幾何畫板在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究

【摘 要】借助平面解析幾何教學(xué)中的一系列案例，討論幾何畫板在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證、數(shù)學(xué)問題解決過程中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 ?平面解析幾何 ?數(shù)學(xué)概念 ?數(shù)學(xué)定理 ?問題解決 ?應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】 G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）12C-0156-06

幾何畫板是一個(gè)易學(xué)易用的數(shù)學(xué)軟件，為教師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的教學(xué)平臺(tái)。它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過對(duì)這些基本元素的變換、度量、計(jì)算和跟蹤生成軌跡等方式，能構(gòu)造出較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)圖形和動(dòng)畫效果，能根據(jù)普通方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程準(zhǔn)確地畫出其對(duì)應(yīng)的圖形。幾何畫板較之其他數(shù)學(xué)軟件最大的優(yōu)勢(shì)在于幾何圖形的動(dòng)態(tài)化、“形”與“數(shù)”的同步化和操作的簡(jiǎn)單直觀化。

筆者在平面解析幾何課程教學(xué)過程中，結(jié)合幾何畫板的優(yōu)勢(shì)和五年制高職生的認(rèn)知特點(diǎn)，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)了大量的教學(xué)案例，并借助這些教學(xué)案例所創(chuàng)設(shè)的問題情境展開教學(xué)活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生在操作中觀察、在探索中思考、在合作中交流，不僅點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且克服了傳統(tǒng)教學(xué)中的不足，有效地促進(jìn)了學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展。本文擬借助這些案例討論幾何畫板在平面解析幾何教學(xué)中數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證、數(shù)學(xué)問題解決過程中的應(yīng)用。

一、幾何畫板在揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征和形成過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，或是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)乃夭?，分析概念的特性，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，使學(xué)生在經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展的過程中，認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)概念。對(duì)于某些具有過程性特征的數(shù)學(xué)概念，如拋物線、離心率等概念，傳統(tǒng)教學(xué)手段不易為學(xué)生提供過程性的認(rèn)識(shí)材料與背景，不能很好地揭示這一類數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，學(xué)生在不理解的前提下，大多對(duì)概念的認(rèn)識(shí)停留在事物的表面，不能深刻理解概念的本質(zhì)。幾何畫板可以為過程性概念提供形象、生動(dòng)、直觀的過程背景，有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征的發(fā)現(xiàn)與理解。

案例1：拋物線概念的理解。

用沒有伸縮性的繩索可以畫出橢圓和雙曲線，但卻難以用傳統(tǒng)教具流暢地畫出拋物線的運(yùn)動(dòng)軌跡。通常情況下，教師用語(yǔ)言直接給出拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)所滿足的條件完全由教師告知，學(xué)生難以信服與理解。而借助幾何畫板的動(dòng)畫技術(shù)，則可以流暢地表現(xiàn)拋物線軌跡的形成過程，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的本質(zhì)特征，從而理解概念。如圖1所示，點(diǎn)M作為動(dòng)圓的圓心，在運(yùn)動(dòng)過程，動(dòng)圓始終保持過定點(diǎn)F并和定直線l相切，學(xué)生通過觀察動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程和形成的運(yùn)動(dòng)軌跡，不僅能抽象概括出拋物線的本質(zhì)屬性，還能給拋物線下定義。

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圖1 拋物線軌跡的形成過程

案例2：“橢圓離心率”概念的認(rèn)識(shí)。

如圖2所示，學(xué)生學(xué)習(xí)“橢圓離心率”時(shí)，借助幾何畫板中的度量、計(jì)算與跟綜軌跡工具，能直觀、動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)焦距與長(zhǎng)軸比值保持不變，橢圓由大不斷變小，但扁平程度不變的過程，得到“離心率相同的橢圓相似或重合”的結(jié)論。如圖3所示，保持橢圓長(zhǎng)軸不變，讓兩個(gè)焦點(diǎn)距橢圓中心的距離越來越近，離心率越小，橢圓越接近圓，反之橢圓越扁平。通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，既能直觀地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓離心率的幾何意義，又能在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生建立橢圓和圓之間的關(guān)系，實(shí)踐證明有了上述的感性認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生不僅能夠接受教材中關(guān)于離心率定義的規(guī)定，而且對(duì)其本質(zhì)也有了深刻的認(rèn)識(shí)，有效地提升了學(xué)生對(duì)橢圓離心率的認(rèn)知水平。

