抗差加權(quán)整體最小二乘模型的牛頓－高斯算法

王 彬，李建成，高井祥，劉 超

1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢430079；2.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院 江蘇 徐州221116；3.安徽理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，安徽 淮南232001

1 引 言

整體最小二乘（TLS）方法可以有效解決系數(shù)矩陣含有誤差的參數(shù)估計(jì)問題，得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了較為理想的結(jié)果［1－5］。近幾年，針對(duì)實(shí)踐中觀測(cè)值不等精度的問題，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于加權(quán)整體最小二乘（WTLS）的算法及應(yīng)用進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)［6］將不等精度條件下的變量誤差（EIV）模型的函數(shù)模型作為限制條件，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方式推導(dǎo)了WTLS的迭代算法，并應(yīng)用到了線性回歸中；文獻(xiàn)［7］利用高斯－赫爾默特模型研究了 WTLS的計(jì)算方法，并將其應(yīng)用于平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中；文獻(xiàn)［8］引入非線性最小二乘的牛頓－高斯（Newton－Gauss）法，獲得了WTLS的迭代算法；文獻(xiàn)［9］也從非線性最小二乘的角度入手，研究了WTLS的解算方法并推廣到了partial－EIV模型中，有效地減少了未知數(shù)的數(shù)量。

以上研究都是針對(duì)系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中僅包含偶然誤差的情況，當(dāng)系數(shù)陣和觀測(cè)向量受到粗差污染時(shí)，參數(shù)估值必將受到不利影響，有時(shí)甚至?xí)?yán)重失真。國內(nèi)外對(duì)于經(jīng)典最小二乘的粗差處理方法已經(jīng)進(jìn)行了深入研究，采用的方法大致可分為基于均值漂移的粗差探測(cè)［10－11］和基于方差－協(xié)方差膨脹的抗差估計(jì)［12－17］兩大類。相對(duì)于粗差探測(cè)技術(shù)，抗差估計(jì)的實(shí)現(xiàn)通常更為簡單，其關(guān)鍵是權(quán)因子函數(shù)的構(gòu)造。一個(gè)合理的抗差方案應(yīng)能同時(shí)顧及觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間抗差，為達(dá)到這一目的通常應(yīng)采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)［13］。

目前，關(guān)于整體最小二乘的粗差處理方法的研究還較少。文獻(xiàn)［18—19］基于高斯－赫爾默特模型和Huber權(quán)函數(shù)提出了三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的穩(wěn)健WTLS方法。文獻(xiàn)［20］對(duì)穩(wěn)健混合TLS方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［21］將文獻(xiàn)［18—19］中的Huber權(quán)函數(shù)替換成了IGG函數(shù)，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的優(yōu)勢(shì)。然而，上述關(guān)于WTLS的粗差處理方法存在著共同的問題：直接采用殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，無法顧及結(jié)構(gòu)空間的抗差性，模型不夠合理，特別在非等精度的情況下抗差效果并不理想。本文基于 WTLS的Newton－Gauss迭代算法［8］，借鑒一般抗差估計(jì)的等價(jià)權(quán)原理，提出一種抗差加權(quán)整體最小二乘（RWTLS）模型，采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并利用中位數(shù)法獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值。在模型構(gòu)建過程中，對(duì)權(quán)因子的計(jì)算和等價(jià)權(quán)的更新、系數(shù)陣固定元素的處理等關(guān)鍵問題進(jìn)行了研究。為獲得標(biāo)準(zhǔn)化殘差，利用線性近似的協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)了WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式，并給出了迭代計(jì)算方法。該算法在觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間均具有良好的抗差能力。

2 基于Newton－Gauss法的WTLS迭代算法

EIV模型的函數(shù)模型為

式中，L為m×1維的觀測(cè)向量；A為m×n維的系數(shù)矩陣，rank（A）＝n＜m；eL是L的隨機(jī)誤差向量；EA為A的隨機(jī)誤差矩陣；X為n×1維的未知參數(shù)向量。

相應(yīng)的隨機(jī)模型為

式中，eA＝vec（EA），vec表示矩陣的列向量化算子，是將矩陣的每一列按從左到右的順序堆疊；QL和QA分別為eL和eA的協(xié)因數(shù)陣，其維數(shù)分別為m×m和mn×mn；σ0為單位權(quán)中誤差。

