正確理解適度拓展充分用好“牛頓第二定律”

施永華

牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的科學(xué)核心.如何幫助高中學(xué)生正確理解牛頓第二定律，適度拓展牛頓第二定律的解題功能，從而應(yīng)用牛頓第二定律更好地解決實(shí)際問(wèn)題？筆者在教學(xué)實(shí)踐中就此問(wèn)題和學(xué)生一起進(jìn)行了探討、研究，使學(xué)生懂得了牛頓第二定律不僅可以解決單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決非慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，也是解決復(fù)雜問(wèn)題的有力手段.

一、牛頓第二定律F=ma可以處理加速度不同的質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題.

一般情況下，F(xiàn)=ma的研究對(duì)象是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或具有共同加速度的質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)于由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，往往采用隔離研究每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，然后再聯(lián)立求解的方法.其實(shí)，牛頓第二定律的研究對(duì)象也可以是由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即所謂的質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律.質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可表述為：質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度乘積的矢量和.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1、m2、…mi、…、mn，質(zhì)點(diǎn)系以外物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，這些力可能作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)不同的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為a1、a2、…ai、…、an，則有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

與質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律一樣，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律也具有矢量性、瞬時(shí)性、獨(dú)立性和相同的適用范圍.

圖1

例題1如圖1所示，質(zhì)量為m1的物塊A沿質(zhì)量為m3的光滑直角三角形斜面下滑，質(zhì)量為m2的物體B上升，斜面與水平面成α角，若滑輪與繩的質(zhì)量及一切摩擦均不計(jì)，求斜面作用于地面凸出部分的壓力.

解法1用F=ma隔離研究各個(gè)物體，屬于常規(guī)解法.

對(duì)A： m1gsinα-T=m1a

對(duì)B： T-m2g=m2a

聯(lián)立兩式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

繩子張力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

對(duì)斜面，受力如圖2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

圖2圖3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai對(duì)物體系進(jìn)行研究.

A、B連接體的加速度求法同解法1（略）.

對(duì)A、B和斜面系統(tǒng)，其受力情況如圖3所示：

由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通過(guò)例題1的求解過(guò)程可以看出，與采用隔離法（即分別對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求解）不同的是，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律解題時(shí)將使得質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力變成內(nèi)力，因而可以減少不必求解的物理量的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致所列方程數(shù)減少，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔、明了，并能給人以一種賞心悅目的感覺(jué).其實(shí)，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律表達(dá)式是更完備的牛頓第二定律的表達(dá)形式，其中也包含了力的獨(dú)立作用原理的重要思想，由于其在解決問(wèn)題中的重要性，所以很多人把它叫做“牛頓第四定律”.

二、牛頓第二定律F=ma可以處理非慣性系中的問(wèn)題.

牛頓第二定律只適用于慣性系，比如地面就是一個(gè)相當(dāng)好的慣性系，太陽(yáng)是一個(gè)非常好的慣性系，一般我們認(rèn)為，相對(duì)地面沒(méi)有加速度的參考系，都可視為慣性系，相對(duì)地面有加速度的參考系，都可視為非慣性系.

在非慣性系中，為了使牛頓第二定律在形式上仍然成立，除了要考慮物體受到的真實(shí)力F以外，我們可以給每個(gè)物體加上一個(gè)慣性力F*=-ma0，其中a0是非慣性系相對(duì)地面慣性系的加速度，負(fù)號(hào)表示慣性力F*的方向與a0的方向相反，則在非慣性系中，牛頓第二定律可表示為F+F*=ma*，a*是物體在非慣性系中的加速度.如果物體相對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系（相對(duì)慣性系轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，不管是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)還是變速轉(zhuǎn)動(dòng)，都是非慣性系）靜止，則要加上慣性離心力F*=-mω2R.若質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)可能還要受到另一種慣性力，即科里奧利力，簡(jiǎn)稱科氏力，這里不做進(jìn)一步的討論.