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圖2 離心率不變、橢圓的大小改變時(shí)的對(duì)比圖

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圖3 保持橢圓長(zhǎng)軸不變、焦距變小時(shí)的前后對(duì)比圖

二、幾何畫板在揭示數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式發(fā)現(xiàn)過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)理論不會(huì)憑空產(chǎn)生，一般都會(huì)有一個(gè)實(shí)際需要或具體的問題背景，數(shù)學(xué)家們通常要經(jīng)過具體的操作、演算，通過觀察、分析，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成猜想，然后從理論上給出嚴(yán)格的證明。平面解析幾何中所涉及的數(shù)學(xué)理論，是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期研究積累而形成的邏輯嚴(yán)密、抽象完整的理論體系，在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)這些抽象的數(shù)學(xué)理論時(shí)，往往會(huì)被忽略理論產(chǎn)生的背景和探索的過程?，F(xiàn)代心理學(xué)、教育學(xué)成果揭示：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，會(huì)以濃縮的形態(tài)再現(xiàn)人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷程，傳統(tǒng)教學(xué)中，由于受條件、技術(shù)、時(shí)間等諸多因素的限制，問題發(fā)現(xiàn)的過程均被削弱了，注重的是數(shù)學(xué)理論成果的快速學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、抽象性和理論證明的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性成了課堂的主旋律，這也是學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)的最為主要的原因之一。幾何畫板可以為學(xué)生提供可進(jìn)行觀察、分析、思考的問題背景，讓學(xué)生在豐富的感性材料中經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律過程，獲得數(shù)學(xué)猜想的喜悅體驗(yàn)。

（一）用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過程

案例3：發(fā)現(xiàn)兩條直線互相垂直的充要條件。

“兩直線垂直的充要條件”這一數(shù)學(xué)定理的教學(xué)，通常是教師出示定理內(nèi)容，然后進(jìn)行推理證明，學(xué)生對(duì)定理的內(nèi)容及證明在理解與認(rèn)同上總有一些困難。如圖4所示，用幾何畫板能迅速作出兩條互相垂直的直線，直接測(cè)算出這兩條直線的斜率，用計(jì)算工具，求出兩者之積，保持這兩條直線的垂直關(guān)系不變，用鼠標(biāo)任意改變這兩條直線的方向，屏幕上即時(shí)呈現(xiàn)出兩直線的斜率隨兩直線的方向的改變而改變，觀察兩直線的斜率，可以發(fā)現(xiàn)兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，兩直線的斜率的乘積始終為-1。學(xué)生通過觀察分析，能猜想出兩條直線垂直的必要條件。

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圖4 兩條直線垂直時(shí)斜率之間的關(guān)系

反過來，如圖5所示，用幾何畫板先任意作出一條直線，然后再作出另一條與它斜率為負(fù)倒數(shù)的直線，任意改變第一條直線的方向，測(cè)算出，兩直線的夾角始終為90度。學(xué)生可以猜想出兩條直線垂直的充分條件。學(xué)生獲取“兩直線垂直的充要條件”，不再是教師直截了當(dāng)?shù)亟o出，而是通過操作、觀察、分析猜想得來的。學(xué)生學(xué)習(xí)定理證明時(shí)，就會(huì)興趣盎然，信心百倍。實(shí)踐證明有了上述的觀察猜想之后，學(xué)生不僅能夠接受教材中關(guān)于兩直線垂直的充要條件，而且能夠通過自己的努力證明定理。

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圖5 兩直線斜率互為負(fù)倒數(shù)、兩條直線垂直

