淺談三垂線定理及其應(yīng)用

鄒玲

【摘要】 “三垂線定理”是立體幾何中的重要定理.運(yùn)用三垂線定理證明空間線面垂直與線線垂直的思考方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨(dú)到的作用.本文在解讀三垂線定理內(nèi)涵特征的基礎(chǔ)上，列舉了三垂線定理的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 三垂線定理；應(yīng)用

三垂線定理因其聯(lián)系著一系列主要概念，包括平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影等，而且其證明中包含著較為典型的線面垂直與線線垂直證法，而成為立體幾何中的一個(gè)很重要的定理.同時(shí)在解決空間的角和距離及其直線與直線垂直問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用三垂線定理及其逆定理，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨(dú)到的作用.因此在立體幾何教學(xué)中，必須引導(dǎo)學(xué)生正確理解和掌握三垂線定理，充分發(fā)揮三垂線定理在解決空間圖形問(wèn)題的作用.

一、三垂線定理的解讀

三垂線定理是在線面垂直基礎(chǔ)上來(lái)研究直線間垂直關(guān)系的重要定理，不僅闡明了平面的垂線、斜線、斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線的某種位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，并有效溝通了線線關(guān)系和線面關(guān)系.

1.三垂線定理的本質(zhì)特征

（1）定理描述

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.

（2）圖形模型

圖 1 （如圖1）設(shè)PO，PA分別是平面α的垂線、斜線，OA是PA在平面α內(nèi)的射影，aα，且a⊥OA，則a⊥PA.

（3）本質(zhì)特征

垂線定理及其逆定理描述的是斜線、射影和平面內(nèi)直線之間的垂直關(guān)系，實(shí)質(zhì)是空間兩條直線垂直的判定，把空間垂直轉(zhuǎn)化為相交垂直.斜線及其斜線在平面內(nèi)的射影與這個(gè)平面內(nèi)的直線的垂直關(guān)系不變，是三垂線定理及其逆定理的本質(zhì)特征.

2.構(gòu)成三垂線定理的元素

從圖一可以看出，三垂線定理的圖形是由“四線一面”五個(gè)元素組成，即垂線PO、斜線PA、射影OA、面內(nèi)一線直線a和平面α.三垂線定理描述的是三種垂直關(guān)系：直線和平面垂直，平面內(nèi)的一條直線與斜線在該平面的射影垂直，這條直線和斜線垂直，這條直線與斜線可能相交，也可能是異面直線.

二、三垂線定理的應(yīng)用

作為一種較為典型的證題方法，三垂線定理及其逆定理在解題中有著廣泛的應(yīng)用.在應(yīng)用三垂線定理時(shí)，既要注意三垂線定理圖形的多樣性，又要注意豎直或傾斜平面上三垂線定理的應(yīng)用.按照“一定平面，二定垂線，三找斜線，射影就出現(xiàn)”的原則去確認(rèn)圖形，得出所證的垂直關(guān)系，其關(guān)鍵是找平面的垂線和斜線在平面內(nèi)的射影.

1.空間的角和距離問(wèn)題中的應(yīng)用

∴點(diǎn)P到DC，BD的距離分別為4 13 ， 4 13 901 .

題意圖形中如果有表示其距離的線段時(shí)，只須證明其確為表示距離的線段，再進(jìn)行計(jì)算.如果沒(méi)有明顯表示距離的線段，就要先作出，并用三垂線定理加以證明，再計(jì)算.

2.在垂直問(wèn)題中的應(yīng)用

三垂線定理及逆定理涉及的是直線與直線的垂直問(wèn)題，因?yàn)橹本€垂直問(wèn)題可推出線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而可導(dǎo)出面面垂直.所以在線面垂直、面面垂直問(wèn)題中也常用到三垂線定理.因此，在解決垂直問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先考慮是否能使用三垂線定理.

總之，三垂線定理及逆定理是證明線線垂直，點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面角的計(jì)算及二面角的形成中非常有效的工具，在解決空間圖形問(wèn)題中充分發(fā)揮三垂線定理的作用，不僅有助于學(xué)生理解掌握定理，而且對(duì)于培養(yǎng)發(fā)展空間想象能力、推理論證能力有著積極的意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 呂林根，許子道.解析幾何（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2001.

[2] 孫秉正，三垂線定理及其逆定理的教學(xué)實(shí)踐與思考[J] .上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2006.5.