嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞ 的上界估計(jì)

溫淑鴻

(福州大學(xué)至誠(chéng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，福建 福州350002)

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)于可逆矩陣‖A－1‖∞的上界估計(jì)問(wèn)題一直有研究，特別是對(duì)于特殊矩陣嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣的可逆矩陣‖A－1‖∞的上界估計(jì)研究，始終是學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)。1975 年，J.M.Varah 在文獻(xiàn)［1］中給出嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞的一個(gè)上界估計(jì)式;2002 年王川龍和張國(guó)建在文獻(xiàn)［2］中給出嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞和‖A－1‖1的上界估計(jì)式;2006 年程光輝和黃廷祝在文獻(xiàn)［3］中給出嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M-矩陣‖A－1‖∞的上界估計(jì)式，并表明該上界比文獻(xiàn)［1］中的好;2008 年Nenad Moraˇca 在文獻(xiàn)［4］中給出嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣‖A－1‖1和嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞的上界估計(jì)式。

文中主要改進(jìn)了2008 年Nenad Moraˇca 在文獻(xiàn)［4］中給出的命題2 及文中的相關(guān)結(jié)果。文獻(xiàn)［4］命題2:設(shè)矩陣A = (aij)為n 階M-矩陣，n ≥2，那么A－1= (bij)≥0 且

其中‖·‖表示任意矩陣范數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)文中所采用的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)作一約定:字母n恒表示正整數(shù)，N = {1，2，…，n};Cm×n和Rm×n分別表示所有m × n 階的復(fù)矩陣和實(shí)矩陣的集合;e =(1，1，…，1)T表示適當(dāng)階的所有分量全為1 的列向量，Zn= {A = (aij)∈Rn×n:aij≤0，i，j ∈N，i ≠j}。設(shè)矩陣A = (aij)∈Cm×n，A 的絕對(duì)值記為| A|，即| A| = (| aij|)∈Cm×n;A 的轉(zhuǎn)置矩陣記為AT，即是把矩陣A 的行列互換所得到的矩陣，若A = (aij)∈Cn×n，A 的比較矩陣記為μ(A)= (αij)，其中

A 的極大行和矩陣范數(shù)記為‖A‖∞，即

A 的極大列和矩陣范數(shù)記為‖A‖1，即

A 的所有特征值的集合稱為A 的譜，記為σ(A);A的譜半徑記為ρ(A)，即ρ(A)= max{| λ |:λ ∈σ(A)};對(duì)?i ∈N，A 的第i 行行和記為ri(A)，第i列列和記為ci(A)，即

定義1［5-6］設(shè)A = (aij)∈Cn×n，如果對(duì)所有i ∈N，有| aii|≥ri(A)，則稱A 為行對(duì)角占優(yōu)矩陣，若AT為行對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A 為列對(duì)角占優(yōu)矩陣。定義2［5-6］設(shè)A = (aij)∈Cn×n，如果對(duì)所有i ∈N，有| aii| ＞ri(A)，則稱A 為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，若AT為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A 為嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定義3［7］如果A ∈Zn且A－1≥0，則稱A 為M-矩陣。

定義4［7］如果μ(A)為M-矩陣，則稱A 為H-矩陣。

2 主要結(jié)果

引理1［1］設(shè)矩陣A = (aij)∈Rn×n，A ≥0，則

引理2［3］設(shè)矩陣A 為H-矩陣，則| A－1|≤μ(A)－1。定理3 設(shè)矩陣A = (aij)為n 階M-矩陣，n ≥2，A－1=(bij)，則

1)H(A)≠?，其中H(A)= {(i，j)∈N × N:| aiiajj| ＞ri(A)rj(A)，i ≠j};

證 設(shè)A－1e = z = (z1，z2，…，zn)T，其中e = (1，…，1)T，zp= mi∈iNn{zi}，zq={zi}，由于A 為M-矩陣，故A－1≥0，那么z ＞0，根據(jù)Az = e 得

即有

由式(2)中第一個(gè)不等式知appzp≥1 + rp(A)zq，兩邊同時(shí)乘以aqq得

再由式(2)中第2 個(gè)不等式知aqqzq≥1 + rq(A)zp，代入式(3)有

即(appaqq－ rp(A)rq(A))zp≥aqq+ rp(A)＞0，又zp＞0，可知appaqq＞rp(A)rq(A)，即(p，q)∈H(A)，因此H(A)≠?，且有

再由引理1 有

?(i，j)∈H(A)，若有aii－ri(A)≥ajj－rj(A)，則有aii－ ri(A)＞0，事實(shí)上，假設(shè)aii－ ri(A)≤0，則ajj－ rj(A)≤aii－ ri(A)≤0，那么aiiajj≤ri(A)rj(A)，與(i，j)∈H(A)矛盾，且有