（二）用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程

案例4：揭示拋物線開口大小的性質(zhì)。

目前的數(shù)學(xué)教材往往在問題討論之初，就直接給出相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的感性認(rèn)識(shí)的缺乏，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)性質(zhì)的接受或認(rèn)同上產(chǎn)生困難。借助幾何畫板所創(chuàng)設(shè)的提供的感性材料和問題情境，在一定程度上可以消除這方面的影響。幾何畫板能通過拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究圖形的性質(zhì)。如圖6所示，用鼠標(biāo)沿著x軸的正方向拖動(dòng)焦點(diǎn)F，使焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p值逐漸增大，這時(shí)拋物線的開口大小也隨之逐漸變大，反之，拋物線的開口變小。學(xué)生通過觀察拋物線開口大小與p值大小關(guān)系的動(dòng)態(tài)演示過程，不僅能自己猜想出拋物線開口大小的性質(zhì)，而且加深了方程與圖形對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步從理論上證明這一數(shù)學(xué)性質(zhì)的興趣。

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圖6 改變P值，開口大小改變

（三）用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)過程

案例5：發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上有向線段的數(shù)量公式。

用幾何畫板在作出數(shù)軸上的有向線段AB（如圖7a），測(cè)算出有向線段AB的端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值（XB，XA），并用鼠標(biāo)沿坐標(biāo)軸拖動(dòng)點(diǎn)A或點(diǎn)B，引導(dǎo)學(xué)生觀察，可以猜想出數(shù)軸上有向線段的數(shù)量與終點(diǎn)坐標(biāo)、起點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式。如圖7b所示，計(jì)算XB、XA、XB-XA 三者的值，改變A、B兩點(diǎn)在x軸的任意位置，可以進(jìn)一步驗(yàn)證猜想。幾何畫板中的度量“橫坐標(biāo)”工具既能直觀地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上有向線段的數(shù)量與端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，又能在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生驗(yàn)證當(dāng)A、B兩點(diǎn)處于各種位置時(shí)公式的正確性，能有效地提升學(xué)生對(duì)有數(shù)軸上有向線段數(shù)量公式的認(rèn)知水平。

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圖7 數(shù)軸上有向線段的數(shù)量與端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

（四）用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系

某些數(shù)學(xué)概念或?qū)ο笾g既存在著聯(lián)系，也存在著差異，借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)功能，能夠很好地揭示數(shù)學(xué)概念之間所存在的聯(lián)系與差異，并可以流暢地呈現(xiàn)由此及彼的運(yùn)動(dòng)變化過程，這無疑能夠幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵與外延，概念間的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的理解能力和認(rèn)知水平。

案例6：用幾何畫板揭示橢圓、雙曲線、拋物線三者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生難以理解橢圓、雙曲線的第二定義，傳統(tǒng)教具不能根據(jù)橢圓的第二定義直觀的演示出軌跡圖形，這也是學(xué)生心里不能完全接受和理解第二定義的原因。借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能不僅能夠直觀演示出離心率不同的橢圓軌跡圖形，還可以通過改變離心率的大小，動(dòng)態(tài)直觀地呈現(xiàn)出由橢圓到拋物線、雙曲線的變化過程，動(dòng)態(tài)直觀地揭示了橢圓、雙曲線、拋物線三者之間的區(qū)別與聯(lián)系。如圖8所示，用幾何畫板的“追蹤”和“軌跡”工具，能實(shí)現(xiàn)到定點(diǎn)與定直線的比為常數(shù)（可通過拖動(dòng)點(diǎn)改變常數(shù)值）的點(diǎn)的軌跡的動(dòng)態(tài)演示，動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持到定點(diǎn)F的距離MF和定直線的距離MA的比值是常數(shù)0.59292時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓。如圖9所示，用鼠標(biāo)沿線段OS 拖動(dòng)點(diǎn)T，可以任意改變比值e的大小。當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡也隨之而變?yōu)閽佄锞€，當(dāng)e>1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡也隨之而變?yōu)殡p曲線，這樣離心率的大小與橢圓、雙曲線、拋物線之間的辯證關(guān)系清楚地呈現(xiàn)出來了，既降低了學(xué)生認(rèn)知與理解上的難度，又讓學(xué)生對(duì)離心率的定義和圓錐曲線的特點(diǎn)有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，還能為后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線的極坐標(biāo)方程服務(wù)，價(jià)值巨大。