圖4

慣性力是一個(gè)假想的力，完全是為了使牛頓第二定律在非慣性系中也能成立而人為地想象出來(lái)的，實(shí)際上并不存在，故慣性力不存在施力物體，因而也就沒(méi)有反作用力.慣性力起源于物體慣性，是在非慣性系中物體慣性的體現(xiàn).

非慣性系的問(wèn)題在正常的高中物理學(xué)習(xí)中是不牽涉到的內(nèi)容，但在解題時(shí)選擇非慣性系作為參考系，只要注意引入慣性力可以使問(wèn)題的理解和處理得到最大程度的簡(jiǎn)化.如要解釋“為什么汽車剎車過(guò)程中乘客會(huì)往前傾？”現(xiàn)象，可以利用慣性知識(shí)解釋，也可以在汽車這個(gè)非慣性系中研究，有向前的慣性力F*=-ma0（a0為汽車剎車時(shí)的加速度）作用在乘客身上，所以乘客會(huì)往前傾.又如：物體隨如圖4所示轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與物體間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng).在地面慣性系中，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有f=mω2r；在轉(zhuǎn)臺(tái)非慣性系中，物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，引入慣性離心力F*=-mω2r，則有f+F*=0，物體受力平衡，所以轉(zhuǎn)臺(tái)與物體相對(duì)靜止.endprint

牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的科學(xué)核心.如何幫助高中學(xué)生正確理解牛頓第二定律，適度拓展牛頓第二定律的解題功能，從而應(yīng)用牛頓第二定律更好地解決實(shí)際問(wèn)題？筆者在教學(xué)實(shí)踐中就此問(wèn)題和學(xué)生一起進(jìn)行了探討、研究，使學(xué)生懂得了牛頓第二定律不僅可以解決單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決非慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，也是解決復(fù)雜問(wèn)題的有力手段.

一、牛頓第二定律F=ma可以處理加速度不同的質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題.

一般情況下，F(xiàn)=ma的研究對(duì)象是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或具有共同加速度的質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)于由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，往往采用隔離研究每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，然后再聯(lián)立求解的方法.其實(shí)，牛頓第二定律的研究對(duì)象也可以是由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即所謂的質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律.質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可表述為：質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度乘積的矢量和.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1、m2、…mi、…、mn，質(zhì)點(diǎn)系以外物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，這些力可能作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)不同的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為a1、a2、…ai、…、an，則有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

與質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律一樣，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律也具有矢量性、瞬時(shí)性、獨(dú)立性和相同的適用范圍.

圖1

例題1如圖1所示，質(zhì)量為m1的物塊A沿質(zhì)量為m3的光滑直角三角形斜面下滑，質(zhì)量為m2的物體B上升，斜面與水平面成α角，若滑輪與繩的質(zhì)量及一切摩擦均不計(jì)，求斜面作用于地面凸出部分的壓力.

解法1用F=ma隔離研究各個(gè)物體，屬于常規(guī)解法.

對(duì)A： m1gsinα-T=m1a

對(duì)B： T-m2g=m2a

聯(lián)立兩式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

繩子張力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

對(duì)斜面，受力如圖2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

圖2圖3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai對(duì)物體系進(jìn)行研究.

A、B連接體的加速度求法同解法1（略）.

對(duì)A、B和斜面系統(tǒng)，其受力情況如圖3所示：

由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通過(guò)例題1的求解過(guò)程可以看出，與采用隔離法（即分別對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求解）不同的是，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律解題時(shí)將使得質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力變成內(nèi)力，因而可以減少不必求解的物理量的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致所列方程數(shù)減少，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔、明了，并能給人以一種賞心悅目的感覺(jué).其實(shí)，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律表達(dá)式是更完備的牛頓第二定律的表達(dá)形式，其中也包含了力的獨(dú)立作用原理的重要思想，由于其在解決問(wèn)題中的重要性，所以很多人把它叫做“牛頓第四定律”.

二、牛頓第二定律F=ma可以處理非慣性系中的問(wèn)題.