設(shè)在第i次迭代計(jì)算后，獲得的參數(shù)估值為，預(yù)測(cè)殘差矩陣為將式（1）右端在處利用泰勒級(jí)數(shù)展開

式（3）省略了二階以上的部分，僅保留一階項(xiàng)。式中，δX為的微小改正值，且表示m階單位陣。

結(jié)合EIV模型的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則，可構(gòu)造出WTLS的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)［8］

利用Euler－Lagrange必要條件，對(duì)各變量求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零可得

式中

將最小二乘的參數(shù)估值作為初值，按照式（5a）—式（5d）所描述的迭代過程進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)滿足是給定的小正數(shù)）時(shí)停止迭代，即可獲得參數(shù)的WTLS解。

3 基于Newton－Gauss法的RWTLS的基本原理和算法

3.1 RWTLS的基本原理

將EIV模型的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則寫成式（7）的形式

式中

這與經(jīng)典最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則的形式相同，當(dāng)觀測(cè)向量L和系數(shù)陣A含有粗差時(shí)，難以獲得準(zhǔn)確的參數(shù)解。為此，本文借鑒一般抗差估計(jì)的等價(jià)權(quán)原理，提出RWTLS模型，以式（9）作為估計(jì)準(zhǔn)則

式中

在WTLS方法的迭代計(jì)算過程中，先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA始終保持不變。RWTLS算法與之不同，為了達(dá)到抵抗粗差的效果，等價(jià)協(xié)因數(shù)陣和需要在迭代過程中不斷更新。

根據(jù)等價(jià)權(quán)抗差原理，在迭代計(jì)算過程中需要利用權(quán)因子函數(shù)計(jì)算等價(jià)權(quán)陣，而計(jì)算公式中需要的是等價(jià)協(xié)因數(shù)陣），為了方便計(jì)算，當(dāng)觀測(cè)值相互獨(dú)立時(shí)，采用式（13）直接獲得

相關(guān)觀測(cè)條件下，為保持觀測(cè)值間的相關(guān)性不變，采用雙因子模型［15－16］的形式

式中，下標(biāo)i和j表示觀測(cè)值序號(hào)和qeij分別表示和Qe中對(duì)應(yīng)位置的元素；Rii和Rjj為相應(yīng)權(quán)因子的倒數(shù)，這里稱之為協(xié)因數(shù)因子。式（13a）—（13b）兩邊同時(shí)乘以單位權(quán)方差因子就是異常觀測(cè)方差膨脹模型，這與直接計(jì)算等價(jià)權(quán)陣的方式是完全等價(jià)的［15］。需要注意的是，這里應(yīng)加入i和j的限制條件為對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)協(xié)因數(shù)不為零，如果系數(shù)陣中含有固定元素，則對(duì)應(yīng)位置的先驗(yàn)協(xié)因數(shù)為零，在平差后不參與誤差分配，就不存在更新權(quán)的問題。

對(duì)于IGGⅢ的權(quán)因子函數(shù)，對(duì)其求倒數(shù)便可獲得對(duì)應(yīng)的協(xié)因數(shù)因子函數(shù)

由于IGGⅢ函數(shù)的第3段為0，對(duì)應(yīng)協(xié)因數(shù)因子的理論值應(yīng)為無窮，為了方便實(shí)際計(jì)算，用一個(gè)大數(shù)（1030）代替，這樣在數(shù)值計(jì)算上完全能夠滿足要求。k0和k1為常數(shù)，實(shí)際中通?？煞謩e取k0＝2.0～3.0，k1＝4.0～8.0。直接利用殘差構(gòu)造的權(quán)因子（或協(xié)因數(shù)因子）函數(shù)沒有考慮結(jié)構(gòu)空間的抗差性，難以保證良好的抗差性能，式（14）采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行構(gòu)造在理論上更加合理，而且不受先驗(yàn)單位權(quán)中誤差取值的影響。的計(jì)算公式為

式中，σ0為單位權(quán)中誤差表示殘差向量Ve的第i個(gè)元素，在迭代計(jì)算過程中不斷更新。在一般的標(biāo)準(zhǔn)化殘差抗差估計(jì)模型中，是利用各最小二乘殘差的協(xié)因數(shù)來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差的，而這里的代表第i個(gè)WTLS殘差的協(xié)因數(shù)。由于傳統(tǒng)的計(jì)算公式獲得的σ0估值受粗差的影響較大，本文引入一般抗差估計(jì)模型中采用的中位數(shù)法［12］獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值，計(jì)算公式為

