簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)的改進(jìn)方法

陳麗君， 朱永忠 ， 王方磊

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京211100)

近年來，非平衡類問題成為一個(gè)新的研究領(lǐng)域并應(yīng)用于生物科學(xué)、金融、欺詐檢測(cè)和文本挖掘等領(lǐng)域。這些領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)分布是不均衡的，如信用卡使用中的欺詐行為通常少于正常使用行為。非平衡的多元雙樣本檢驗(yàn)問題是非平衡數(shù)據(jù)研究的問題之一。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，檢驗(yàn)方法的理論發(fā)展以及檢驗(yàn)方法在其他學(xué)科中應(yīng)用的增加，眾多學(xué)者對(duì)雙樣本檢驗(yàn)及其檢驗(yàn)效力進(jìn)行了大量研究。

早在1969 年，Bickel［1］在經(jīng)典K-S 檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用混合樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，建立了一種自由分布的多元Smirnov 檢驗(yàn)。隨后Friedman［2］于1979 年利用混合樣本的最小生成樹(MST)將最大偏離檢驗(yàn)等雙樣本檢驗(yàn)由一元情形推廣到多元。1986 年Schilling［3］通過構(gòu)造一種基于k-最近鄰分類算法(KNN)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來解決多元雙樣本檢驗(yàn)問題，但是隨著兩樣本不平衡度的增加，該方法的檢驗(yàn)效力急劇減弱。2005 年Rosenbaum［4］提出一種基于觀測(cè)點(diǎn)最小距離非二分圖(MDP)的交叉匹配檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)用于低維的大容量樣本時(shí)表現(xiàn)出極高的檢驗(yàn)效力。同年Aslan［5］用觀測(cè)點(diǎn)在變量空間的距離作算術(shù)函數(shù)，構(gòu)造了一種基于觀測(cè)點(diǎn)間能量的多元檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。后兩種檢驗(yàn)方法主要利用混合樣本點(diǎn)之間的緊密性這一性質(zhì)，而只有當(dāng)兩個(gè)樣本的容量相當(dāng)時(shí)，才能保證檢驗(yàn)結(jié)果的有效性。同時(shí)，對(duì)這些檢驗(yàn)方法一致性和漸近性的研究十分依賴于兩樣本平衡這一假設(shè)條件。針對(duì)這一問題，2013年CHEN Hao［6］考慮到在多元情形中，來自不同分布的樣本點(diǎn)可能比來自同一分布的樣本點(diǎn)有更密切的聯(lián)系，從樣本內(nèi)部邊緣的角度提高了相似圖形檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)效力。而CHEN Lisa 等人［7］針對(duì)非平衡雙樣本檢驗(yàn)效力下降的問題改進(jìn)了Schilling的k 最近鄰檢驗(yàn)，提出一種簡(jiǎn)單子抽樣的多元雙樣本檢驗(yàn)方法(簡(jiǎn)稱SSS-NN 檢驗(yàn))。SSS-NN 檢驗(yàn)方法首先對(duì)大樣本采用簡(jiǎn)單的隨機(jī)子抽樣，再進(jìn)行Schilling 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，但由于進(jìn)行隨機(jī)子抽樣時(shí)丟棄了大樣本的大部分?jǐn)?shù)據(jù)，導(dǎo)致樣本信息丟失而產(chǎn)生檢驗(yàn)誤差。

為此，文中研究基于SSS-NN 檢驗(yàn)，從平衡樣本容量和充分保留樣本信息的角度出發(fā)，采用集成子抽樣方法和加權(quán)調(diào)整方案，提高非平衡多元雙樣本檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效力。

1 基于KNN 算法的簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)

KNN 算法(k-Nearest Neighbor)［8］是一種對(duì)局部性質(zhì)非常敏感的惰性學(xué)習(xí)，在許多領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用，而且產(chǎn)生了各種各樣的改進(jìn)算法。KNN 算法的基本思路是:搜索模式空間找出距離最接近未知樣本的k 個(gè)訓(xùn)練樣本，未知樣本被分配到k 個(gè)最近鄰樣本中占百分比最多的一類，其近鄰性可以采用歐幾里得距離、馬哈拉諾比斯距離和曼哈頓距離等。

KNN 算法從混合樣本集中搜索與未知樣本最接近的k 個(gè)樣本，對(duì)每個(gè)由j 個(gè)屬性組成的樣本，基于KNN 算法的SSS-NN 檢驗(yàn)方法采用屬性權(quán)值為1的歐幾里得距離來度量樣本點(diǎn)之間的近鄰性:

假設(shè)點(diǎn)x ∈A，樣本集A ?Rd，定義點(diǎn)x 在集合A{x}中的第k 個(gè)近鄰樣本點(diǎn)為NNk(x，A)。進(jìn)行SSS-NN 檢驗(yàn)時(shí)，對(duì)于相互排斥的集合A1和A2，首先使用如下示性函數(shù)來判斷樣本點(diǎn)x 與其所在集合(A1∪A2){x}上的第k 個(gè)近鄰點(diǎn)是否來自同一樣本:

假設(shè)Rd上的獨(dú)立隨機(jī)樣本X = {X1，X2，…，Xn}，Y = {Y1，Y2，…，Y~n}分別服從未知分布F(x)和G(x)，且F(x)與G(x)在Lebesgue 空間上絕對(duì)連續(xù)。為了分析樣本與總體之間的差異是否顯著，提出檢驗(yàn)的零假設(shè)為F(x)= G(x)。SSS-NN 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

其中混合樣本

SSS-NN 檢驗(yàn)的逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量如式(4)，其衡量的是樣本點(diǎn)Zi在集合X ∪Y 上的k 個(gè)最相鄰的樣本點(diǎn)中，與樣本點(diǎn)Zi屬于同一樣本的點(diǎn)所占百分比。

由文獻(xiàn)［3］知，在H1下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Sk，m是連續(xù)的，即

其中兩樣本容量比q = ~n/n 為樣本非平衡度，f(x)，g(x)是分布F(x)，G(x)對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)。然而，當(dāng)q 逐漸增大時(shí)，~Δ(q)的一致性非常弱，即當(dāng)q →∞，~Δ(q)= o(1/q)。另外，若用以下效用系數(shù)ˉη(q)表示Sk，m的漸近性，則當(dāng)q →∞時(shí)，ˉη(q)→0。因此當(dāng)樣本非平衡度趨于無窮時(shí)，Sk，m的漸近能力趨于零，也就是說，當(dāng)樣本非平衡度趨于無窮時(shí)，SSS-NN 方法的檢驗(yàn)效力趨于零。

2 簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)的改進(jìn)方法

2.1 集成子抽樣方法

目前解決數(shù)據(jù)非均衡問題的方法大致分為兩類［9］:數(shù)據(jù)水平方法和算法水平方法。均衡樣本集可以考慮采用以下數(shù)據(jù)水平方法，一種是對(duì)大樣本進(jìn)行欠抽樣，隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量與小樣本容量相當(dāng)?shù)淖蛹?，另一種是對(duì)小樣本實(shí)例進(jìn)行過抽樣。使用欠抽樣方法和過抽樣方法均可以減小兩樣本的非平衡程度。但這兩種方法存在一些弊端，如欠抽樣常常會(huì)丟失一些有用的多數(shù)類實(shí)例信息，過抽樣則會(huì)增加許多重復(fù)的數(shù)據(jù)，并且這些數(shù)據(jù)不是獨(dú)立同分布的，容易增大過分?jǐn)M合的可能性。

近十余年來，集成方法［10］被廣泛應(yīng)用于回歸問題和分類問題中。集成方法的核心思想是:對(duì)于一系列適合用于處理原始數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單模型，通過特定的算法或操作把它們組合成一個(gè)預(yù)測(cè)穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度更高的新模型。集成子抽樣方法貫徹這一思想，通過組合應(yīng)用在不同混合樣本的最近鄰計(jì)算過程，從數(shù)據(jù)水平層面減小樣本非平衡度，具體過程如下:對(duì)于每一個(gè)混合樣本點(diǎn)Zi(i = 1，…，m)，若Zi∈X，則從大樣本Y 中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為ns的子樣本Si;若Zi∈Y，則從樣本Y{Zi}中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為ns－1 的子樣本Si，并將樣本點(diǎn)Zi放入集合Si中，最后得到m 個(gè)容量為n + ns的混合樣本X ∪Si。利用每一個(gè)混合樣本點(diǎn)和相應(yīng)的混合樣本進(jìn)行KNN 計(jì)算。

