喜歡的，也是他們不愿意接受的，如：

相反數(shù)模型：5×3=5+5+5=15；（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15.所以，把一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積就是原來(lái)的積的相反數(shù)等這類(lèi)模型就完全屬于此情形.

（2）說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡量減少學(xué)生理解困難的因素.如蝸牛爬行模型（氣溫變化模型）對(duì)“負(fù)負(fù)得正”問(wèn)題的處理是我國(guó)五十年代初中數(shù)學(xué)課本的做法，由于涉及速度和時(shí)間兩個(gè)因素，而且需要考慮在指定時(shí)間以前的運(yùn)動(dòng)物體的位置，學(xué)生實(shí)際上是不容易理解接受的.

（3）說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型盡量與說(shuō)明有理數(shù)的加法運(yùn)算法則的模型相呼應(yīng)，體現(xiàn)有理數(shù)加法、乘法運(yùn)算法則的一致性和完整性.像數(shù)軸模型，應(yīng)該是一個(gè)能向?qū)W生說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的較好的模型，但在與有理數(shù)加法教學(xué)的銜接上，是不夠完美的.

（4）說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”的模型應(yīng)該具備一定的理論背景.如好孩子模型、向后轉(zhuǎn)模型雖然很切合實(shí)際，學(xué)生聽(tīng)后也樂(lè)于接受和認(rèn)同，但它們只能作為一種事例驗(yàn)證，因?yàn)樗鼈冊(cè)诶碚撋鲜钦静蛔∧_的.

二、筆者的模型設(shè)計(jì)——向量模型

綜合以上背景分析，筆者選擇以德國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的向量模型為基礎(chǔ)，同時(shí)設(shè)置了一個(gè)彈簧伸長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)的問(wèn)題情境，說(shuō)明為什么“負(fù)負(fù)得正”.從筆者的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，相比較而言，這一處理方法能從實(shí)際問(wèn)題背景出發(fā)，所涉及問(wèn)題學(xué)生也易于接受和理解，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也注意了與有理數(shù)加法教學(xué)的銜接，更與高中的向量法則學(xué)習(xí)同出一轍，具備理論背景.在學(xué)生歸納出有理數(shù)的乘法法則后，筆者再讓學(xué)生通過(guò)日常生活中的事例來(lái)說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”，隨后筆者舉出一個(gè)生動(dòng)的“向后轉(zhuǎn)”模型事例，堅(jiān)定學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”這一事實(shí)的認(rèn)同.具體設(shè)計(jì)如下（僅摘選筆者的教學(xué)流程設(shè)計(jì)中的前兩個(gè)環(huán)節(jié)）：

1.創(chuàng)設(shè)情境

先向?qū)W生出示一根長(zhǎng)為2分米的彈簧，固定彈簧的一端，強(qiáng)調(diào)這一端是不能動(dòng)的，拉另一端使彈簧往不同方向伸長(zhǎng).

出示問(wèn)題1：（邊說(shuō)邊演示）約定：彈簧移動(dòng)端向東時(shí)為正，移動(dòng)端向西時(shí)為負(fù).當(dāng)彈簧移動(dòng)端向東時(shí)，其原始長(zhǎng)度可記為_(kāi)________，彈簧移動(dòng)端指向西，彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度為3分米時(shí)，其長(zhǎng)度可記為_(kāi)________.

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)主要是幫助學(xué)生回顧和體會(huì)前面所學(xué)的正、負(fù)數(shù)的意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和參與程度，并為學(xué)生探究乘法法則創(chuàng)設(shè)探索的情境.

2.探究歸納

出示問(wèn)題2：再約定：當(dāng)拉伸方向與移動(dòng)端指向一致時(shí)稱(chēng)為正向拉伸，記為正；當(dāng)拉伸方向與移動(dòng)端指向相反時(shí)稱(chēng)為反向拉伸，記為負(fù).當(dāng)彈簧分別作如下四種情況下的拉伸時(shí)，結(jié)合上述相反意義，你能求出彈簧最終的長(zhǎng)度嗎？

（1）開(kāi)始時(shí)彈簧移動(dòng)端向東，并正向拉伸至原來(lái)的3倍.

