數(shù)學(xué)教學(xué)情境的設(shè)計要有“境”可設(shè)

祝要輝

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要從學(xué)生的經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的問題情境. 要善于利用學(xué)生認知發(fā)展的不平衡，創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)生認知沖突的問題情境.可見，創(chuàng)設(shè)好的問題情境是數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵，將直接影響著數(shù)學(xué)課堂的有效性.下面筆者結(jié)合教學(xué)中幾個案例來談?wù)剟?chuàng)設(shè)教學(xué)情境的一些思考，不妥之處懇請指正.

一、案例與啟示

“任意角的三角函數(shù)”引入的改進.我們在初中通過直角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦和正切等三角函數(shù).前幾節(jié)課我們又把銳角推廣到了任意角，銳角三角函數(shù)也能推廣到任意角嗎？怎樣推廣？本節(jié)課就來研究這個問題——任意角的三角函數(shù).

這樣設(shè)計問題情境不僅明確了本節(jié)課的主題，而且說明了產(chǎn)生這節(jié)課的知識背景，也能促使學(xué)生迅速集中到新知識的探究中來.進一步思考后會發(fā)現(xiàn)，問題情境創(chuàng)設(shè)過程中僅僅關(guān)注了認知的廣度，對認知的方式與認知的結(jié)構(gòu)思考得較少，并且不能有效引起學(xué)生認知的沖突，于是對本節(jié)課的問題情境進行了如下改進.

教師直接板書課題“三角函數(shù)”，促使學(xué)生回憶初中所學(xué)的三角函數(shù)的知識，結(jié)合學(xué)生的回答，進一步板書圖1及sinA= ，cosA= ，tanA= .我們知道，借助于直角三角形定義的三角函數(shù)中必須是銳角.當我們把角的概念進行推廣后，如何定義三角函數(shù)才更合適呢？有效引起學(xué)生認知沖突，并補全課題“任意角的三角函數(shù)”，在“任意角”上加著重號，同時提出“新三角函數(shù)定義不能與原定義產(chǎn)生矛盾”，讓學(xué)生帶著問題閱讀教材效率就會高，明白了定義任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)是更換了工具（直角三角形換成平面直角坐標系）后，如圖2，新知識也就會融入到原有的知識體系中來，這樣便會產(chǎn)生三角函數(shù)概念的同化效應(yīng).

從案例可以看出，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境首先要考慮的就是學(xué)生的經(jīng)驗和已有的知識，即學(xué)生知道了什么？怎么知道的？以什么方式知道的？這其實包含了認知的廣度、認知的方式和認知的結(jié)構(gòu)三方面的含義，在學(xué)生已有的知識范圍內(nèi)選擇合適的教學(xué)情境作為切入點，用合適的方式激活學(xué)生的認知，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的有效對接，為學(xué)生的思維發(fā)展提供平臺.其次要考慮的是教材的結(jié)構(gòu)特征與編寫者的意圖，現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材“模塊整合，螺旋上升”導(dǎo)致同一知識模塊分布在不同的章節(jié)中. 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時要理清各個模塊之間的邏輯關(guān)系，用思想方法來統(tǒng)領(lǐng)模塊知識. 作為教師也只有領(lǐng)會了教材的結(jié)構(gòu)特征與教材編寫者的意圖才能從宏觀上把握教材、理清知識脈絡(luò)，設(shè)計出合乎情理的教學(xué)情境.

二、教師應(yīng)做到有“境”可設(shè)

俗話說：“良好的開端是成功的一半.”好的問題情境能迅速引起學(xué)生的認知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)中我們可以從教材的編寫意圖、習(xí)題使用功能、思維訓(xùn)練有效角度和基于學(xué)生理解的角度創(chuàng)設(shè)好的問題情境，使學(xué)生自然而然地進入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài).