需要注意的是，式（15）和式（16）都應(yīng)加入i的限制條件。

3.2 WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的推導(dǎo)

在一般的抗差估計(jì)模型中，LS殘差的協(xié)因數(shù)陣很容易獲得。然而由于EIV模型的非線性特性以及WTLS算法本身的復(fù)雜性，相應(yīng)協(xié)因數(shù)陣的獲得較為困難。針對(duì)此問題，本文利用線性的近似協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式。

根據(jù)式（5c）、式（5d），WTLS方法在第i＋1次迭代計(jì)算后得到的殘差向量Ve可表示為

式中

在Newton－Gauss法的第i＋1次迭代計(jì)算過程中，A（i）、X（i）是作為固定值處理的，因此僅認(rèn)為系數(shù)陣A和觀測(cè)向量L有誤差。根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

由式（19）可知求解Qve要先獲得QR。將式（5a）代入式（18b），可得

式中

對(duì)U作如下變換

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

又由式（20）可知

將式（21）和式（23）代入式（24）并整理可得

將式（25）代入式（19）便可獲得殘差協(xié)因數(shù)陣Qve。由于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差時(shí)只需要各殘差的協(xié)因數(shù)，因此只需分別計(jì)算出和并取其對(duì)角線上的元素。

在一般的抗差估計(jì)模型中，最小二乘殘差的協(xié)因數(shù)陣只與系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的先驗(yàn)權(quán)陣（或協(xié)因數(shù)陣）有關(guān)，因此其在迭代過程中保持不變。然而上述推導(dǎo)獲得的WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣不僅取決于先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA，還與本次計(jì)算所代入的參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值X（i）和EA（i）（A（i）由EA（i）計(jì)算所得）有關(guān)。因此 RWTLS與一般抗差估計(jì)方法不同，在每迭代一次后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差時(shí)，均應(yīng)將先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL、QA以及本次迭代所代入的參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值代入式（19）來更新WTLS方法對(duì)應(yīng)的殘差協(xié)因數(shù)陣。

3.3 RWTLS的迭代計(jì)算步驟

將WTLS得到的參數(shù)估值和殘差向量作為初值，按照以下步驟進(jìn)行RWTLS迭代計(jì)算：

（1）將第k次迭代中參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值（第k－1次迭代計(jì)算的結(jié)果）以及先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA代入式（25）和式（19）以更新相應(yīng)的WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣。

（2）將殘差向量和步驟（1）獲得的 WTLS殘差協(xié)因數(shù)代入式（16）和式（15）獲得第k次迭代的標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

（3）利用式（13）和式（14）更新和，進(jìn)而獲得第k＋1次迭代的參數(shù)估值和殘差向量。

4 算例分析

設(shè)一直線方程為y＝4x＋3，設(shè)待估參數(shù)分別為截距a和斜率b，則對(duì)應(yīng)的真值分別為3和4。

在此直線上選取26個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，事先分別給定各點(diǎn)x和y坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差（非等精度），每次模擬均根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差產(chǎn)生模擬隨機(jī)誤差并加入到各點(diǎn)的坐標(biāo)真值中。

指定粗差的位置隨機(jī)產(chǎn)生（可能同時(shí)出現(xiàn)在某點(diǎn)的x和y坐標(biāo)上），其絕對(duì)值介于10～30倍的標(biāo)準(zhǔn)差之間，分別在粗差個(gè)數(shù)為1、2和3個(gè)時(shí)進(jìn)行500次模擬，每次均加入到含有隨機(jī)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)中。先驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ0＝0.2，設(shè)計(jì)的計(jì)算方案如下：加入粗差前進(jìn)行 WTLS估計(jì)（方案①）；加入粗差后，依次采用 WTLS方法（方案②）、文獻(xiàn)［21］的 RWTLS－IGG 方法（方案③）和本文提出的RWTLS方法處理（方案④）。

對(duì)各方案的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到參數(shù)a和b的均方根誤差及其與真值的最大偏差，見表1。圖1—圖3為上述不同粗差個(gè)數(shù)情況下方案③和方案④的試驗(yàn)序列對(duì)比圖，縱軸da和db分別表示參數(shù)估值a和b與其真值的偏差量。

表1 各方案的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.1 Statistical results of each scheme

圖1 粗差個(gè)數(shù)為1時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.1 Comparison between schemes③and④ when there exists one gross error

圖2 粗差個(gè)數(shù)為2時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.2 Comparison between schemes③and④ when there exist two gross errors

