不怕你做不到就怕你想不到

王新宏　陳雪蓮

2013年高考中的一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的立體幾何創(chuàng)新題頻頻出現(xiàn)，它們充當(dāng)著“把關(guān)題”的重要角色，具有很好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的極好素材，值得認(rèn)真研究.下面精選幾例創(chuàng)新題加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1.你能想到直觀圖嗎？

圖1

例1（2013福建（理12））已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖1所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是 .

分析本題的三視圖簡單，大家都熟悉.問的是球的表面積，三視圖里球的直觀圖肯定是圓了，但問題是里面的正方形的頂點(diǎn)為什么不在圓上？但反過來認(rèn)真一想，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示的幾何體也只能是球里面內(nèi)接一個(gè)正方體了，但…….最后再想一想球里面內(nèi)接一個(gè)正方體的三視圖就是這樣子，不能在圓上啊！三視圖里圓實(shí)際上是球的一個(gè)大圓，相當(dāng)于經(jīng)過球心的一個(gè)豎截面.只要思想上想通了，計(jì)算一般都不存在什么問題，正方體棱長為2，體對角線為23，球的半徑為3，表面積為12π.

反思本題是一道難得的好題，大家感覺很熟悉，但題目設(shè)計(jì)巧妙，抓住學(xué)生的認(rèn)知缺陷與思維定勢，大部分學(xué)生想像不出直觀圖.深層的考查了學(xué)生的空間想象能力，再一次詮釋了高考是以能力立意全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖2

例2（2013新課標(biāo)Ⅰ（理8））某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析這道題看著熟悉、常規(guī).但大部分學(xué)生都想不到主視圖為半圓，側(cè)視圖為矩形的幾何體是個(gè)什么幾何體.是個(gè)半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.題易，我易，他易，不大意；題難，我難，他難，不畏難.再仔細(xì)想一想，這個(gè)幾何體的下部分是一個(gè)放倒的半圓柱，上部分里邊是長方體，前面沒有東西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案為A.

反思所謂空間想象能力，就是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力.本題的難點(diǎn)是主視圖為半圓，側(cè)、俯視圖均為長方形的幾何體為放倒的半圓柱，設(shè)計(jì)匠心獨(dú)運(yùn)，很好的考查了學(xué)生的空間想象能力.

圖3

例3（2013湖北卷（理8））一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本題的幾何體是四個(gè)簡單的幾何體組合而成，上面兩個(gè)均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)均為多面體，故上面兩個(gè)分別是圓臺(tái)和圓柱，下面兩個(gè)是棱柱和棱臺(tái)，其中圓臺(tái)的下底面為圓柱的上底面，圓柱的下底面與棱柱的上底面相內(nèi)切.棱柱的下底面為棱臺(tái)的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案為C.

反思題目粗一看好像有點(diǎn)復(fù)雜，實(shí)際則未然.切記題目未讀懂或一知半解就做題，一遍未讀懂，可以讀兩遍，兩遍未讀懂，可以讀三遍，直到讀懂為止.本題一定要注意到上面兩個(gè)為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)為多面體.題目設(shè)計(jì)看似復(fù)雜，只要膽大冷靜，細(xì)心認(rèn)真，問題就會(huì)迎刃而解.

2.垂足新記法，你能反應(yīng)過來嗎？

例4（2013浙江（理10））在空間中，過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，則（ ）.

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

分析因?yàn)锽=fπ（A）表示在空間中過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B.所以Q1=fβ[fα（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面α的垂線，垂足不妨設(shè)為E，經(jīng)過E再向平面β作垂線，垂足為Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面β的垂線，垂足不妨設(shè)為F，經(jīng)過F再向平面α作垂線，垂足為Q2.因?yàn)辄c(diǎn)P是空間任意一點(diǎn)，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α與平面β垂直.故答案為A.

反思本題過點(diǎn)作面的垂線，垂足為另一點(diǎn)，出現(xiàn)了一種新記法.首先要對新記法認(rèn)識(shí)到位，理解清楚，這是做對題的前提；其次良好的空間想象能力是做對題的保證.

3.你想到畫直觀圖了嗎？

例5（2013新課標(biāo)Ⅱ（理7））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為 （）.