（一）從教材編寫意圖角度設(shè)“境”

人教版主編寄語中說：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成的、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”這句話包含兩方面：一是知識的邏輯順序自然;二是學(xué)生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然.“平面向量”是人教版數(shù)學(xué)的一章，第一節(jié)課包括“章引言”和“平面向量的實際背景及基本概念”兩部分.“章引言”（包括“章頭圖”）起“導(dǎo)游圖”作用，是這一章學(xué)習(xí)的“先行組織者”，為避免空洞的說教，可以滲透到具體的教學(xué)內(nèi)容中，最好不作抽象的講解.對于向量概念的教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，讓學(xué)生感受引入向量概念的必要性. 這里可以創(chuàng)設(shè)這樣一個教學(xué)情境，比如甲、乙兩車分別以v1=40km/小時，v2=50km/小時的速度從同一地點向北行駛，兩小時后它們相距20km/小時;甲、乙兩車分別以v1=40km/小時，v2=50km/小時的速度從同一地點出發(fā)，甲車向北，乙車向南，兩小時后它們相距180km.它們的行駛速度一樣，為什么兩小時后它們的距離相差這么大呢？讓學(xué)生在問題情境中感受到“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容.再讓學(xué)生舉出一些既有方向，又有大小的量（如重力、浮力、作用力等），讓學(xué)生舉盡量多的不同例子，就會迫使他們開動腦子，形成百花齊放的場面. 而且在舉例過程中有獨立思考、合作交流，甚至有爭辯，學(xué)生就能深度參與其中，這也就形成了促進概念理解的機制.這時教師進一步追問：生活中有沒有只有大小沒有方向的量（面積、身高、體重等）？舉例后要讓學(xué)生講理由，并讓其他學(xué)生補充，相互啟發(fā)、相互交流的局面自然而然地就出現(xiàn)了.通過這些典型實例，讓學(xué)生領(lǐng)悟到向量概念的本質(zhì)屬性，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做好準備.最后教師總結(jié)：由同學(xué)們的舉例可見，生活中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向. 數(shù)學(xué)中對位移、力這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量.

（二）從習(xí)題使用功能角度設(shè)“境”

問題情境是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一道門檻，直接影響著課堂教學(xué)的有效性.創(chuàng)造性使用教材，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，把數(shù)學(xué)知識放到一個生動活潑的現(xiàn)實生活中里，就可以讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)原來是那么貼近生活，那么豐富多彩. “三角函數(shù)模型的應(yīng)用”情境問題：半徑為4m的水輪，中心距離水面2m.已知水輪自點A開始逆時針每60秒轉(zhuǎn)動4圈，水輪上點P距離水面的距離y（m），y與時間x秒之間的關(guān)系：當0≤x≤10時，y=Asin（ωx+φ）+2，求該函數(shù)的解析式.該題目作為習(xí)題無可厚非，但是很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，由于學(xué)生對水輪不太熟悉，所以很難激起學(xué)生的興趣.不如從學(xué)生的生活情境設(shè)計問題，用強烈的豐富的感性材料，創(chuàng)設(shè)出使學(xué)生躍躍欲試、尋根問底的情境. 把抽象知識具體化，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用的意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力.這里我們可以把上題與摩天輪整合到一塊，改進為：“上海魔幻世界摩天輪城”內(nèi)有世界最大的摩天輪.其中摩天輪中心O距離地面200m高，直徑170m（如圖3、4）.摩天輪沿逆時針方向做勻速運動，每8分鐘轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪的輪周上的點P的起始位置在最低點處（即時刻t=0分鐘的位置）.已知在時刻分鐘時點距離地面的高度f（t）.①求20分鐘時，點P距離地面的高度;②求f（t）的函數(shù)解析式.這樣的問題情境是學(xué)生喜聞樂見的，并且改進后的問題本身具有一定的難度和坡度，適合學(xué)生的實際水平，能造成一定的認知沖突.通過讓學(xué)生收集、整理、分析相關(guān)信息，能保證大多數(shù)學(xué)生在課堂上保持積極的思維狀態(tài).endprint

（三）從思維訓(xùn)練有效角度設(shè)“境”