事實(shí)上

則

注1 可見(jiàn)定理3 中‖A－1‖ 的下界不小于式(1)中‖A－1‖的下界。

定理4 設(shè)a1，a2，…，an是一組復(fù)數(shù)，R1，R2，…，Rn是一組非負(fù)實(shí)數(shù)，記

若對(duì)?i，j ∈N，i ≠j，滿足| aiaj| ＞RiRj，則有

2)當(dāng)J = {jn}且Rjn＞0 時(shí)，有

3)當(dāng)J 中至少含兩個(gè)元素時(shí)，有

證 1)首先將實(shí)數(shù)| a1| － R1，| a2| － R2，…，| an| －Rn按從大到小的次序排列，即有1，2，…，n的一種排列j1，j2，…，jn，使得| ajn| － Rjn≥| ajn－1| －Rjn－1≥…≥| aj1| － Rj1，為敘述方便，記bk= ajk，Sk= Rjk(k = 1，2，…，n)，則有| bn| －Sn≥| bn－1| －Sn－1≥…≥| b1| － S1。

當(dāng)n ＞k ＞i ≥1 時(shí)，注意到| bk| －Sk≥| bi| －Si和| bk| － Sk＞0，事實(shí)上，若| bk| － Sk≤0，則| bi| － Si≤| bk| － Sk≤0，那么| bi|| bk|≤SiSk，與條件矛盾，則有

事實(shí)上

故

因此

從而有

2)當(dāng)J = {jn}，且Rjn＞0 時(shí)，即Sn＞0 時(shí)，?k ∈N，1 ≤k ≤n －1，有

從而

3)當(dāng)J 中至少含兩個(gè)元素，則必有{jn，jn－1}?J，這時(shí)有| bn| － Sn=| bn－1| － Sn－1，由式(4)可得

據(jù)此得

當(dāng)1 ≤j ≤n －1 時(shí)，由式(4)有

故

從而

注2 定理3 中‖A－1‖的下界可以根據(jù)定理4 來(lái)簡(jiǎn)化。

推論5 設(shè)矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，那么

推論6 設(shè)矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，A－1= (bij)，那么

證 由文獻(xiàn)［5-6］知，ρ(A)= ρ(AT)，(A－1)T=(AT)－1，ri(AT)= ci(A)，矩陣A 是M － 矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣AT是M － 矩陣，再根據(jù)引理1，有

推論7 設(shè)矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，那么

定理8 設(shè)矩陣A = (aij)∈Cn×n為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，n ≥2，那么

證 嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣為H－矩陣，由引理2 知，| A－1|≤μ(A)－1，則‖A－1‖1≤‖μ(A)－1‖1，所以不妨設(shè)A 為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M － 矩陣，這時(shí)A－1=(bij)≥0，由推論6 知，對(duì)所有的j ∈N，都有

設(shè)z = (z1，z2，…，zn)T，其中zi=| aii| －ri(A)，則有Ae = z，即

將式(7)展開(kāi)所得n 個(gè)式子相加，可得

再結(jié)合式(6)，知

且對(duì)所有的k ∈N，有

整理得

則

整理得式(5)。

注3 由推論6 知，式(5)中‖A－1‖1的上界不大于［4;Theorem1］中‖A－1‖1的上界。

推論9 設(shè)矩陣A = (aij)∈Cn×n為嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣，n ≥2，則

證 若A 為嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣，則AT為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，又‖A－1‖∞= ‖(A－1)T‖∞=‖(AT)－1‖1，對(duì)?i ∈N，有ri(AT)= ci(A)，ci(AT)=ri(A)，再由式(8)得

整理得式(9)。

注4 由推論5 可知，式(9)中‖A－1‖∞的上界不大于［4;Theorem2］中‖A－1‖∞的上界。

3 數(shù)值實(shí)例

本節(jié)用數(shù)值實(shí)例說(shuō)明式(8)和式(9)的上界分別優(yōu)于［4;Theorem1］中‖A－1‖1的上界和［4;Theorem2］中‖A－1‖∞的上界。

例1 設(shè)矩陣

用Matlab7.0 直接計(jì)算得

利用文獻(xiàn)［4;Theorem1］計(jì)算得‖A－1‖1≤1.5，利用式(8)計(jì)算得‖A－1‖1≤0.782 6?？梢钥闯?，定理8 中的‖A－1‖1的上界小于文獻(xiàn)［4;Theorem1］中的上界。

例2 設(shè)矩陣

用Matlab7.0 直接計(jì)算得

利 用 文 獻(xiàn)［4;Theorem2］ 計(jì) 算 得 ‖A－1‖∞≤1.666 7，利用式(9)計(jì)算得‖A－1‖∞≤1.390 2?？梢钥闯觯普? 中的‖A－1‖1的上界小于文獻(xiàn)［4;Theorem2］中的上界。

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