2013年高考中的一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的立體幾何創(chuàng)新題頻頻出現(xiàn)，它們充當(dāng)著“把關(guān)題”的重要角色，具有很好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的極好素材，值得認(rèn)真研究.下面精選幾例創(chuàng)新題加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1.你能想到直觀圖嗎？

圖1

例1（2013福建（理12））已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖1所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是 .

分析本題的三視圖簡單，大家都熟悉.問的是球的表面積，三視圖里球的直觀圖肯定是圓了，但問題是里面的正方形的頂點(diǎn)為什么不在圓上？但反過來認(rèn)真一想，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示的幾何體也只能是球里面內(nèi)接一個(gè)正方體了，但…….最后再想一想球里面內(nèi)接一個(gè)正方體的三視圖就是這樣子，不能在圓上啊！三視圖里圓實(shí)際上是球的一個(gè)大圓，相當(dāng)于經(jīng)過球心的一個(gè)豎截面.只要思想上想通了，計(jì)算一般都不存在什么問題，正方體棱長為2，體對角線為23，球的半徑為3，表面積為12π.

反思本題是一道難得的好題，大家感覺很熟悉，但題目設(shè)計(jì)巧妙，抓住學(xué)生的認(rèn)知缺陷與思維定勢，大部分學(xué)生想像不出直觀圖.深層的考查了學(xué)生的空間想象能力，再一次詮釋了高考是以能力立意全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖2

例2（2013新課標(biāo)Ⅰ（理8））某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析這道題看著熟悉、常規(guī).但大部分學(xué)生都想不到主視圖為半圓，側(cè)視圖為矩形的幾何體是個(gè)什么幾何體.是個(gè)半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.題易，我易，他易，不大意；題難，我難，他難，不畏難.再仔細(xì)想一想，這個(gè)幾何體的下部分是一個(gè)放倒的半圓柱，上部分里邊是長方體，前面沒有東西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案為A.

反思所謂空間想象能力，就是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力.本題的難點(diǎn)是主視圖為半圓，側(cè)、俯視圖均為長方形的幾何體為放倒的半圓柱，設(shè)計(jì)匠心獨(dú)運(yùn)，很好的考查了學(xué)生的空間想象能力.

圖3

例3（2013湖北卷（理8））一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本題的幾何體是四個(gè)簡單的幾何體組合而成，上面兩個(gè)均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)均為多面體，故上面兩個(gè)分別是圓臺(tái)和圓柱，下面兩個(gè)是棱柱和棱臺(tái)，其中圓臺(tái)的下底面為圓柱的上底面，圓柱的下底面與棱柱的上底面相內(nèi)切.棱柱的下底面為棱臺(tái)的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案為C.

反思題目粗一看好像有點(diǎn)復(fù)雜，實(shí)際則未然.切記題目未讀懂或一知半解就做題，一遍未讀懂，可以讀兩遍，兩遍未讀懂，可以讀三遍，直到讀懂為止.本題一定要注意到上面兩個(gè)為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)為多面體.題目設(shè)計(jì)看似復(fù)雜，只要膽大冷靜，細(xì)心認(rèn)真，問題就會(huì)迎刃而解.

2.垂足新記法，你能反應(yīng)過來嗎？

例4（2013浙江（理10））在空間中，過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，則（ ）.

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

分析因?yàn)锽=fπ（A）表示在空間中過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B.所以Q1=fβ[fα（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面α的垂線，垂足不妨設(shè)為E，經(jīng)過E再向平面β作垂線，垂足為Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面β的垂線，垂足不妨設(shè)為F，經(jīng)過F再向平面α作垂線，垂足為Q2.因?yàn)辄c(diǎn)P是空間任意一點(diǎn)，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α與平面β垂直.故答案為A.

反思本題過點(diǎn)作面的垂線，垂足為另一點(diǎn)，出現(xiàn)了一種新記法.首先要對新記法認(rèn)識(shí)到位，理解清楚，這是做對題的前提；其次良好的空間想象能力是做對題的保證.

3.你想到畫直觀圖了嗎？

例5（2013新課標(biāo)Ⅱ（理7））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為 （）.

2013年高考中的一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的立體幾何創(chuàng)新題頻頻出現(xiàn)，它們充當(dāng)著“把關(guān)題”的重要角色，具有很好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的極好素材，值得認(rèn)真研究.下面精選幾例創(chuàng)新題加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

1.你能想到直觀圖嗎？

圖1

例1（2013福建（理12））已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖1所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是 .