圖8 比值小于1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

大于1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

圖9 比值e不小于1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

（五）用幾何畫板直觀、形象地揭示相關(guān)定理間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)中的某些重要定理及其相關(guān)知識(shí)，不僅需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解定理的條件和結(jié)論部分，掌握定理的推理證明方法，知道定理的由來，而且還需要讓學(xué)生把握這個(gè)定理與其相關(guān)定理或知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而幫助學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)知數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和數(shù)學(xué)思維能力。借助幾何畫板其動(dòng)態(tài)演示功能，可以把相關(guān)定理等知識(shí)的演變過程直觀、形象地揭示出來，從而幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)相關(guān)定理之間的聯(lián)系。

案例7：揭示兩直線三種位置關(guān)系充要條件定理之間的區(qū)別與聯(lián)系。

幾何畫板能測(cè)算出直解坐標(biāo)系中直線的點(diǎn)斜式方程，通過拖動(dòng)或旋轉(zhuǎn)某一直線，可以探究觀察兩條直線的位置與兩直線的斜率與截距之間的關(guān)系。如圖10所示，直線l1可以做上下平移運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與直線AB平行或重合，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察兩直線方程的斜率和在Y軸上的截距，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)兩條直線平行或重合的必要條件。讓直線l2繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，學(xué)生可得出兩直線相交的必要條件，通過以上的兩個(gè)動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩直線平行、重合、相交必要條件及之間的聯(lián)系，這樣進(jìn)行教學(xué)不僅有益于學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理內(nèi)容與定理之間的聯(lián)系，而且還能培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)地把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。endprint

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圖10 兩直線的三種位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)直線方程的顯示

三、幾何畫板在問題解決過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，某類數(shù)學(xué)問題的解決會(huì)產(chǎn)生與之相關(guān)的數(shù)學(xué)理論或數(shù)學(xué)方法，譬如，微分學(xué)及求導(dǎo)等一系列數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生，就是源于求運(yùn)動(dòng)物體的即時(shí)速度這類問題的解決，解析幾何中所涉及的大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論或數(shù)學(xué)方法，都是前人在求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題時(shí)所得到的，盡管學(xué)生目前所遇到的數(shù)學(xué)問題不是那么深?yuàn)W復(fù)雜，但對(duì)于學(xué)生來說，卻是難于求解的數(shù)學(xué)問題，其中的一些問題借助幾何畫板不僅能幫助學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)問題本身，而且還能幫助學(xué)生在解答的過程中尋找問題求解的一般方法，從而降低解決問題的難度，提高問題解決能力。

（一）借助幾何畫板快速呈現(xiàn)平面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

探求點(diǎn)的軌跡是平面解析幾何研究的重要問題之一，一直以來都是學(xué)生難以理解和掌握的內(nèi)容，傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生只能手工畫出動(dòng)點(diǎn)軌跡的草圖或在頭腦中簡(jiǎn)單地想象，軌跡的精準(zhǔn)性、完備性往往難以把握，手工畫圖常使學(xué)生、教師在解題思考時(shí)，考慮得不夠完整全面，遺漏了動(dòng)點(diǎn)的特殊位置以及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的多種情形，從而造成軌跡的遺漏和不完整。借助幾何畫板，可以直觀、動(dòng)態(tài)地描繪出運(yùn)動(dòng)軌跡的形成過程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)軌跡的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生從中獲得解決問題方法。