圖3 粗差個(gè)數(shù)為3時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.3 Comparison between scheme③and④ when there exist three gross errors

根據(jù)表1和圖1—圖3的結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

（1）無粗差時(shí) WTLS方法（方案①）的估計(jì)結(jié)果在4種計(jì)算方案中是最優(yōu)的。然而當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)受到粗差污染時(shí)，WTLS方法（方案②）的參數(shù)估值受到了破壞性的影響，與真值產(chǎn)生了很大的偏差。

（2）方案③和方案④的估計(jì)結(jié)果較方案②在整體上均有較大的改善，但方案④較方案③明顯更優(yōu)。當(dāng)粗差個(gè)數(shù)分別為1、2和3個(gè)時(shí)，方案④所得參數(shù)a的均方根誤差分別為方案③的77.6%、66.5%和55.6%，參數(shù)b的均方根誤差分別為方案③的62.6%、48.1%和41.2%。不難發(fā)現(xiàn)，隨著粗差個(gè)數(shù)的增多，方案③獲得的各參數(shù)均方根誤差顯著增大，方案④較方案③的優(yōu)勢(shì)也更為明顯。在500次的模擬過程中，方案③的參數(shù)估值多次與真值產(chǎn)生了較大的偏差，而方案④所獲得的參數(shù)最大偏差值仍然較小。

（3）方案④所得參數(shù)估值的準(zhǔn)確度雖不及方案①，但總的來說差異并不顯著，參數(shù)解仍然準(zhǔn)確可靠。

得到上述結(jié)果的原因是：方案②的WTLS方法不具備抵抗粗差的能力；方案③的RWTLSIGG方法雖然具有一定的抗差能力，但其直接采用殘差構(gòu)造的權(quán)因子函數(shù)無法顧及結(jié)構(gòu)空間的抗差性，在理論上存在一定的缺陷；本文提出的RWTLS方法（方案④）采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并由中位數(shù)法獲得單位權(quán)中誤差估值，在觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間均具有良好的抗差能力，在理論上較方案③更為合理。

表2 粗差點(diǎn)的識(shí)別結(jié)果Tab.2 Detection results of gross error points

表2是500次模擬試驗(yàn)中方案③和方案④對(duì)粗差點(diǎn)的識(shí)別情況，分別統(tǒng)計(jì)了不同粗差個(gè)數(shù)條件下，粗差點(diǎn)識(shí)別正確（不存在漏判和誤判）的次數(shù)和正確率。由表2的結(jié)果可知：隨著粗差個(gè)數(shù)的增加，方案③和方案④的粗差點(diǎn)識(shí)別正確率均有所降低，但在不同的粗差個(gè)數(shù)條件下，方案④的正確率始終顯著高于方案③，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了方案④的優(yōu)勢(shì)。

綜上所述，在受到粗差污染的加權(quán)整體最小二乘問題中，本文提出的RWTLS模型的抗差性能優(yōu)于文獻(xiàn)［21］中的RWTLS－IGG方法。

5 結(jié) 語

針對(duì)加權(quán)整體最小二乘的粗差處理問題，本文在WTLS的Newton－Gauss迭代法基礎(chǔ)上，提出了一種抗差加權(quán)整體最小二乘模型。采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并利用中位數(shù)法獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值。為獲得標(biāo)準(zhǔn)化殘差，利用線性近似的協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)了WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式，并給出了迭代計(jì)算方法。得到結(jié)論：

（1）由標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造的權(quán)因子函數(shù)同時(shí)實(shí)現(xiàn)了觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間抗差，利用中位數(shù)法獲得的單位權(quán)中誤差估值在迭代過程中具有更好的穩(wěn)健性，較已有的穩(wěn)健WTLS方法在理論上更加合理。

（2）試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)粗差個(gè)數(shù)分別為1、2和3個(gè)時(shí)，本文提出的RWTLS算法的粗差點(diǎn)識(shí)別正確率分別為文獻(xiàn)［21］中RWTLS－IGG方法的3.2倍、3.3倍和3.6倍；所得參數(shù)a的均方根誤差分別為該方法的77.6%、66.5%和55.6%，b的均方根誤差分別為該方法的62.6%、48.1%和41.2%。粗差識(shí)別能力和參數(shù)估值的準(zhǔn)確度均有顯著改善。

［1］FELUS Y A.Application of Total Least Squares for Spatial Point Process Analysis［J］.Journal of Surveying Engineering，2004，130（3）：126－133.

