基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，探索“未知領(lǐng)域”——李庾南老師“分式方程”課例賞析

☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 葛 媛

基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，探索“未知領(lǐng)域”
——李庾南老師“分式方程”課例賞析

☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 葛 媛

最近一段時(shí)間，我們從專業(yè)刊物（如《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下））上關(guān)注到不少同行觀摩、研習(xí)專家教師李庾南老師的課例后，記錄李老師課例的教學(xué)流程和設(shè)計(jì)意圖，并闡釋了對(duì)課例的深刻理解，是一種務(wù)實(shí)的專家課例研究方向，值得肯定．2015年7月，南通市區(qū)初中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班上，古稀之年的李庾南老師親自為兩百多名數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)，培訓(xùn)班上播放了一節(jié)她執(zhí)教的“分式方程”教學(xué)視頻，筆者會(huì)后認(rèn)真觀摩研習(xí)該課十多遍，頗有心得體會(huì)，本文先整理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)賞析，與同行交流．

一、“分式方程”教學(xué)流程

1.從“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，建構(gòu)分式方程的概念

活動(dòng)1：教師提問(wèn)，學(xué)生思考、解答．

學(xué)生提出如下三種解法，李老師在此基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生解法進(jìn)行追問(wèn)、點(diǎn)評(píng)，并引出分式方程解法中驗(yàn)根的必要性.

活動(dòng)3：師生共同小結(jié).

各人的具體解法及解法依據(jù)雖不同，但解分式方程的基本思想?yún)s是相同的——“轉(zhuǎn)化”，即將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

3.分析“增根”的原因，突出“驗(yàn)根”的必要，完善求解的步驟

活動(dòng)1：學(xué)生獨(dú)立解下列方程：

顯然也無(wú)解，故原方程無(wú)解.

解法2：方程兩邊同乘以（x－1）（x＋1），去分母后，得x＋1＝2，所以x＝1.

故原方程的解為x＝1.

活動(dòng)3：研究：為什么會(huì)產(chǎn)生兩種結(jié)果？轉(zhuǎn)化成的整式方程與原方程是否一定同解？為什么？

根據(jù)方程同解變形原理，方程兩邊必須同乘以或除以不等于0的同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得方程與原方程才是同解方程．當(dāng)x＝1時(shí)，去分母，方程兩邊同乘以（x－1）（x＋1），其中x－1＝0.所以x＝1只是新方程——一元一次方程的解，不是原分式方程的解．所以原分式方程無(wú)解．此時(shí)，整式方程的解叫做原分式方程的“增根”，必須舍去．因此解分式方程，求得整式方程的解后，必須檢驗(yàn)是不是原分式方程的解，這個(gè)過(guò)程叫做“檢驗(yàn)”（驗(yàn)根）．

“檢驗(yàn)”方法：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．

活動(dòng)4：師生共同總結(jié).

解分式方程的基本思想——轉(zhuǎn)化，即將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

4.學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，之后相互評(píng)價(jià)、糾錯(cuò)，強(qiáng)化對(duì)分式方程的概念和解法的認(rèn)識(shí)

活動(dòng)1：解下列方程，進(jìn)一步體驗(yàn)分式方程和整式方程的區(qū)別與聯(lián)系.

活動(dòng)2：學(xué)生通過(guò)解題實(shí)踐和相互評(píng)價(jià)，自我進(jìn)行總結(jié).

（1）解分式方程首先要確定最簡(jiǎn)公分母，若原方程中的分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先分解因式；

（2）若原分母與最簡(jiǎn)公分母是互為相反數(shù)時(shí)，去分母時(shí)要注意改變分子的符號(hào)；

（3）檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟，這與解整式方程時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)的目的不同.

二、課例賞析

和很多同行的感覺(jué)一樣，聽(tīng)李老師的課往往“悠然神會(huì)，妙處難與君說(shuō)”．然而有些感受不吐不快，以下就兩點(diǎn)個(gè)性化賞析，提供研討．

1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的引入，使開(kāi)課情境與新授內(nèi)容無(wú)縫對(duì)接

我們知道，不少教材對(duì)分式方程的引入都是由一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，列出分式方程，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考如何解這種新的方程，再回歸應(yīng)用問(wèn)題的解決．而李老師在這節(jié)課中，從學(xué)生在小學(xué)階段就熟悉的數(shù)字問(wèn)題，逆向思考設(shè)問(wèn)，用三個(gè)遞進(jìn)式的數(shù)字問(wèn)題讓學(xué)生感受要解決較為復(fù)雜的數(shù)字問(wèn)題并不能僅僅口算，需要列式分析，進(jìn)而學(xué)生列出了分式方程，于是分式方程就自然而然地生成了，為后續(xù)獨(dú)立探索學(xué)習(xí)分式方程的解法做好了鋪墊．值得一說(shuō)的是，《課標(biāo)（2011年版）》就數(shù)學(xué)情境的選用也提出了重視“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的選用，想來(lái)，李老師在開(kāi)課階段從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，選出一組數(shù)字問(wèn)題由淺入深地引出分式方程也是對(duì)課標(biāo)上重視“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的踐行．

2.引導(dǎo)學(xué)生探索未知領(lǐng)域，在修補(bǔ)漏洞時(shí)規(guī)范解法

法國(guó)數(shù)學(xué)教育家Yves Chevallard指出：當(dāng)問(wèn)題由教者圈定或限定在某個(gè)狹小范圍內(nèi)探索時(shí)，學(xué)生即無(wú)法“自由行走”，他稱之為“參觀紀(jì)念碑”式的探索，并提出“‘探索世界’的范式”，［2］即訓(xùn)練學(xué)生預(yù)見(jiàn)未來(lái)的能力，也稱之為“預(yù)先認(rèn)知”．李老師在組織學(xué)生“解方程”時(shí)，并沒(méi)有首先示范規(guī)范的步驟，而是讓學(xué)生獨(dú)立探索如何求解，并且進(jìn)一步導(dǎo)出矛盾，再師生合作修補(bǔ)漏洞，最終規(guī)范了解分式方程的步驟，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅習(xí)得了新知——分式方程的規(guī)范解法，同時(shí)也深刻理解了分式方程驗(yàn)根的必要性．也許有人要說(shuō)，在引入階段讓不同學(xué)生展示獨(dú)立探索分式方程解法的過(guò)程時(shí)耗時(shí)太多，推進(jìn)太慢了，課堂教學(xué)時(shí)間那么寶貴，專家教師李老師為什么這樣安排呢？事實(shí)上，在此過(guò)程中，不同的學(xué)生都經(jīng)歷了獨(dú)立探索未知領(lǐng)域的過(guò)程，而且思維深刻的學(xué)生在導(dǎo)出矛盾時(shí)學(xué)會(huì)追問(wèn)增根的原因，也就從深層次上認(rèn)識(shí)了分式方程驗(yàn)根的必要性．這里看是慢，實(shí)則是在核心問(wèn)題、教學(xué)難點(diǎn)上“不惜時(shí)、不惜力”．

1.李庾南，陳育彬．中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007．

2.王光明，廖晶．“探索世界”范式及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示——ICME12獲獎(jiǎng)報(bào)告述評(píng)［J］．課程·教材·教法，2013（12）.

3.鄭毓信．“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.周紅娟．從操作走向思考，從參觀走向探索——等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)與反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.Z