問題改編后不僅承載了原有的知識內(nèi)容、思想方法，還被賦予了新的問題情境，蘊含了新的數(shù)學(xué)思想方法. 因此變式訓(xùn)練課能有效避免重復(fù)訓(xùn)練，讓學(xué)生跳過重復(fù)計算，把關(guān)注點迅速集中到改編問題的中心，可以解決學(xué)生解題缺乏思路的問題.在高三的平面解析幾何復(fù)習(xí)中，為了解決學(xué)生解題缺乏思路問題，引入這樣的問題串：已知過點A（ ，0）的直線l與橢圓G： +y2=1相交于點B，C.①如圖5，若以BC為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，如何求BC？②若AB=BC，如何求BC？③若S△OAB=S△OBC，如何求BC？④若AB∶BC=1∶2，如何求BC？⑤若S△OAB∶S△OBC=1∶2，如何求BC？⑥如圖6，若點D的坐標為（0，-1），且DB=DC，如何求BC？⑦如圖7，在橢圓G上能否存在一點D，使四邊形OBDC為菱形？若存在，求出BC;否則說明理由.這組問題串妙在“不變中求變”，不變的是七個問題的背景，即同一個橢圓與同一條過定點的動直線相交，提出了變化多樣的幾何條件.好處在于省去了列方程、消元、求解判別式、得到根與系數(shù)的關(guān)系等學(xué)生熟悉的程序化操作，集中精力思考顯現(xiàn)的幾何條件中的隱含條件，這有利于難點的突破;更妙在“變中求不變”，在變化多樣的幾何條件中不變的是轉(zhuǎn)化思想，這有利于學(xué)生內(nèi)化等價轉(zhuǎn)化思想.

（四）基于學(xué)生理解的角度設(shè)“境”

問題是促使學(xué)生探究、積極參與課堂教學(xué)的動力.課堂教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生原有的知識進行教學(xué)，在設(shè)計教學(xué)情境時要了解學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，找到學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中可以用來同化新概念的相關(guān)知識，以便使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)建立起非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系.在雙曲線的漸近線的教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了雙曲線的范圍、對稱性、頂點和離心率.這里①反比例函數(shù)的圖象.②雙曲線的范圍（x≥a，y∈R，或y≥a，x∈R）.③矩形[過兩個實點（兩個虛點）分別作x（y）軸的垂線得到的]的對角線等等，這些都是比較合適的引入雙曲線的漸近線問題. 但是比較而言，②、③指向性更明確，都與雙曲線的方程有著直接或者間接的聯(lián)系，也更有利于進一步的探究. 而①與雙曲線的漸近線的關(guān)系就弱得多，這是由于雙曲線的方程與漸近線的方程沒有“明顯”的聯(lián)系.下面把矩形對角線作為演繹推出雙曲線的漸近線的引導(dǎo)性材料，幫助學(xué)生建立有意義的學(xué)習(xí)心向，先在范圍與頂點上“旁白”一下，讓學(xué)生關(guān)注“矩形的對角線”，再用幾何畫板軟件畫一個具體的雙曲線和它的漸近線的圖象，將學(xué)生的關(guān)注提升為理性的思考. 最后是邏輯推理，可以分兩個層面進行探究，一是“確定沒有交點”，這是淺層次的認識. 可以通過解方程組來解決，也可以通過研究雙曲線的方程來解決，設(shè)M（x，y）是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，則y= ?（x>a），因為y= ?< ?= x，所以y< x;二是“無限趨近”的處理，這是高層次的認識，考慮鉛垂線與雙曲線、直線y= x的交點間的距離MN隨x的增大而無限趨近于0，這樣我們就可以把直線線y=± x叫作雙曲線的漸近線.

葉瀾教授曾說過：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵守固定的線路而沒有激情的行程.”因此，教師應(yīng)不斷加強課堂研究，鉆研透教材，理解教材的組織結(jié)構(gòu)與編寫意圖，不斷提升自己揭示數(shù)學(xué)知識所蘊含的科學(xué)研究方法和思維過程的能力.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)出好的問題情境，并在特定情境中根據(jù)師生、生生互動情況，適時引導(dǎo)學(xué)生進行有效探究，使數(shù)學(xué)課堂因?qū)W生的生成而更加精彩.endprint