牛頓第二定律只適用于慣性系，比如地面就是一個(gè)相當(dāng)好的慣性系，太陽(yáng)是一個(gè)非常好的慣性系，一般我們認(rèn)為，相對(duì)地面沒(méi)有加速度的參考系，都可視為慣性系，相對(duì)地面有加速度的參考系，都可視為非慣性系.

在非慣性系中，為了使牛頓第二定律在形式上仍然成立，除了要考慮物體受到的真實(shí)力F以外，我們可以給每個(gè)物體加上一個(gè)慣性力F*=-ma0，其中a0是非慣性系相對(duì)地面慣性系的加速度，負(fù)號(hào)表示慣性力F*的方向與a0的方向相反，則在非慣性系中，牛頓第二定律可表示為F+F*=ma*，a*是物體在非慣性系中的加速度.如果物體相對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系（相對(duì)慣性系轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，不管是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)還是變速轉(zhuǎn)動(dòng)，都是非慣性系）靜止，則要加上慣性離心力F*=-mω2R.若質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)可能還要受到另一種慣性力，即科里奧利力，簡(jiǎn)稱科氏力，這里不做進(jìn)一步的討論.

圖4

慣性力是一個(gè)假想的力，完全是為了使牛頓第二定律在非慣性系中也能成立而人為地想象出來(lái)的，實(shí)際上并不存在，故慣性力不存在施力物體，因而也就沒(méi)有反作用力.慣性力起源于物體慣性，是在非慣性系中物體慣性的體現(xiàn).

非慣性系的問(wèn)題在正常的高中物理學(xué)習(xí)中是不牽涉到的內(nèi)容，但在解題時(shí)選擇非慣性系作為參考系，只要注意引入慣性力可以使問(wèn)題的理解和處理得到最大程度的簡(jiǎn)化.如要解釋“為什么汽車剎車過(guò)程中乘客會(huì)往前傾？”現(xiàn)象，可以利用慣性知識(shí)解釋，也可以在汽車這個(gè)非慣性系中研究，有向前的慣性力F*=-ma0（a0為汽車剎車時(shí)的加速度）作用在乘客身上，所以乘客會(huì)往前傾.又如：物體隨如圖4所示轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與物體間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng).在地面慣性系中，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有f=mω2r；在轉(zhuǎn)臺(tái)非慣性系中，物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，引入慣性離心力F*=-mω2r，則有f+F*=0，物體受力平衡，所以轉(zhuǎn)臺(tái)與物體相對(duì)靜止.endprint

牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的科學(xué)核心.如何幫助高中學(xué)生正確理解牛頓第二定律，適度拓展牛頓第二定律的解題功能，從而應(yīng)用牛頓第二定律更好地解決實(shí)際問(wèn)題？筆者在教學(xué)實(shí)踐中就此問(wèn)題和學(xué)生一起進(jìn)行了探討、研究，使學(xué)生懂得了牛頓第二定律不僅可以解決單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也可以解決非慣性系中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；不僅可以解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，也是解決復(fù)雜問(wèn)題的有力手段.

一、牛頓第二定律F=ma可以處理加速度不同的質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題.

一般情況下，F(xiàn)=ma的研究對(duì)象是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或具有共同加速度的質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)于由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，往往采用隔離研究每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，然后再聯(lián)立求解的方法.其實(shí)，牛頓第二定律的研究對(duì)象也可以是由多個(gè)加速度不同的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即所謂的質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律.質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可表述為：質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度乘積的矢量和.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1、m2、…mi、…、mn，質(zhì)點(diǎn)系以外物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的力有F1、F2、…Fi、…、Fn，這些力可能作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)不同的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為a1、a2、…ai、…、an，則有：ni=1Fi=ni=1miai分量形式

ni=1Fix=ni=1miaix

ni=1Fiy=ni=1miaiy

與質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律一樣，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律也具有矢量性、瞬時(shí)性、獨(dú)立性和相同的適用范圍.

圖1

例題1如圖1所示，質(zhì)量為m1的物塊A沿質(zhì)量為m3的光滑直角三角形斜面下滑，質(zhì)量為m2的物體B上升，斜面與水平面成α角，若滑輪與繩的質(zhì)量及一切摩擦均不計(jì)，求斜面作用于地面凸出部分的壓力.