與僅對(duì)大樣本進(jìn)行一次簡(jiǎn)單子抽樣的樣本均衡方法相比，集成子抽樣對(duì)混合樣本的每一個(gè)點(diǎn)獨(dú)立地從大樣本中進(jìn)行一次隨機(jī)子抽樣，充分保留了所有樣本點(diǎn)的實(shí)例信息，同時(shí)事先對(duì)樣本進(jìn)行約簡(jiǎn)，能快速得出待判樣本點(diǎn)是否屬于同一樣本。進(jìn)行樣本動(dòng)態(tài)變化的KNN 計(jì)算，提高了逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。

2.2 基于集成子抽樣的改進(jìn)SSS-NN 檢驗(yàn)

當(dāng)兩個(gè)樣本非平衡度很大時(shí)，即n ?~n 時(shí)，隨著樣本非平衡度的增大，SSS-NN 檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)性能急劇減弱。這種現(xiàn)象同樣存在于游程檢驗(yàn)［11］和交叉檢驗(yàn)［12］中，都是由大樣本的主導(dǎo)性影響所引起的。簡(jiǎn)單地說，當(dāng)大樣本占混合樣本的大多數(shù)時(shí)，無論在H0下還是在H1下，小樣本X 上的被加數(shù)

較小，大樣本Y 上的被加數(shù)

較大，增大了KNN 計(jì)算的誤判率，從而導(dǎo)致SSS-NN方法在檢驗(yàn)兩個(gè)未知分布的差異時(shí)性能減弱。第1節(jié)的式(5)、式(6)從理論上解釋了這一現(xiàn)象的本質(zhì)。

文中提出集成子抽樣方法從數(shù)據(jù)層面均衡兩樣本容量，以改善樣本容量不平衡帶來的問題。進(jìn)行集成子抽樣時(shí)，選擇隨機(jī)抽取容量為n 的子樣本，為的是使檢驗(yàn)的兩個(gè)樣本容量相當(dāng)，從數(shù)據(jù)水平層面減小大樣本的主導(dǎo)性影響。另一方面，當(dāng)ns≠n時(shí)，還要考慮不同樣本點(diǎn)共享同一近鄰點(diǎn)這一問題，此時(shí)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近方差十分困難。從而明智的選擇是令ns= n。

文中在SSS-NN 檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將集成子抽樣與權(quán)重調(diào)整相結(jié)合提出改進(jìn)的SSS-NN 檢驗(yàn)——集成子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)(以下簡(jiǎn)稱MESS-NN 檢驗(yàn))。具體步驟如下:

1)對(duì)問題提出檢驗(yàn)假設(shè)，并預(yù)先選定顯著性水平。通常情況下取α = 0.01 或0.05。

2)對(duì)待檢驗(yàn)的兩個(gè)樣本進(jìn)行集成子抽樣。

3)進(jìn)行集成子抽樣后，采用基于歐幾里得距離的k-最近鄰算法進(jìn)行逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)，即對(duì)每一個(gè)混合樣本點(diǎn)Zi，計(jì)算與其屬于同一樣本的近鄰樣本點(diǎn)數(shù)量在混合樣本X ∪Si中所占的比例:

該步驟是對(duì)SSS-NN 檢驗(yàn)的逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)過程的一次改進(jìn)，每一個(gè)混合樣本點(diǎn)進(jìn)行最近鄰計(jì)算的樣本空間都是不同的。

4)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀察值Tk，n。

利用m 個(gè)逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造新的統(tǒng)計(jì)量時(shí)，權(quán)值的選擇是一個(gè)很有意義的研究?jī)?nèi)容。由于進(jìn)行逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的混合樣本點(diǎn)或者來自樣本X，或者來自樣本Y。上文提到過無論在零假設(shè)下還是備擇假設(shè)下，最近鄰計(jì)算的結(jié)果都受到大樣本的主導(dǎo)性影響，因此使用權(quán)重分別調(diào)整兩個(gè)待檢驗(yàn)樣本對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響，確切地說，在使用逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，對(duì)屬于樣本的每一個(gè)混合樣本點(diǎn)，通過賦予較小的權(quán)值調(diào)整相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的權(quán)重，從而減小大樣本的主導(dǎo)性對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的影響。根據(jù)樣本非平衡度，選取點(diǎn)Zn+1，…，Zm的逐點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量的權(quán)重為

綜合上述集成子抽樣方法和權(quán)值調(diào)整方案，提出一種受樣本非平衡度影響較小的集成子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。于是，得到MESS-NN 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如下:

由于樣本集X 與樣本集Y 的檢驗(yàn)是非對(duì)稱的，因此要單獨(dú)考慮下列情形:(1)樣本集X 中的點(diǎn)互為近鄰，即

(2)樣本集Y 中的點(diǎn)互為近鄰，即

(3)樣本集X 中的點(diǎn)與樣本集Y 中的點(diǎn)有相同的近鄰，即

在H0下，MESS-NN 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近零分布是以下正態(tài)分布:

其中

這里

5)重復(fù)步驟2 ～4 N 次，并對(duì)N 次統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果取平均值，一般來說，重復(fù)的次數(shù)越多，檢驗(yàn)結(jié)果越準(zhǔn)確。

6)根據(jù)所提出的顯著水平，確定臨界值和拒絕域，并做出檢驗(yàn)決策。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)證分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

在假設(shè)同一樣本數(shù)據(jù)服從以下6 組隨機(jī)選取的正態(tài)分布模型的前提下，用Monte-Carlo 方法分別生成1維和5 維的隨機(jī)樣本進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用SSS-NN 方法和MESS-NN 方法對(duì)隨機(jī)樣本進(jìn)行雙樣本檢驗(yàn)，利用Matlab 軟件編程并繪制相應(yīng)的檢驗(yàn)效力圖。

1)方差相同的正態(tài)分布。每一個(gè)模型隨機(jī)選取兩個(gè)樣本方差相同而樣本均值不同的正態(tài)分布。兩組分布的參數(shù)分別為

模型1.1

模型1.2

2)均值相同的正態(tài)分布。每個(gè)模型的兩個(gè)分布都有相同的樣本均值向量μLd，不同的樣本協(xié)方差矩陣σ2Id，其中Ld為d 維單位向量，Id為d 階單位陣。分布的參數(shù)分別為

模型2.1

模型2.2

3)方差、均值都不相同的正態(tài)分布。每個(gè)模型的兩個(gè)分布的樣本均值向量μLd和樣本協(xié)方差矩陣σ2Id均不同。分布的參數(shù)分別為

模型3.1

模型3.2

使用SSS-NN 方法或MESS-NN 方法進(jìn)行400 次雙樣本檢驗(yàn)，用拒絕H0的次數(shù)占檢驗(yàn)總次數(shù)的百分率來衡量檢驗(yàn)效力。在實(shí)驗(yàn)中分別選擇1 維和5 維的正態(tài)分布數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，對(duì)于每一個(gè)1 維或5維的正態(tài)分布模型，均從第1 個(gè)正態(tài)分布中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100 的小樣本，再?gòu)牡? 個(gè)正態(tài)分布中隨機(jī)抽取容量分別為100，400，1 600，6 400 的大樣本;在顯著性水平α = 0.05 下使用SSS-NN、MESS-NN 方法進(jìn)行檢驗(yàn)，并做出檢驗(yàn)決策，最后計(jì)算檢驗(yàn)效力。以KNN 計(jì)算過程中k 的取值為橫坐標(biāo)，以檢驗(yàn)效力為縱坐標(biāo)，得到樣本非平衡度為q =1，4，16，64 時(shí)的檢驗(yàn)效力如圖1，2 所示。由于每個(gè)模型中的兩個(gè)正態(tài)分布均不相同，因此越是檢驗(yàn)效力強(qiáng)的檢驗(yàn)方法，越應(yīng)該以大概率拒絕H0。

圖1(a)和圖2(a)分別展示SSS-NN、MESS-NN方法應(yīng)用于隨機(jī)模型1.1 的檢驗(yàn)效力，圖1(b)和圖2(b)是模型2.1 的檢驗(yàn)結(jié)果，圖1(c)和圖2(c)是模型3.1 的檢驗(yàn)結(jié)果等。觀察圖1(a)～1(f)可知，當(dāng)小樣本容量固定時(shí)，隨著非平衡度q 的增大，SSS-NN 方法的檢驗(yàn)效力急劇減弱，在多元情形下，樣本比為16 或64 時(shí)檢驗(yàn)效力不高于20%，甚至無法檢驗(yàn)兩個(gè)樣本之間的差異，如圖1(b)、圖1(e)、圖(f)所示。相比之下，觀察圖2(a)～2(f)可知，MESS-NN 受比值q 的影響較小，樣本不平衡下檢驗(yàn)效力甚至高達(dá)80%，說明MESS-NN 方法在檢驗(yàn)非平衡的多元雙樣本問題時(shí)比SSS-NN 方法更優(yōu)越。