［2］SCHAFFRIN B，LEE I，F(xiàn)ELUS Y，et al.Total Least－squares（TLS）for Geodetic Straight－line and Plane Adjustment［J］.Bollettino di Geodesia e Scienze Affini，2006，65（3）：141－168.

［3］MARKOVSKY I，VAN HUFFEL S.Overview of Total Least Squares Methods［J］.Signal Processing，2007，87（10）：2283－2302.

［4］SCHAFFRIN B，F(xiàn)ELUS Y A.On the Multivariate Total Least－squares Approach to Empirical Coordinate Transformations：Three Algorithms［J］.Journal of Geodesy，2008，82（6）：373－383.

［5］CHEN Yi，LU Jue，ZHENG Bo.Application of Total Least Squares to Space Resection［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33（12）：1271－1274.（陳義，陸玨，鄭波.總體最小二乘方法在空間后方交會(huì)中的應(yīng)用［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2008，33（12）：1271－1274.）

［6］SCHAFFRIN B，WIESER A.On Weighted Total Leastsquares Adjustment for Linear Regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82（7）：415－421.

［7］NEITZEL F.Generalization of Total Least－squares on Example of Unweighted and Weighted 2DSimilarity Transformation［J］.Journal of Geodesy，2010，84（12）：751－762.

［8］SHEN Y Z，LI B F，CHEN Y.An Iterative Solution of Weighted Total Least Squares Adjustment［J］.Journal of Geodesy，2011，85（4）：229－238.

［9］XU P L，LIU J N，SHI C.Total Least Squares Adjustment in Partial Errors－in－variables Models：Algorithm and Statistical Analysis［J］.Journal of Geodesy，2012，86（8）：661－675.

［10］BAARDA W.A Testing Procedure for Use in Geodetic Networks［J］.Netherlands Geodetic Commission Publication on Geodesy：New Series，1968，2（5）：45－53.

［11］OU Jikun.A New Method to Detect Gross Errors—Quasi－accurate Detection Method［J］.Chinese Science Bulletin，1999，44（16）：1777－1781.（歐吉坤.一種檢測(cè)粗差的新方法——擬準(zhǔn)檢定法［J］.科學(xué)通報(bào)，1999，44（16）：1777－1781.）

［12］ROUSSEEUW P J，LEROY A M.Robust Regression and Outlier Detection［M］.New York：John Wiley and Sons，1987.

［13］ZHOU Jiangwen，HUANG Youcai，YANG Yuanxi，et al.Robust Least Squares Method［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，1997.（周江文，黃幼才，楊元喜，等.抗差最小二乘法［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1997.）

［14］YANG Y.Robust Estimation of Geodetic Datum Transformation［J］.Journal of Geodesy，1999，73（5）：268－274.

［15］YANG Yuanxi，SONG Lijie，XU Tianhe.Robust Parameter Estimation for Geodetic Correlated Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2002，31（2）：95－99.（楊元喜，宋力杰，徐天河.大地測(cè)量相關(guān)觀測(cè)抗差估計(jì)理論［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2002，31（2）：95－99.）

［16］YANG Y X，SONG L J，XU T H.Robust Estimator for Correlated Observations Based on Bifactor Equivalent Weights［J］.Journal of Geodesy，2002，76（6－7）：353－358.

［17］XU P L.Sign－constrained Robust Least Squares，Subjective Breakdown Point and the Effect of Weights of Observations on Robustness［J］.Journal of Geodesy，2005，79（1－3）：146－159.

［18］CHEN Yi，LU Jue.Performing 3DSimilarity Transformation by Robust Total Least Squares［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（5）：715－722.（陳義，陸玨.以三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為例解算穩(wěn)健總體最小二乘方法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（5）：715－722.）

［19］LU J，CHEN Y，LI B F，et al.Robust Total Least Squares with Reweighting Iteration for Three－dimensional Similarity Transformation［J］.Survey Review，46（334）：28－36.

［20］GONG Xunqiang，LI Zhilin.A Robust Mixed LS－TLS Based on IGGII Scheme［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2014，39（4）：462－466.（龔循強(qiáng)，李志林.一種利用IGGⅡ方案的穩(wěn)健混合總體最小二乘方法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2014，39（4）：462－466.）

［21］GONG Xunqiang，LI Zhilin.A Robust Weighted Total Least Squares Method［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（9）：888－894.（龔循強(qiáng)，李志林.穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2014，43（9）：888－894.）