（2）開(kāi)始時(shí)彈簧移動(dòng)端向東，并反向拉伸至原來(lái)的3倍.

（3）開(kāi)始時(shí)彈簧移動(dòng)端向西，并正向拉伸至原來(lái)的3倍.

（4）開(kāi)始時(shí)彈簧移動(dòng)端向西，并反向拉伸至原來(lái)的3倍.

具體活動(dòng)：（1）實(shí)驗(yàn)探究：教師通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生說(shuō)出每一種情況中彈簧長(zhǎng)度的變化過(guò)程及結(jié)果，并列式表示.

（2）數(shù)軸表示：你能在數(shù)軸上畫(huà)出以上過(guò)程嗎？（課件展示）

（3）歸納概括：類(lèi)比有理數(shù)加法，從以上算式你發(fā)現(xiàn)了兩數(shù)相乘有什么規(guī)律嗎？?jī)蓴?shù)相乘還有什么特殊情況嗎？你能用以上實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明這種情況嗎？

歸納有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0.

（4）舉例驗(yàn)證：為了幫助學(xué)生進(jìn)一步地認(rèn)同“負(fù)負(fù)得正”這一事實(shí)，可鼓勵(lì)學(xué)生舉例說(shuō)明：生活中還有哪些事例可以說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”？學(xué)生經(jīng)過(guò)討論發(fā)言后，教師舉出“向后轉(zhuǎn)”模型事例：規(guī)定一個(gè)人面朝東為正，面朝西為負(fù).向前看，記為正；向后轉(zhuǎn)，表示負(fù).現(xiàn)在一個(gè)人面朝西，向后轉(zhuǎn)，此時(shí)他面朝東，不就是“負(fù)負(fù)得正”嗎？

設(shè)計(jì)意圖：整個(gè)探究歸納環(huán)節(jié)筆者設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)探究、數(shù)軸表示、歸納概括、舉例驗(yàn)證四個(gè)階段，其中實(shí)驗(yàn)探究、數(shù)軸表示是突破“負(fù)負(fù)得正”這一難點(diǎn)的關(guān)鍵階段.使用這一向量模型說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”還有一大優(yōu)點(diǎn)，那就是它可以使有理數(shù)乘法的講法與加法的講法實(shí)現(xiàn)完美統(tǒng)一，因?yàn)樗鼈兌际怯糜邢蚓€(xiàn)段或運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)明的，上述過(guò)程（課件展示）也可以看成是把有向線(xiàn)段（±2）正、反向延長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（或正、反向運(yùn)動(dòng)了3次）；這樣一來(lái)，就使初中的有理數(shù)加法、乘法運(yùn)算法則與高中的向量的加法、乘法運(yùn)算法則一脈相承，因此，這種處理方法還為初、高中數(shù)學(xué)教材的銜接做了一個(gè)很好的嘗試，也說(shuō)明了這種處理方法是具備理論背景的.上述的活動(dòng)，由淺入深，循序漸進(jìn)，既繼承了學(xué)生思維的延續(xù)性，又成功化解了“負(fù)負(fù)得正”這一難點(diǎn)問(wèn)題，類(lèi)比有理數(shù)加法法則，有理數(shù)乘法法則的歸納也就順理成章了.“向后轉(zhuǎn)模型”的舉出，更是讓學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”深信不疑，學(xué)習(xí)熱情高漲.通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換，發(fā)展用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力、數(shù)學(xué)表示、概括歸納能力，感受數(shù)形結(jié)合、化歸、模型化、類(lèi)比和分類(lèi)討論思想.

1.鞏子坤.“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)的有效模型［J］.中學(xué)版·教學(xué)參考，2010（1）.

2.呂學(xué)禮.怎樣講負(fù)負(fù)得正［J］.數(shù)學(xué)通訊，1990（9）.Z