3.2 實(shí)例分析

收集、整理了淮河流域2007 年1 月至2011 年12月和白水河流域2010 年1 月至2011 年12 月的歷史測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)于個(gè)別缺測(cè)的氣象數(shù)據(jù)，利用鄰近站點(diǎn)資料進(jìn)行相關(guān)插補(bǔ)。隨后分別使用SSS-NN 檢驗(yàn)和MESS-NN 檢驗(yàn)分析這兩個(gè)流域在逐日平均流量、逐日降水量、逐日水面蒸發(fā)量這3 個(gè)方面是否存在顯著差異。

數(shù)據(jù)預(yù)處理首先采用算術(shù)平均法將流域內(nèi)的各站點(diǎn)降水轉(zhuǎn)換成面平均降水，其中原始數(shù)據(jù)有淮河流域的大坡嶺站、黃岡站等13 個(gè)氣象站點(diǎn)，白水河有七鄰站、葉氏祠站等12 個(gè)氣象站點(diǎn)。處理得到的逐日降水量與對(duì)應(yīng)日期的逐日平均流量、逐日水面蒸發(fā)量構(gòu)成1 個(gè)三維向量，得到淮河流域1 825 個(gè)樣本點(diǎn)，白水河流域730 個(gè)樣本點(diǎn)，樣本容量比q =2.5。將SSS-NN 方法和MESS-NN 方法應(yīng)用于這兩個(gè)樣本，取顯著性水平α = 0.05，所得檢驗(yàn)效力比較結(jié)果如表1 所示。

圖1 SSS-NN 方法在q = 1，4，16，64 時(shí)的檢驗(yàn)效力實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 Simulation results comparing the power of the SSS-NN for q = 1，4，16，64

圖2 MESS-NN 方法在q = 1，4，16，64 時(shí)的檢驗(yàn)效力實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Simulation results comparing the power of the MESS-NN for q = 1，4，16，64

表1 原始SSS-NN 方法和改進(jìn)SSS-NN 方法的檢驗(yàn)效力結(jié)果比較Tab.1 Power value for comparing the original SSS-NN and the improved SSS-NN method

由表1 可知z ＞zα/2，即統(tǒng)計(jì)量的值落在了拒絕域，因此拒絕H0，認(rèn)為這兩個(gè)樣本存在顯著差異。圖3(a)、圖3(b)分別是兩個(gè)流域樣本的平均水面蒸發(fā)量分布圖，特別地，圖3(b)相對(duì)于圖3(a)而言呈現(xiàn)“長(zhǎng)尾”狀，顯然淮河流域樣本和白水河流域樣本存在顯著差異。因此對(duì)于SSS-NN 檢驗(yàn)方法而言，MESS-NN 檢驗(yàn)方法能以更高的檢驗(yàn)效力體現(xiàn)出這兩個(gè)樣本的顯著差異。

圖3 淮河流域、白水河流域平均水面蒸發(fā)量分布Fig.3 Histograms of Huaihe River and Baihe River in precipitation

事實(shí)上由于河流的平均流量、降水量、水面蒸發(fā)量受地理位置、地形、氣候、植被、水利調(diào)控等因素的影響［13-15］，所以該檢驗(yàn)結(jié)果符合實(shí)際情況，是合理的。

4 結(jié) 語

為了解決非平衡多元雙樣本的檢驗(yàn)問題，將集成子抽樣方法應(yīng)用于基于KNN 算法的簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)中，由于進(jìn)行集成子抽樣，極大地保留了樣本數(shù)據(jù)的信息，因此有效地達(dá)到了平衡樣本容量的目的。同時(shí)由于構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)采用了加權(quán)運(yùn)算，減弱了大樣本對(duì)KNN 計(jì)算結(jié)果帶來的主導(dǎo)性影響，提高了檢驗(yàn)效力。最后，多次重復(fù)檢驗(yàn)，減小了混合樣本隨機(jī)性帶來的影響，進(jìn)一步提高了檢驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確率。仿真實(shí)驗(yàn)表明，集成子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)有效地改善了簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)在檢驗(yàn)非平衡多元雙樣本時(shí)檢驗(yàn)效力下降的問題。

改進(jìn)后的簡(jiǎn)單子抽樣多元雙樣本檢驗(yàn)還有很多局限，如KNN 算法的計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)。另外，對(duì)于兩個(gè)樣本容量都較小且樣本非平衡的情形，過少的觀測(cè)點(diǎn)導(dǎo)致MESS-NN 方法的檢驗(yàn)效果不理想，因此尋找適用于這種情形的檢驗(yàn)方法也是一個(gè)值得研究的方向。

［1］Bickel P J. A distribution free version of the Smirnov two sample test in the p-variate case［J］. The Annals of Mathematical Statistics，1969，40(1):1-23.

