判定有限群可解性的一種方法

崔雪晴 陳仁霞

（中原工學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州450000）

可解群是一類常見的群，在Galois方程論等方面有重要的應(yīng)用．判定有限群的可解性是一個常見的問題．以下給出一種方法，把判定有限群G的可解性的問題轉(zhuǎn)化成尋找G的三個指數(shù)互素的可解子群的問題．如果能夠找到三個子群，指數(shù)互素，且可解，那么G是可解的．這樣就把判定階數(shù)較高的群的可解性的問題轉(zhuǎn)化成了判定階數(shù)較低的群的可解性．而階數(shù)較低的群相對容易研究．首先看定義和幾個引理．

定義 1 設(shè) G 為任意群．a(chǎn)，b∈G，令[a，b]=a-1b-1ab，稱為元素 a，b 的換位子．令 G′=〈[a,b]｜a，b∈G〉，稱為 G 的換位子群．歸納定義 G 的 n 階換位子群：

G(0)=G，G(n)=(G(n-1))′，n≥1．

稱群G為可解群，如果存在正整數(shù)k使G(k)=1．

下面的引理1給出了幾個關(guān)于換位子群的結(jié)論．

（2）對 n 用歸納法．當(dāng) n=1 時，?h1,h2∈H，

引理2 設(shè)有限群G≠1為可解群，則存在p-群M≠1且M ．

證明 取G的極小正規(guī)子群M(即：1≠M ，?N ，N?M，則N=1或 M)．?HcharM，由 M 知，H ．由M 的極小性知，H=1或 M．故M為特征單群．有限特征單群是同構(gòu)單群的直積．[1]設(shè) M=M1×…×Ms，其中 Mi(i=1，．．，s)是同構(gòu)的單群．因為 M≤G，所以 M(n)≤G(n)，n≥1，由 G(k)=1 可得 M(k)=1．由引理 1（1），

下面的引理3研究了有限群子群指數(shù)互素的情形．

引理4 若K G，且K和G/K都是可解的，則G是可解的．[3]

證明 令 ν 是 G 到 G/K 上的自然同態(tài)，則 ν(G′)=(ν(G))′．假設(shè) ν(G(i))=(ν(G))(i)，則 ν(G(i+1))=ν((G(i))′)=(ν(G(i)))′=((ν(G))(i))′=(ν(G))(i+1)．于是 ν(G(i))=(ν(G))(i)，i≥1．又 ν是滿同態(tài)，從而 ν(G(i))=(G/K)(i)，i≥1．因此，由 G/K 可解知，存在 k≥1使 ν(G(k))=1．于是 G(k)?K．由 K 可解知，存在 l≥1 使 K(l)=1．于是 G(k+l)?K(l)=1，從而G是可解的．

定理1 設(shè)有限群G有三個可解子群H1，H2，H3， 且指數(shù) G∶H1，G∶H2， G∶H3兩兩互素，則G是可解的．

證明 對G 用歸納法．G =1顯然成立．假設(shè)對小于G 成立．下證對G 成立．

斷言 H1≠1，否則(假如，則 G=H2可解)，與互素矛盾．?dāng)嘌猿闪ⅲ?H1可解，由引理2，存在 p-群 M≠1 且 M H1．因為，所以p至多整除中的一個．不妨設(shè)．但由于，于是p G ，又 G =H2G∶H2，故p H2．設(shè) P是 H2的 Sylow p-子群．由于，于是 G∶P ，故P是G的Sylow p-子群．由Sylow定理，任二Sylow p-子群共軛，任一p-子群含于一Sylow p-子群．存在g∈G， 使M≤Pg≤Hg2． 由 G∶Hg2=G∶H2知， G∶H1與 G∶Hg2互素， 由引理3，G=H1Hg2．?x∈G，x=x1x2，x1∈H1，x2∈Hg2． 由 M H1，M≤H2g知，Mx=Mx1x2=Mx2≤Hg2． 令 N=〈Mx｜x∈G〉，于是 N≤Hg，1≠N G．H可解 對某正整數(shù) k，H(k)=1，由引理 1（2），(Hg)(k)

22，22=(H(2k))g=1，故 Hg2可解．從而 N 可解．由引理 1（3），(H2N/N)(k)=H(2k)N/N=1，故H2N/N可解．同理 H1N/N，H3N/N可解．又 G/N∶H1N/N =G/N ·(H1∩N N )/(H1N ) G∶H1．同 理 G/N∶H2N/N G∶H2，G/N∶H3N/N G∶H3．故 G/N∶H1N/N ， G/N∶H2N/N ， G/N∶H3N/N 兩兩互素，又 G/N ＜G ，由歸納假設(shè)，G/N可解，由引理4，G可解．

以上給出了一種判定有限群可解性的方法，把判定階數(shù)較高的群的可解性的問題轉(zhuǎn)化成了判定階數(shù)較低的群的可解性．

［1］崔雪晴,何建營．有限特征單群結(jié)構(gòu)[J]．科教導(dǎo)刊,2014,11(1):198-199．

［2］徐明曜．有限群導(dǎo)引上冊[M]．2 版.北京:科學(xué)出版社,1999:6-7．

［3］Nathan Jacobson．Basic Algebra I[M]．San Francisco：W.H.Freeman and Company，1974:239．