利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題的策略和方法
——從2015年高考山東卷第21題談起

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 秦 儉

利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題的策略和方法
——從2015年高考山東卷第21題談起

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 秦 儉

不等式恒成立問題是函數(shù)與不等式綜合問題的重要內(nèi)容，也是體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具性的重要應(yīng)用，常見方法就是結(jié)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，但是如何構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化也是解決問題的關(guān)鍵，筆者結(jié)合2015年山東高考第21題談?wù)勥@類問題常用的解決方法.

一、合理討論參數(shù)

不等式恒成立問題往往與函數(shù)的最值有密切聯(lián)系，而求函數(shù)最值與函數(shù)的增減性有關(guān)，所以往往需要對參數(shù)進(jìn)行合理討論函數(shù)單調(diào)性.

例1（2015年山東高考第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+ 1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（2）若?x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

②a<0，令g（x）=2ax2+ax+1-a，Δ=9a2-8a，此時(shí)Δ>0，令此時(shí)x2>0，函數(shù)f（x）在（0，x2）上遞增，在（x2，+∞）上遞減，不合題意，舍去.

綜上所述：0≤a≤1.

二、參變分離

對于含有參數(shù)的不等式恒成立問題，難點(diǎn)往往在于參數(shù)與自變量的相互變化、相互影響，這個(gè)時(shí)候可以考慮能否將參數(shù)分離出來，從而將不等式恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

例2已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，若對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：本題只需證明不等式2xlnx≥-x2+ax-3對一切x∈（0，+∞）恒成立，若構(gòu)造函數(shù)則對參數(shù)分類很麻煩，此時(shí)可以將參數(shù)a分離，不等式等價(jià)變形為a≤x+2lnx+令函數(shù)則只需a≤h（x）min，又h′（x）=則函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，因此h（x）min=h（1）=4，所以a≤4.

三、構(gòu)造函數(shù)

在處理不等式恒成立問題時(shí)，如果分離變量可能導(dǎo)致函數(shù)求導(dǎo)比較困難，可以合理構(gòu)造函數(shù)，從而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

例3（2015年湖北八校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=lnxmx2，g（x）mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x），若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整數(shù)m的最小值.

解法一：令1，所以G′（x）

當(dāng)m≤0時(shí)，因?yàn)閤>0，所以G′（x）>0.所以G（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù).又因?yàn)樗躁P(guān)于x的不等式G（x）≤mx-1不能恒成立.

所以整數(shù)m的最小值為2.

評注：本例通過合理構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，思路清晰自然，但本例也可以嘗試用分離變量方法.

解法二：由F（x）≤mx-1恒成立，得mx-1在（0，+∞）上恒成立.

所以h（x）max=h（x0）

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化

例4（2015年浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=（x3-6x2+3x+ t）ex，t∈R.若存在實(shí)數(shù)t∈［0，2］，使對任意的x∈［1，m］，不等式f（x）≤x恒成立，求正整數(shù)m的最大值.

解析：不等式f（x）≤x，即（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈［0，2］，使對任意的x∈［1，m］，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.

即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈［1，m］上恒成立.

即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈［1，m］上恒成立.

設(shè)φ（x）=e-x-x2+6x-3，則φ′（x）=-e-x-2x+6.

設(shè)r（x）=φ′（x）=-e-x-2x+6，則r′（x）=e-x-2.

因?yàn)?≤x≤m，有r′（x）<0，故r（x）在區(qū)間［1，m］上是減函數(shù).

r（1）=4-e-1>0，r（2）=2-e-2>0，r（3）=-e-3<0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0.

當(dāng)1≤x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有φ′（x）<0.

從而y=φ（x）在區(qū)間［1，x0］上遞增，在區(qū)間［x0，+∞）上遞減.

又φ（1）=e-1+4>0，φ（2）=e-2+5>0，φ（3）=e-3+6>0，φ（4）=e-4+5>0，φ（5）=e-5+2>0，φ（6）=e-6-3<0.所以當(dāng)1≤x≤5時(shí)，恒有φ（x）>0；當(dāng)x≥6時(shí)，恒有φ（x）<0.

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5.

評注：本題中參數(shù)和變量比較多，如何準(zhǔn)確理解題意是最重要的，即將已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈［1，m］上恒成立是本題關(guān)鍵.本題題干敘述簡潔，設(shè)問方式靈活，綜合應(yīng)用了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)知識，從抽象到具體，很好地體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題時(shí)的工具性.

總之，在解決這類問題時(shí)，要使解題方法更加靈活多樣，思路更加清楚和合理，就必須在解題方法上多思考，多總結(jié)，加強(qiáng)對這類問題的總結(jié)與反思，不斷提高自身綜合能力和水平，促進(jìn)自身綜合素質(zhì)的不斷提高.