［2］Friedman J H，Rafsky L C. Multivariate generalizations of the wald wolfowitz and smirnov two-sample tests［J］. The Annals of Statistics，1979，7(4):697-717.

［3］Schilling M F. Multivariate two-sample tests based on nearest neighbors［J］. Journal of the American Statistical Association，1986，81(395):799-806.

［4］Rosenbaum P R.An exact distribution-free test comparing two multivariate distributions based on adjacency［J］. Journal of the Royal Statistical Society:Series B:Statistical Methodology，2005，67(4):515-530.

［5］Aslan B，Zech G. New test for the multivariate two-sample problem based on the concept of minimum energy［J］. Journal of Statistical Computation and Simulation，2005，75(2):109-119.

［6］CHEN H，F(xiàn)riedman J H. New graph-based two-sample tests for multivariate distributions［BE/OL］.2013-07-15. http://arxiv.org/abs/1307.629.

［7］CHEN L，DOU W W，QIAO Z.Ensemble subsampling for imbalanced multivariate two-sample tests［J］.Journal of the American Statistical Association，2013，108(504):1308-1323.

［8］王永吉，楊慧中.基于K-近鄰的支持向量機(jī)多模型建模［J］.江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，9(1):7-10.

WANG Yongji，YANG Huizhong，Compositional support vector machine model based on improved k-kearest neighbor algorithm［J］.Journal of Jiangnan University:Natural Science Edition，2010，9(1):7-10.(in Chinese)

［9］孫曉燕，張化祥，計(jì)華.用于不均衡數(shù)據(jù)集分類的KNN 算法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47(28):143-145.

SUN Xiaoyan，ZHANG Huaxiang，JI Hua. Improved KNN algorithm in classification of imbalanced data set［J］. Computer Engineering and Applications，2011，47(28):143-145.(in Chinese)

［10］石靜，邱立坤，王菲，等.相似詞獲取的集成方法［C］//孫茂松，陳群秀. 中國(guó)計(jì)算語言學(xué)研究前沿進(jìn)展(2009-2011)，北京:清華大學(xué)出版社，2011:277-283.

［11］滕云龍，師奕兵.GPS 載波相位測(cè)量數(shù)據(jù)的時(shí)間序列分析建模研究［J］.電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2009，29(9):18-22.

TENG Yunlong，SHI Yibing.Study on modeling of time series analysis for GPS carrier phase measurement data［J］. Journal of Electronic Measurement and Instrument，2009，23(9):18-22.(in Chinese)

［12］張毅，劉毅堅(jiān)，羅元.一種基于參數(shù)優(yōu)化C-SVM 的腦電信號(hào)分類方法及應(yīng)用［J］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，26(1):131-136.

ZHANG Yi，LIU Yijian，LUO Yuan. A parameter optimized C-SVM approach for EEG classification and its application［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications:Natural Science Edition，2014，26(1):131-136.(in Chinese)

［13］王國(guó)慶，張建云，劉九夫，等.中國(guó)不同氣候區(qū)河川徑流對(duì)氣候變化的敏感性［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2011，22(3):307-314.

WANG Guoqing，ZHANG Jianyun，LIU Jiutian，et al. The sensitivity of runoff to climate change in different climatic regions in China［J］.Advances in Water Science，2011，22(3):307-314.(in Chinese)

［14］袁飛.考慮植被影響的水文過程模擬研究［D］.南京:河海大學(xué)，2006.

［15］曹宇峰，劉高峰，王慧敏.基于Mann-Kendall 方法的淮河流域降雨量趨勢(shì)特征研究［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，37(5):477-480.

CAO Yufeng，LIU Gaofeng，WANG Huimin. Huaihe river basin rainfall trend characteristics research based on Mann-Kendall method［J］.Journal of Anhui Normal University:Natural Science，2014，37(5):477-480.(in Chinese)