解法1用F=ma隔離研究各個(gè)物體，屬于常規(guī)解法.

對(duì)A： m1gsinα-T=m1a

對(duì)B： T-m2g=m2a

聯(lián)立兩式得：加速度a=m1sinα-m2m1+m2g

繩子張力： T=m1m2gm1+m2（1+sinα）

對(duì)斜面，受力如圖2：

Fx=N平+Tcosα-N1sinα=0

∴N平=m1gsinαcosα-Tcosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα

圖2圖3

解法2用ni=1Fi=ni=1miai對(duì)物體系進(jìn)行研究.

A、B連接體的加速度求法同解法1（略）.

對(duì)A、B和斜面系統(tǒng)，其受力情況如圖3所示：

由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律有：

Fx=N平=m1acosα

=m1sinα-m2m1+m2m1gcosα.

通過(guò)例題1的求解過(guò)程可以看出，與采用隔離法（即分別對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求解）不同的是，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律解題時(shí)將使得質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力變成內(nèi)力，因而可以減少不必求解的物理量的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致所列方程數(shù)減少，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔、明了，并能給人以一種賞心悅目的感覺(jué).其實(shí)，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律表達(dá)式是更完備的牛頓第二定律的表達(dá)形式，其中也包含了力的獨(dú)立作用原理的重要思想，由于其在解決問(wèn)題中的重要性，所以很多人把它叫做“牛頓第四定律”.

二、牛頓第二定律F=ma可以處理非慣性系中的問(wèn)題.

牛頓第二定律只適用于慣性系，比如地面就是一個(gè)相當(dāng)好的慣性系，太陽(yáng)是一個(gè)非常好的慣性系，一般我們認(rèn)為，相對(duì)地面沒(méi)有加速度的參考系，都可視為慣性系，相對(duì)地面有加速度的參考系，都可視為非慣性系.

在非慣性系中，為了使牛頓第二定律在形式上仍然成立，除了要考慮物體受到的真實(shí)力F以外，我們可以給每個(gè)物體加上一個(gè)慣性力F*=-ma0，其中a0是非慣性系相對(duì)地面慣性系的加速度，負(fù)號(hào)表示慣性力F*的方向與a0的方向相反，則在非慣性系中，牛頓第二定律可表示為F+F*=ma*，a*是物體在非慣性系中的加速度.如果物體相對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系（相對(duì)慣性系轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，不管是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)還是變速轉(zhuǎn)動(dòng)，都是非慣性系）靜止，則要加上慣性離心力F*=-mω2R.若質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)可能還要受到另一種慣性力，即科里奧利力，簡(jiǎn)稱科氏力，這里不做進(jìn)一步的討論.

圖4

慣性力是一個(gè)假想的力，完全是為了使牛頓第二定律在非慣性系中也能成立而人為地想象出來(lái)的，實(shí)際上并不存在，故慣性力不存在施力物體，因而也就沒(méi)有反作用力.慣性力起源于物體慣性，是在非慣性系中物體慣性的體現(xiàn).

非慣性系的問(wèn)題在正常的高中物理學(xué)習(xí)中是不牽涉到的內(nèi)容，但在解題時(shí)選擇非慣性系作為參考系，只要注意引入慣性力可以使問(wèn)題的理解和處理得到最大程度的簡(jiǎn)化.如要解釋“為什么汽車剎車過(guò)程中乘客會(huì)往前傾？”現(xiàn)象，可以利用慣性知識(shí)解釋，也可以在汽車這個(gè)非慣性系中研究，有向前的慣性力F*=-ma0（a0為汽車剎車時(shí)的加速度）作用在乘客身上，所以乘客會(huì)往前傾.又如：物體隨如圖4所示轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與物體間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng).在地面慣性系中，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有f=mω2r；在轉(zhuǎn)臺(tái)非慣性系中，物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，引入慣性離心力F*=-mω2r，則有f+F*=0，物體受力平衡，所以轉(zhuǎn)臺(tái)與物體相對(duì)靜止.endprint