案例8：求分別位于兩定圓上兩動(dòng)點(diǎn)連線段中點(diǎn)的集合。

如圖11a所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是兩個(gè)相離的定圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)在兩個(gè)圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)C的集合。如果知道了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，就有助于問題求解，借助幾何畫板的可以迅速畫出動(dòng)點(diǎn)C的軌跡圖形，如圖11b所示，原來是一個(gè)圓環(huán)（限于篇幅這里不展開求解過程）。在此基礎(chǔ)之上可以繼續(xù)探索：如果兩圓相交、相切、內(nèi)含時(shí)，點(diǎn)C的軌跡如何呢，通過拖動(dòng)的方式，點(diǎn)C的軌跡圖形能準(zhǔn)確快速地呈現(xiàn)出來。求軌跡方程是解析幾何教學(xué)過程中的重難點(diǎn)之一，學(xué)生往往不知道運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形，從而會(huì)影響問題的解答，然而借助幾何畫板不僅能夠直觀、形象地幫助學(xué)生“繪出”相應(yīng)的滿足條件的所有點(diǎn)的集合，而且在此基礎(chǔ)上還能進(jìn)一步分析、尋找問題求解的方法，達(dá)到全面地、本質(zhì)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的目的。

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圖11 點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓環(huán)

（二）借助幾何畫板快速呈現(xiàn)直線的運(yùn)動(dòng)軌跡

幾何畫板的繪圖功能和動(dòng)態(tài)移動(dòng)功能，不僅能對(duì)點(diǎn)進(jìn)行“追蹤”顯示“軌跡”，而且也能對(duì)直線或其他圖形對(duì)象進(jìn)行“追蹤”并顯示“軌跡”。能夠直觀、動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)對(duì)象的軌跡圖形，從而幫助學(xué)生“找到”相應(yīng)的問題求解集合，在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思維，為學(xué)生提供問題求解的線索和一般方法。

案例9：求滿足條件的折痕所在直線集合。

一張紙上畫有半徑為r的圓C，在圓C外有一定點(diǎn)T，且OT=b，折疊紙片，使點(diǎn)T剛好與圓周上某一點(diǎn)T′重合，這樣不斷進(jìn)行折紙，每一種折法，都有一條直線折痕。當(dāng)點(diǎn)T′取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線的集合。按求軌跡方程的一般方法求直線集合中的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系式是極為困難的。如圖12所示，借助幾何畫板的“軌跡”工具，能迅速得到所求點(diǎn)的集合的圖形是“雙曲及其外部”。進(jìn)一點(diǎn)探討：如果點(diǎn)T在圓C內(nèi)時(shí)，折線的集合又是怎樣的圖形呢？通過拖動(dòng)改變點(diǎn)T的位置和圓的大小，能很快能地得到所求點(diǎn)的集合的圖形是“橢圓及其外部”，如圖13所示。限于篇幅，這里略去問題的最終求解表達(dá)式求及解過程的相關(guān)敘述。借助幾何畫板能有效突破問題求解過程中的“畫出軌跡圖形”這個(gè)難點(diǎn)，顯然這是傳統(tǒng)教學(xué)手段無法達(dá)到的。把幾何畫板和問題解決有機(jī)地結(jié)合起來，可以開辟問題求解的新平臺(tái)，對(duì)這個(gè)平臺(tái)的使用能極大地促進(jìn)學(xué)生的問題解決能力的提高，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升，這無疑是對(duì)解析幾何教學(xué)的促進(jìn)。

圖12 T點(diǎn)在圓外折痕集合

圖13 T點(diǎn)在圓內(nèi)折痕集合

綜上所述，用幾何畫板輔助平面解析幾何教學(xué)是傳統(tǒng)教學(xué)手段的有力補(bǔ)充，借助其所創(chuàng)設(shè)的問題情境開展數(shù)學(xué)教學(xué)能夠極大地促進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效開展，但使用時(shí)要根據(jù)教學(xué)的實(shí)際需要恰當(dāng)?shù)剡x擇，科學(xué)地設(shè)計(jì)，要以激發(fā)學(xué)生思考、提升學(xué)生的思維品質(zhì)、提高教學(xué)效果為目的，不能為了用幾何畫板而生硬地使用，這樣會(huì)適得其反。

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【作者簡(jiǎn)介】莫 平（1965- ? ），女，武漢人，柳州城市職業(yè)學(xué)院副教授，碩士，研究方向：高職數(shù)學(xué)教育、高職計(jì)算機(jī)教育。

（責(zé)編 王 一）endprint