分析本題的三視圖簡單，大家都熟悉.問的是球的表面積，三視圖里球的直觀圖肯定是圓了，但問題是里面的正方形的頂點(diǎn)為什么不在圓上？但反過來認(rèn)真一想，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示的幾何體也只能是球里面內(nèi)接一個(gè)正方體了，但…….最后再想一想球里面內(nèi)接一個(gè)正方體的三視圖就是這樣子，不能在圓上??！三視圖里圓實(shí)際上是球的一個(gè)大圓，相當(dāng)于經(jīng)過球心的一個(gè)豎截面.只要思想上想通了，計(jì)算一般都不存在什么問題，正方體棱長為2，體對角線為23，球的半徑為3，表面積為12π.

反思本題是一道難得的好題，大家感覺很熟悉，但題目設(shè)計(jì)巧妙，抓住學(xué)生的認(rèn)知缺陷與思維定勢，大部分學(xué)生想像不出直觀圖.深層的考查了學(xué)生的空間想象能力，再一次詮釋了高考是以能力立意全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖2

例2（2013新課標(biāo)Ⅰ（理8））某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為（ ）.

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

分析這道題看著熟悉、常規(guī).但大部分學(xué)生都想不到主視圖為半圓，側(cè)視圖為矩形的幾何體是個(gè)什么幾何體.是個(gè)半球？不是.不怕你做不到，就怕你想不到.題易，我易，他易，不大意；題難，我難，他難，不畏難.再仔細(xì)想一想，這個(gè)幾何體的下部分是一個(gè)放倒的半圓柱，上部分里邊是長方體，前面沒有東西.

解V=12s1·h1+s2h2=12×π×4×4+2×2×4=8π+16；故答案為A.

反思所謂空間想象能力，就是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力.本題的難點(diǎn)是主視圖為半圓，側(cè)、俯視圖均為長方形的幾何體為放倒的半圓柱，設(shè)計(jì)匠心獨(dú)運(yùn)，很好的考查了學(xué)生的空間想象能力.

圖3

例3（2013湖北卷（理8））一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則有（ ）.

A.V1

C.V2

分析本題的幾何體是四個(gè)簡單的幾何體組合而成，上面兩個(gè)均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)均為多面體，故上面兩個(gè)分別是圓臺(tái)和圓柱，下面兩個(gè)是棱柱和棱臺(tái)，其中圓臺(tái)的下底面為圓柱的上底面，圓柱的下底面與棱柱的上底面相內(nèi)切.棱柱的下底面為棱臺(tái)的上底面.

解V1=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4π+4π×π+π）×1=73π；V2=π×2=2π；

V3=4×2=8；V4=13（S上+S上×S下+S下）×h=13（4+4×16+16）×1=283；

∵2π<73π<8<283，

∴V2

故答案為C.

反思題目粗一看好像有點(diǎn)復(fù)雜，實(shí)際則未然.切記題目未讀懂或一知半解就做題，一遍未讀懂，可以讀兩遍，兩遍未讀懂，可以讀三遍，直到讀懂為止.本題一定要注意到上面兩個(gè)為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)為多面體.題目設(shè)計(jì)看似復(fù)雜，只要膽大冷靜，細(xì)心認(rèn)真，問題就會(huì)迎刃而解.

2.垂足新記法，你能反應(yīng)過來嗎？

例4（2013浙江（理10））在空間中，過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）] ，恒有PQ1=PQ2，則（ ）.

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

分析因?yàn)锽=fπ（A）表示在空間中過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B.所以Q1=fβ[fα（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面α的垂線，垂足不妨設(shè)為E，經(jīng)過E再向平面β作垂線，垂足為Q1.同理，Q2=fα[fβ（P）]就應(yīng)表示經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作平面β的垂線，垂足不妨設(shè)為F，經(jīng)過F再向平面α作垂線，垂足為Q2.因?yàn)辄c(diǎn)P是空間任意一點(diǎn)，都要有PQ1=PQ2，所以只能是平面α與平面β垂直.故答案為A.

反思本題過點(diǎn)作面的垂線，垂足為另一點(diǎn)，出現(xiàn)了一種新記法.首先要對新記法認(rèn)識(shí)到位，理解清楚，這是做對題的前提；其次良好的空間想象能力是做對題的保證.

3.你想到畫直觀圖了嗎？

例5（2013新課標(biāo)Ⅱ（理7））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為 （）.